二次関数の式を見ても、どこからグラフを書けばいいのか分かりません。平方完成で符号を間違えるし、点を3つ与えられて式を求める問題になると、どの形を使うかも迷います。
二次関数は、式の形ごとに読み取れる情報を整理すれば迷わないよ。一般形・頂点形式・因数分解形の3つを使い分け、頂点、軸、開く向き、交点を順に書けばグラフになる。逆に点や頂点を与えられたら、条件が最も入りやすい形を選べば式も決められる。この記事で双方向の手順を例題と一緒に固めよう。
二次関数のグラフで大切なのは、きれいな曲線を描く技術より、式から必要な情報を正しく取り出す順番です。この記事では、y=ax²の基本形から始め、平方完成、頂点と軸、x軸・y軸との交点、判別式、与えられた点から式を決める3つの方法、平行移動・対称移動、最大・最小まで一続きに解説します。読み終えたら、式を見てグラフを描くだけでなく、グラフや座標から式を戻せる状態を目指してください。
目次
二次関数とは？式とグラフを結ぶ全体像
二次関数とは、a≠0としてy=ax²+bx+cの形で表せる関数です。グラフは放物線になり、左右対称の軸と、向きが切り替わる頂点を持ちます。文部科学省の「高等学校学習指導要領(平成30年告示)」でも、数学Iの二次関数では値の変化やグラフの特徴、最大値・最小値、二次方程式・二次不等式との関係、式とグラフを関連付けた考察を扱うと示されています。出典: 文部科学省「高等学校学習指導要領(平成30年告示)」p.92。
y=ax²+bx+cとy=a(x-p)²+qは、違う種類の二次関数ではないんですか？
同じ二次関数を別の形で書いているだけだよ。ax²+bx+cは係数やy切片を読みやすい一般形、a(x-p)²+qは頂点(p,q)と軸x=pを読みやすい頂点形式だ。展開すれば一般形に戻り、一般形を平方完成すれば頂点形式になる。問題で必要な情報に合わせて形を行き来するんだ。
📚 用語解説
二次関数：a≠0のとき、y=ax²+bx+cで表される関数。xの最高次数が2で、グラフは放物線になります。
📚 用語解説
放物線：二次関数のグラフが描く曲線。1本の対称軸と1つの頂点を持ち、aの符号で開く向きが決まります。
①頂点 ②対称軸 ③開く向き ④y軸との交点 ⑤必要に応じてx軸との交点。まず①〜③で骨格を作り、④⑤で通る点を増やすと、形と位置を取り違えにくくなります。
y=ax²のグラフはaの符号と絶対値で決まる
基本形y=ax²の頂点は(0,0)、軸はy軸、つまり直線x=0です。a>0なら上向きに開く下に凸の放物線、a<0なら下向きに開く上に凸の放物線になります。さらに|a|が大きいほど同じxに対する|y|が大きくなるため細く見え、0<|a|<1なら横に広く見えます。符号は向き、絶対値は広がりと分けて読むのが基本です。
a=2とa=1/2では、どちらも上向きですが、点はどう取れば違いが見えますか？
x=1とx=2を代入すると分かりやすい。y=2x²なら(1,2)と(2,8)、y=(1/2)x²なら(1,1/2)と(2,2)を通る。左右対称だからx=-1,-2の点も同じ高さにあるよ。頂点の左右で同じ距離の点を対にして取ると、放物線を安定して描ける。
| 式 | 開く向き | 広がり | x=±1のとき |
|---|---|---|---|
| y=2x² | 上向き | y=x²より細い | y=2 |
| y=x² | 上向き | 基準 | y=1 |
| y=(1/2)x² | 上向き | y=x²より広い | y=1/2 |
| y=-x² | 下向き | 基準を上下反転 | y=-1 |
📚 用語解説
係数a：x²に掛かる0ではない数。符号で放物線の開く向きが、絶対値でグラフの広がり方が決まります。
xが増えたときのyの変わり方は一次関数と異なり一定ではありません。二次関数の区間ごとの変化を整理したい場合は、変化の割合の求め方と一次関数・二次関数の違いもあわせて確認してください。
y=a(x-p)²+qから頂点・軸・開く向きを読む
頂点形式y=a(x-p)²+qでは、頂点が(p,q)、軸が直線x=pです。a>0なら上向き、a<0なら下向きに開きます。x=pのとき(x-p)²=0になり、y=qになるため、頂点の座標を式から直接読み取れます。また、x=p±1なら(x-p)²=1、x=p±2なら(x-p)²=4なので、軸から左右対称な点をすぐ作れます。
y=-2(x+1)²+3では、かっこの中が+1なのに頂点のx座標は-1なんですか？
そうだよ。x+1はx-(-1)と同じだから、p=-1と読む。頂点は(-1,3)、軸はx=-1、a=-2なので下向きに開く。x=0とx=-2を代入すると、どちらもy=1になって、軸から左右対称だと確認できる。かっこの符号をそのまま写さず、x-pの形に見直すのがコツだ。
| 式 | 頂点 | 軸 | 開く向き |
|---|---|---|---|
| y=3(x-2)²-5 | (2,-5) | x=2 | 上向き |
| y=-(x+4)²+1 | (-4,1) | x=-4 | 下向き |
| y=(1/2)(x-1)² | (1,0) | x=1 | 上向き |
📚 用語解説
頂点：放物線の向きが切り替わる点。上向きなら最も低い点、下向きなら最も高い点になります。
📚 用語解説
軸：放物線を左右対称に分ける直線。頂点形式y=a(x-p)²+qでは直線x=pです。
頂点と軸の読み取りをさらに練習したい場合は、二次関数の頂点の求め方と平方完成・軸の例題も役立ちます。
y=ax²+bx+cを平方完成して頂点形式に直す
一般形y=ax²+bx+cから頂点を読むには平方完成をします。例としてy=2x²-8x+5を変形します。まずx²とxの項から2をくくってy=2(x²-4x)+5。xの係数-4の半分は-2なので、かっこの中に+4と-4を入れ、y=2{(x-2)²-4}+5。最後に定数を整理してy=2(x-2)²-3です。したがって頂点は(2,-3)、軸はx=2、上向きに開くと分かります。
x²の係数が2のとき、先に2をくくらずに平方を作ろうとして計算が合わなくなります。
平方完成で最初に見るのはx²の係数だ。1でなければ、x²とxの項からaを先にくくる。定数項まで一緒にくくらないのも大切だよ。今回なら2(x²-4x)+5まで作ってから、-4の半分-2を使う。完成後は展開して2x²-8x+5に戻るかを確認すれば、符号ミスをその場で見つけられる。
| 段階 | 式 | 確認すること |
|---|---|---|
| 元の式 | y=2x²-8x+5 | a=2を確認 |
| aをくくる | y=2(x²-4x)+5 | 定数5は外に残す |
| 平方を作る | y=2{(x-2)²-4}+5 | -4の半分は-2 |
| 整理する | y=2(x-2)²-3 | 展開して元へ戻る |
📚 用語解説
平方完成：二次式をa(x-p)²+qの形に変形すること。二次関数の頂点と軸を式から読み取れるようにします。
一般形y=ax²+bx+cの軸はx=-b/(2a)です。例では-b/(2a)=8/4=2となり、平方完成で得た軸x=2と一致します。公式だけを暗記するより、平方完成の結果を確認する道具として使うと安全です。
二次関数のグラフを書く6ステップ
グラフは、①平方完成する、②頂点を打つ、③軸を破線で引く、④aから開く向きと広がりを決める、⑤y軸・x軸との交点を求める、⑥軸から左右対称な点を追加して滑らかに結ぶ、の順で書きます。最初から曲線を描こうとせず、頂点と軸で骨格を作ってから通る点を置くと、左右のずれや開く向きの間違いを防げます。
例のy=2x²-8x+5では、頂点以外にどの点を取ればグラフを書けますか？
平方完成したy=2(x-2)²-3を使おう。頂点(2,-3)と軸x=2を先に書く。x=1とx=3ならy=-1、x=0とx=4ならy=5で、軸から左右対称な2組の点が得られる。y軸との交点は(0,5)。x軸との交点も必要なら、y=0としてx=2±√6/2を求めればよい。
| 確認項目 | y=2x²-8x+5での結果 | グラフでの役割 |
|---|---|---|
| 頂点 | (2,-3) | 曲線の最も低い点 |
| 軸 | x=2 | 左右対称の基準 |
| 開く向き | a=2>0なので上向き | 曲線の方向 |
| y軸との交点 | (0,5) | 位置を固定する点 |
| x軸との交点 | (2±√6/2,0) | x軸を横切る点 |
| 対称な点 | (1,-1),(3,-1) | 曲線の形を整える点 |
二次関数のグラフは放物線です。計算した点を直線で折れ曲がるように結ぶのではなく、頂点の近くで滑らかに向きが切り替わる左右対称の曲線として描きます。
x軸・y軸との交点と判別式の読み方
y軸との交点はx=0を代入して求めます。一般形y=ax²+bx+cならy=cなので、交点は(0,c)です。x軸との交点はy=0とした二次方程式ax²+bx+c=0の実数解に対応します。因数分解や解の公式でxを求め、座標を(x,0)と書きます。解がない場合は、放物線がx軸と交わらないため、無理に交点を作図してはいけません。
x軸との交点を毎回、解の公式で最後まで計算しないと、グラフの形は判断できませんか？
交点の個数だけなら判別式D=b²-4acで分かる。D>0なら異なる2点、D=0なら1点で接し、D<0なら共有点はない。正確な座標が必要な問題だけ二次方程式を解けばいい。頂点のy座標とaの符号から位置関係を考え、判別式で照合すると、計算とグラフを二重に確認できるよ。
| 式 | 判別式D | x軸との関係 |
|---|---|---|
| y=x²-4 | 0²-4×1×(-4)=16>0 | (-2,0),(2,0)で交わる |
| y=x²-4x+4 | (-4)²-4×1×4=0 | (2,0)で接する |
| y=x²+1 | 0²-4×1×1=-4<0 | 交わらない |
📚 用語解説
判別式：二次方程式ax²+bx+c=0でD=b²-4acと置いた式。Dの符号で実数解の個数を判定できます。
📚 用語解説
共有点：2つのグラフが共通して通る点。二次関数とx軸の共有点は、y=0とした二次方程式の実数解に対応します。
x軸との交点をx=2と求めただけで終えず、座標は(2,0)と書きます。y軸との交点もy=5ではなく(0,5)です。方程式の解と座標を区別すると、記述答案での取りこぼしを防げます。
与えられた点から二次関数の式を決める3つの方法
二次関数の式を決める問題では、最初に式の形を選びます。頂点(p,q)が分かるならy=a(x-p)²+q、x軸との交点α,βが分かるならy=a(x-α)(x-β)、3点だけが分かるならy=ax²+bx+cと置きます。条件を代入した時点で残る未知数の数が少ない形ほど、連立方程式が短くなり、計算ミスも減ります。
どの問題でもy=ax²+bx+cと置けば解けるなら、3つの形を使い分ける必要はありますか？
一般形でも解けるけれど、頂点が分かる問題でa,b,cの3つを求めるのは遠回りだ。例えば頂点(1,-4)で点(3,4)を通るなら、y=a(x-1)²-4に(3,4)を代入して4=4a-4、a=2と一度で決まる。答えはy=2(x-1)²-4。条件を式の形に直接入れることが、最短の解き方だよ。
頂点ともう1点から求める
頂点(p,q)が分かるときはy=a(x-p)²+qと置きます。頂点(1,-4)を代入した形y=a(x-1)²-4を先に作り、通る点(3,4)を代入すると4=4a-4。よってa=2で、y=2(x-1)²-4です。最後に頂点が(1,-4)であることと、x=3でy=4になることを代入して検算します。
2つのx切片ともう1点から求める
x軸との交点が(-1,0)と(3,0)なら、x=-1とx=3でy=0になるため、y=a(x+1)(x-3)と置きます。さらに点(0,-3)を通るなら、-3=a×1×(-3)からa=1。したがってy=(x+1)(x-3)=x²-2x-3です。因数の符号は、x=-1,3を代入して0になるかで確認します。
異なる3点から求める
3点(0,1),(1,0),(2,3)を通る場合はy=ax²+bx+cと置きます。3点を順に代入するとc=1、a+b+c=0、4a+2b+c=3です。c=1を入れてa+b=-1、4a+2b=2を解くとa=2,b=-3。よってy=2x²-3x+1です。3点すべてを完成した式に戻し、対応するyが出るかを必ず確かめます。
| 与えられる条件 | 最初に置く形 | 主な未知数 |
|---|---|---|
| 頂点(p,q)+もう1点 | y=a(x-p)²+q | aだけ |
| x切片α,β+もう1点 | y=a(x-α)(x-β) | aだけ |
| 異なる3点 | y=ax²+bx+c | a,b,c |
| 軸x=p+2点 | y=a(x-p)²+q | a,q |
二次関数の平行移動・対称移動を式で表す
y=f(x)のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動すると、y=f(x-p)+qになります。基本形y=ax²を移動すればy=a(x-p)²+qとなり、頂点が(0,0)から(p,q)へ移ります。右へpだけ動かすのに式の中がx-pになる点が混乱しやすいので、移動後の頂点x=pを代入するとかっこが0になる、と確認してください。
対称移動では、xとyのどちらの符号を変えるのか分からなくなります。
x軸対称は点(x,y)が(x,-y)へ移るから、関数全体を-y側へ反転してy=-f(x)。y軸対称は(x,y)が(-x,y)へ移るから、式のxを-xにしてy=f(-x)。原点対称は両方を行いy=-f(-x)だ。点がどこへ移るかを先に書けば、式の符号を暗記だけに頼らず決められるよ。
| 移動・対称 | y=f(x)からの式 | 点の対応 |
|---|---|---|
| x軸方向p、y軸方向q | y=f(x-p)+q | (x,y)→(x+p,y+q) |
| x軸に関して対称 | y=-f(x) | (x,y)→(x,-y) |
| y軸に関して対称 | y=f(-x) | (x,y)→(-x,y) |
| 原点に関して対称 | y=-f(-x) | (x,y)→(-x,-y) |
📚 用語解説
平行移動：グラフ上の全ての点を同じ向きに同じ距離だけ動かすこと。形や開き方は保たれます。
y=x²を右に2、下に3だけ動かすとy=(x-2)²-3です。頂点が(2,-3)になっているかを確認すると、x-pと+qの符号を取り違えていないかをすぐ判定できます。
グラフから最大・最小を求めてミスを直す
二次関数の最大・最小はグラフで考えます。y=a(x-p)²+qでa>0なら頂点(p,q)が最小側、a<0なら頂点が最大側です。ただし定義域m≤x≤nがあるときは、軸x=pが範囲内に入るかを確認します。頂点が範囲外なら、範囲内ではグラフの片側だけを見ることになるため、両端x=m,nの値を比べて最大・最小を決めます。
平方完成して頂点を出せば、定義域があっても必ず頂点が最大か最小になると思っていました。
頂点が定義域の外なら、その点は今回の候補にできない。例としてy=(x-2)²-3を0≤x≤1で考えると、頂点x=2は範囲外だ。x=0でy=1、x=1でy=-2だから、最大値1、最小値-2になる。まず数直線に定義域と軸を書き、頂点が使えるかを確認してから端点を代入しよう。
| よくあるミス | 原因 | 直し方 |
|---|---|---|
| 頂点のx座標の符号が逆 | x-pを読まずにかっこの符号を写す | かっこが0になるxを代入 |
| 開く向きが逆 | 「上に凸」と「上向き」を混同 | a>0ならy=x²を基準に上向き |
| x切片を必ず2つ書く | 二次方程式は常に2解と思い込む | 判別式で0個・1個・2個を判定 |
| 3点から式が決まらない | 1つの点でxだけを代入 | 座標(x,y)を組で代入 |
| 最大最小で頂点だけを見る | 定義域を先に確認していない | 軸と範囲を数直線に書く |
練習では、答えが合ったかだけでなく「どの段階で止まったか」を記録します。平方完成、頂点・軸、交点、式の形の選択、定義域の5項目に分ければ、二次関数全体が苦手なのではなく、直すべき1工程が見えるようになります。次の問題では、その工程だけを先に声に出して確認してから解き始めると、同じミスの反復を減らせます。
二次関数のグラフは「普通の対策」だけでは身につかない
二次関数のグラフは、解説を一度読んだだけでは身につきません。平方完成、頂点と軸、開く向き、交点、条件に合う式の選択という複数の工程を、自分の手で何度もつなげる必要があります。1工程でも曖昧なままだと、後の最大・最小や二次不等式でも同じ箇所から崩れるため、普通の「解説を聞いて例題をまねる」対策だけでは不十分です。
①解説を得ても、白紙から平方完成して作図する行動までは変わりにくい ②全員同じ練習では、符号・交点・式決定のどこで止まるかに合わせられない ③確認が週単位だと、間違えた計算手順の修正が遅れる
独学・参考書だけでは間違えた工程を切り分けにくい
参考書は平方完成や判別式の正しい手順を確認するのに役立ちます。一方、答えが違ったときに、aをくくる段階、x係数を半分にする段階、頂点の符号を読む段階のどこで崩れたかを毎回自分で特定するのは簡単ではありません。限界①と②が残ります。
映像授業・アプリだけでは白紙からグラフを書く確認が不足する
映像授業やアプリは、放物線が動く様子を視覚的に理解する助けになります。しかし、視聴して分かったことと、何も見ずに一般形を平方完成し、交点まで求めてグラフを書けることは別です。画面上の理解が手を動かす行動へ移らないと、限界①が残ります。
集団授業の大手予備校ではつまずき別の練習に分けにくい
集団授業は二次関数を体系的に学べますが、同じ授業と同じ課題では、平方完成で止まる生徒、グラフは書けるが3点から式を決められない生徒、定義域つきの最大・最小で止まる生徒に、それぞれ異なる課題を同時に出すことが難しく、限界②が残ります。
一般的な個別指導でも週1回では誤った手順の修正が遅れる
一般的な個別指導では、その場の質問には個別に答えてもらえます。ただし確認が週1回なら、平方完成の符号ミスを次の指導まで気づかず繰り返すことがあります。グラフを書く一連の工程を短い間隔で再確認できなければ、限界③が残ります。
独学・映像授業・集団授業・一般的な個別指導にはそれぞれ良さがありますが、二次関数の全工程を分けて確認し、間違えた工程をすぐ解き直す条件を一体で満たすのは簡単ではありません。
そこで、2次関数の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。
1Day鬼管理数学合宿の特徴
| こうしたい | 選ぶコース |
|---|---|
| 学校の単元を固めたい | 数学Ⅰ・数学Aの単元のコース |
| 志望校の形で解きたい | 数学ⅠAの大学別のコース |
| 数学ⅡBCを解きたい | 数学ⅡBCの大学別のコース |
| 数検を受ける | 数検準2級のコース |
二次関数のグラフの問題を、1日でまとめて解き切りたいです。
それなら1Day鬼管理数学合宿だ。二次関数のグラフは、数学Ⅰの「2次関数」のコースで扱う。
1Day鬼管理数学合宿は、鬼管理専門塾が開くオンラインの合宿です。数学の1つの単元や志望校の範囲を、1日でやり切ります。授業を聞く日ではなく、紙に解いて答えを確かめる日です。塾生でなくても参加できます。合宿の全体像は、1Day鬼管理数学合宿とはで確かめられます。
学校で習っている単元や苦手な単元を選び、その日のうちに解き切る
例題は答えの数字を入れると、すぐに○×と解き方が出る
例題と数字を変えた問題を選択肢なしで解き、すぐに点数と解き方が出る
カメラで手元を映し、監督官がGoogle Meetで見守る
宿題編（答えと解き方つき）を解き、同じ型で数字を変えた問題で確かめる
二次関数のグラフに近いコース
数学Ⅰ「2次関数」
グラフ・平方完成・最大最小・2次方程式・判別式・2次不等式・解の配置を、1日でやり切る単元のコースです。
塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴
合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。
鬼管理専門塾は、授業を受けた時間ではなく、学習者が毎日何を実行し、どこまで定着したかを管理します。二次関数のように複数の計算工程が連続する学習へ、公式サイトで確認できる固定の6つの特徴を接続すると、次のように整理できます。
「今日やるべきこと」を英単語○語・問題○題のように数値で指示する
得点データをもとに、専属講師が生徒ごとの行動プランを設計する
進捗を毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を検証する
厳格な基準で選考した専属講師陣。講師満足度アンケートは回答1,524件
大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースを展開する
LINEで質問でき、Zoomの無料説明会や資料請求で入会前に相談できる
❶ 1日単位の数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。
二次関数では「平方完成を何題、3点からの式決定を何題」のように1日の課題を数値で区切ると、理解したつもりで終わらず、手を動かして再現できた量まで確認できます。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。
同じ二次関数が苦手でも、頂点の符号で止まる生徒と判別式や連立方程式で止まる生徒では、次に解くべき問題が違います。得点と誤答の工程を見て個別の行動プランを作ります。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。
二次関数の手順は、数日空くと平方完成や移動の符号から抜けやすい部分です。毎日の進捗と毎週の確認テストで再現できるかを確かめ、抜けた工程を次の課題へ戻します。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。
式とグラフの関係を教えるには、答えだけでなく「なぜx-pで右へ動くか」「なぜDで交点数が分かるか」まで説明する力が必要です。厳選された専属講師が理解の根を確認します。
❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開
大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。
二次関数は数学Iの最大・最小、方程式・不等式から入試問題までつながります。大学・学部特化の大学受験コースから高校受験まで、目標に合わせた専門コースで先の単元へ接続できます。
❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求
授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。
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まとめ｜二次関数は式とグラフを往復して理解する
二次関数のグラフは、一般形y=ax²+bx+cを平方完成して頂点形式y=a(x-p)²+qへ直し、頂点(p,q)、軸x=p、aによる開く向きを読めば骨格が決まります。x=0でy軸との交点、y=0でx軸との交点を求め、軸から左右対称な点を追加すれば、位置と形の根拠を持って放物線を描けます。
| 目的 | 使う形・操作 | 最初に読む情報 |
|---|---|---|
| 一般形からグラフを書く | 平方完成してy=a(x-p)²+q | 頂点・軸・開く向き |
| x軸との関係を見る | y=0、D=b²-4ac | 交点の座標・個数 |
| 頂点と点から式を決める | y=a(x-p)²+q | 未知数a |
| 2つのx切片と点から決める | y=a(x-α)(x-β) | 未知数a |
| 3点から式を決める | y=ax²+bx+c | 未知数a,b,c |
| 定義域つき最大最小 | 軸と範囲を照合 | 頂点・両端の値 |
次に問題を解くときは、答えを見る前に「今ある条件が最も直接入る式はどれか」を一度判断し、頂点・軸・向き・交点の順にメモしてください。途中で間違えたら、二次関数全体をやり直すのではなく、平方完成、符号、交点、式の選択、定義域のどの工程かを特定して、その工程だけを解き直します。式とグラフを行き来できれば、最大・最小や二次不等式にも同じ考え方を使えます。
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公式LINEで合宿の案内を受け取る 1Day鬼管理数学合宿のくわしい説明を見るよくある質問
Q. 二次関数のグラフを書くとき、最初に何を求めますか？
A. 一般形なら最初に平方完成して頂点形式へ直し、頂点と軸を求めます。次にaの符号で開く向きを決め、y軸・x軸との交点と、軸から左右対称な点を追加して放物線を描きます。
Q. y=a(x-p)²+qの頂点で、pの符号を間違えない方法はありますか？
A. かっこの中を0にするxを考えます。x-p=0ならx=pです。例えばx+3はx-(-3)なので、頂点のx座標は-3です。qは式の外の符号をそのまま読みます。
Q. 二次関数のグラフでx軸との交点は必ず2つありますか？
A. 必ず2つとは限りません。判別式D=b²-4acが正なら2つ、0なら1つで接し、負なら実数の交点はありません。頂点の位置と開く向きからも同じ位置関係を確認できます。
Q. 平方完成はどの順番で進めればよいですか？
A. x²の係数aが1でなければx²とxの項からaをくくり、かっこ内のx係数の半分を使って平方を作り、最後に定数を整理します。完成後に展開して元の式へ戻るかを検算します。
Q. 3点を通る二次関数はどう求めますか？
A. y=ax²+bx+cと置き、3点の(x,y)をそれぞれ代入してa,b,cについての連立方程式を作ります。解いた後は、完成した式に3点すべてを代入して対応するyになるかを確認します。
Q. 頂点と1点が分かるときもy=ax²+bx+cを使いますか？
A. 使えますが、頂点(p,q)を直接入れられるy=a(x-p)²+qの方が短く解けます。残る未知数はaだけなので、もう1点を代入すれば式を決定できます。
Q. 二次関数の最大・最小で頂点だけを見ればよいですか？
A. 定義域がない場合はaの符号と頂点で判断できます。定義域がある場合は、軸が範囲内に入るかを確認し、頂点が範囲外なら両端の関数値を比べて最大・最小を決めます。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映