因数分解とは？公式一覧とやり方｜共通因数・たすき掛け・応用問題を例題で解説【数学I】

因数分解とは、和や差で表された多項式を、いくつかの式の積へ書き換える操作です。計算問題だけの技術に見えますが、二次方程式、二次不等式、関数の零点、高次方程式へ進むための土台になります。文部科学省の高等学校学習指導要領解説でも、数学I「数と式」において二次の乗法公式と因数分解の公式の理解を深め、既に学んだ計算方法と関連付けて式を目的に応じて変形することが示されています。本記事では、答えだけでなく「なぜその形を選ぶか」「どこまで分解すれば完成か」まで例題で確認します。

因数分解とは？展開との関係と解く目的

結論から言うと、因数分解は展開の逆向きの操作です。たとえば(x+2)(x+3)を展開するとx²+5x+6になり、x²+5x+6を因数分解すると(x+2)(x+3)へ戻ります。展開では積を和へ広げ、因数分解では和を積へまとめます。答えを出したあとに展開して元の式へ戻せるため、因数分解は自分で正誤を確かめやすい単元でもあります。

なぜ和を積へ直すと役立つのか

積の形には、式の重要な性質が見えやすい利点があります。(x+2)(x+3)=0なら、積が0になるにはx+2=0またはx+3=0であればよいので、x=-2、-3と分かります。x²+5x+6=0のまま眺めるより、解へ直結します。二次不等式でも、各因数の符号が切り替わる位置を使って正負を調べます。

また、式を簡単にする目的でも使います。分数式の約分、関数の交点、整数問題の積の形など、後の単元で「因数分解できるか」が計算量を左右します。公式を暗記する目的は答えの形を覚えることではなく、隠れている積の構造を見抜き、次の操作ができる形へ変えることです。

因数分解の最初の一手は共通因数でくくる

因数分解では、どの問題でも最初に共通因数を調べます。共通因数とは、すべての項に共通して含まれる数や文字です。6x²+9xでは、係数6と9に3が共通し、文字部分にはxが共通するので、最大の共通因数は3xです。したがって6x²+9x=3x(2x+3)となります。公式へ進む前に共通因数を出すだけで、かっこの中の係数が小さくなり、次の形が見えやすくなります。

共通因数でくくる手順

例として12a³b²-18a²b³を考えます。12と18の最大公約数は6、aの最小指数は2、bの最小指数も2です。したがって共通因数は6a²b²で、12a³b²-18a²b³=6a²b²(2a-3b)となります。かっこの中へ何を書くか迷ったら、各項を6a²b²で実際に割ると確実です。

マイナスをくくると式が見やすくなる

-x²+5x-6のように最高次の項が負なら、-1をくくって-(x²-5x+6)とすると、かっこの中を通常の形で扱えます。x²-5x+6=(x-2)(x-3)なので、答えは-(x-2)(x-3)です。最初のマイナスを最後に書き忘れないよう、計算の各行で残してください。

因数分解の公式一覧｜形・見分け方・例題

共通因数を処理した後は、式が乗法公式を逆向きに使える形かを調べます。公式は独立した暗記事項ではなく、展開すれば確かめられます。左右を両方覚えようとせず、右辺の積を展開して左辺になる理由を理解すると、符号や係数が変わっても自分で復元できます。

型	因数分解の公式	見分ける着眼点	例
積と和	x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)	掛けて定数、足してxの係数	x²+5x+6=(x+2)(x+3)
和の完全平方	x²+2ax+a²=(x+a)²	両端が平方、中央が正の2倍	x²+6x+9=(x+3)²
差の完全平方	x²-2ax+a²=(x-a)²	両端が平方、中央が負の2倍	x²-8x+16=(x-4)²
平方の差	x²-a²=(x+a)(x-a)	平方どうしの引き算	x²-25=(x+5)(x-5)

公式1：掛けて定数項、足して一次の係数

x²+7x+12では、積が12、和が7になる2数を探します。3と4が条件を満たすので、(x+3)(x+4)です。x²-x-12なら積が-12、和が-1となる3と-4を選び、(x+3)(x-4)です。定数項が負なら2数の符号は異なり、一次の係数と絶対値が大きい方の符号が一致します。

公式2・3：完全平方式は中央の項まで確認する

x²+10x+25は、x²と25=5²だけで判断せず、中央が2×x×5=10xであることを確認して(x+5)²とします。x²-10x+25なら中央が-2×x×5なので(x-5)²です。両端が平方でも、x²+8x+25の中央は±10xではないため完全平方式ではありません。

公式4：平方の差は和では使えない

9x²-16=(3x)²-4²なので(3x+4)(3x-4)です。一方、9x²+16は平方の和であり、実数係数の一次式の積として同じ公式では分解できません。符号を見ずに(3x+4)(3x-4)とすると、展開結果は9x²-16になるため誤りに気づけます。

どの公式を使う？因数分解の見分け方を順番で整理

式を見て手が止まる原因は、候補を同時に考えすぎることです。判断を順番へ変えましょう。最初は共通因数、次に項の数、最後に最高次の係数を見ます。2項なら平方の差や三乗の和・差、3項なら完全平方や積と和、二次の係数が1でなければたすき掛けを候補にします。どれにも合わなければ、置き換えや項の組み分けを考えます。

2項なら「何乗どうしの和・差か」を見る

x²-49は平方の差、8x³+27は(2x)³+3³です。前者は(x+7)(x-7)、後者は三乗の和の公式から(2x+3)(4x²-6x+9)となります。三乗の公式をまとめて確認したい場合は、三乗の展開・因数分解公式の解説で、符号と二次式の並びを整理できます。

3項なら両端・中央・係数を見る

3項の二次式では、両端が平方なら完全平方を先に疑い、中央が積の2倍かを確かめます。完全平方でなければ、最高次の係数が1のときは積と和、1でないときはたすき掛けへ進みます。たとえばx²+2x-15は積-15、和2の5と-3から(x+5)(x-3)です。

4項なら前半と後半を組にする

ax+ay+bx+byは、前半をa(x+y)、後半をb(x+y)とまとめると、共通する(x+y)が現れます。したがって(a+b)(x+y)です。4項の式では、すべてに共通する因数がなくても、2項ずつまとめた結果に共通因数が生まれることがあります。組み方を変えたら同じかっこができるかを見てください。

たすき掛けによる因数分解のやり方

ax²+bx+cでa≠1のときは、(px+q)(rx+s)と置くと、pr=a、qs=c、ps+qr=bとなります。たすき掛けは、aとcの因数の組を並べ、斜めに掛けた2つの積の和がbになる組合せを探す方法です。図の形だけを暗記するのではなく、展開した中央の項psx+qrxがbxになる条件を探していると理解してください。

例題：6x²+7x-3をたすき掛けする

答えの因数の順序は逆でも構いません。(2x+3)(3x-1)も同じ積です。重要なのは、先頭の積が6x²、定数の積が-3、外側と内側の積の和が7xになることです。たすきの線を正しく引けても、横に読むときに係数と定数を入れ替えるミスがあるため、最後の展開は省かないでください。

先頭が負のときは-1を先にくくる

-2x²+x+3では、まず-(2x²-x-3)とします。かっこの中は(2x-3)(x+1)なので、-(2x-3)(x+1)です。これは(3-2x)(x+1)とも書けます。負のままたすき掛けを始めるより、最高次の係数を正にしてから通常の手順へ戻す方が、候補と符号を整理しやすくなります。

たすき掛けで整数の組が見つからない場合

因数の候補を正しく試しても中央の係数にならないとき、その式は整数係数の一次式の積へ分解できない可能性があります。無理に数字を作らず、問題が求める数の範囲を確認します。二次方程式なら解の公式、二次関数なら平方完成など、目的に合う別の方法へ切り替えます。

因数分解の応用｜置き換え・複数文字・3次式

基本公式とたすき掛けだけで進まない式は、「同じかたまりを一文字へ置く」「項を組にして共通因数を作る」「高次式の因数を値から探す」のどれかへ整理します。複雑な式ほど、一度に全体を見ようとせず、繰り返している部分を単純な二次式へ落とすことが大切です。

置き換え：同じ式を一文字として見る

(x+1)²-5(x+1)+6では、X=x+1と置くとX²-5X+6=(X-2)(X-3)です。元へ戻して(x-1)(x-2)となります。置き換える対象は、式の中で同じ形のまま繰り返すかたまりです。置換後の式を因数分解し、必ず元の文字へ戻し、さらに分解できるかを確認します。

x⁴-5x²+4もX=x²と置けばX²-5X+4=(X-1)(X-4)です。戻すと(x²-1)(x²-4)、平方の差を続けて(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)となります。次数が大きくても、指数が同じ間隔で並ぶ式は置き換えで二次式へ下げられることがあります。

複数文字：一つの文字について整理する

x²+(2y+1)x+y(y+1)は、xについての二次式と見ます。定数部分の積がy(y+1)、和が2y+1になる2つの式はyとy+1なので、(x+y)(x+y+1)です。文字が複数あっても、どの文字を主役にするか決めると、積と和の公式をそのまま使えます。

4項の組み分け：同じかっこを作る

x³+x²+2x+2は、前半と後半に分けてx²(x+1)+2(x+1)とします。共通する(x+1)をくくり、(x+1)(x²+2)です。別の組み方で同じかっこが現れなければ、項の順序を並べ替えて試します。各項を勝手に変形するのではなく、加法の交換・結合法則で組を作り直します。

3次式：三乗公式と因数定理を使い分ける

x³+8はx³+2³なので、三乗の和の公式から(x+2)(x²-2x+4)です。公式の形でない3次式では、f(a)=0となるaが見つかれば(x-a)を因数に持つという因数定理へ進みます。因数定理と組立除法の手順は3次式の因数分解の解説で、最初の解の候補から確認できます。

因数分解でよくあるミスと展開による検算

因数分解の誤りは、公式を知らないことより、確認の順番が抜けることで起こります。代表的なのは、共通因数の取り残し、符号の逆転、完全平方の中央項の見落とし、たすき掛けの横読み違い、分解途中で終えることです。どの誤りも、答えを展開し、元の各項と一対一で照合すれば発見できます。

ミス1：共通因数を最大まで出していない

6x²+12xを2x(3x+6)とする式は間違いではありませんが、かっこの中に3が残っています。通常は6x(x+2)までまとめます。係数は最大公約数、文字は全項に含まれる最小指数を選ぶと、最初から簡潔な答えになります。採点では同値でも、未完成と扱われる形を残さないようにします。

ミス2：定数項が負なのに同符号を選ぶ

x²+x-12で定数項-12は、2数の積が負になることを示します。したがって符号は異なります。4と-3なら和が1なので(x+4)(x-3)です。(x+4)(x+3)では定数が+12になり、展開前でも誤りだと分かります。まず積の符号、次に和の符号を見る順番が有効です。

ミス3：両端が平方だけで完全平方と決める

x²+6x+16では両端がx²と4²ですが、完全平方(x+4)²の中央項は8xです。元の中央項6xと一致しないため、完全平方式ではありません。「両端の平方根を掛けて2倍する」という確認を加えれば、見た目だけで公式を当てる誤りを防げます。

ミス4：分解できる因数を残す

2x²-8=2(x²-4)は途中式です。x²-4=(x+2)(x-2)なので、完成は2(x+2)(x-2)です。共通因数を出した直後、置換を戻した直後、たすき掛けを終えた直後のそれぞれで、各因数へ基本公式をもう一度適用できないか確認します。

展開結果のずれ	疑う場所	確認方法
最高次の係数が違う	先頭の因数	先頭どうしを掛け直す
定数項が違う	定数の組と符号	最後どうしを掛け直す
中央項だけ違う	交差する積	外側と内側の積を加える
元へ戻るが形が長い	分解の未完了	各因数へ公式を再適用する

因数分解の例題｜基本から応用まで解き方を確認

ここでは、公式名を当てるのではなく、判断の順番を口に出しながら解きます。各例題で「共通因数はあるか」「項数はどうか」「どの公式の展開結果か」「答えを展開すると戻るか」を確認してください。途中式の根拠を説明できれば、数字や文字が変わっても同じ型を使えます。

例題A：8x³y-12x²y²

係数8と12の最大公約数は4、xの最小指数は2、yの最小指数は1です。共通因数4x²yを出すと、4x²y(2x-3y)です。かっこの中に共通因数はなく、基本公式も使わないため完成です。展開すると8x³y-12x²y²へ戻ります。

例題B：x²-12x+36

両端はx²と6²、中央は-2×x×6=-12xなので差の完全平方式です。したがって(x-6)²です。積と和で考えても、積36、和-12となる-6と-6を選び、(x-6)(x-6)となります。完全平方は積と和の2数が同じになる特別な場合です。

例題C：4x²-81

(2x)²-9²という平方の差です。公式A²-B²=(A+B)(A-B)にA=2x、B=9を入れ、(2x+9)(2x-9)です。中央の項がないことは、展開した+18xと-18xが打ち消し合うことから説明できます。プラスの4x²+81には同じ公式を使えません。

例題D：3x²-11x-4

最高次の係数が1でないので、たすき掛けを使います。3=3×1、-4は1×(-4)とし、斜めの積3×(-4)+1×1=-11が中央の係数に一致します。よって(3x+1)(x-4)です。展開すると3x²-12x+x-4=3x²-11x-4へ戻ります。

例題E：x⁴-13x²+36

X=x²と置くとX²-13X+36です。積36、和-13となる-4と-9から(X-4)(X-9)。元へ戻して(x²-4)(x²-9)となり、どちらも平方の差なので(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)まで分解します。置換後と置換を戻した後の二段階で公式を使う例です。

例題F：ab-ac+2b-2c

前半と後半を組にしてa(b-c)+2(b-c)とします。共通する(b-c)をくくると(a+2)(b-c)です。4項すべてに共通因数はありませんが、組み分け後に同じかっこが現れます。展開するとab-ac+2b-2cとなり、元の項と符号が一致します。

例題G：因数分解を二次不等式へ使う

x²-x-6<0を因数分解すると(x-3)(x+2)<0です。積が負になるのは2因数の符号が異なる範囲なので、-2二次不等式の解き方で確認できます。

因数分解を得意にする勉強法と復習の進め方

因数分解は、公式を眺める時間より、式を分類して自力で展開確認する時間を増やすと定着します。初めは共通因数、完全平方、平方の差、積と和を一種類ずつ練習し、次に種類を伏せた混合問題へ進みます。たすき掛けは候補を速く書くことより、符号と中央項から候補を減らす説明を重視します。

公式カードは左に式、右に見分け方を書く

公式だけを写したカードでは、問題から公式を選ぶ練習になりません。表にはx²-a²、裏には「2項・平方どうし・差」と書きます。完全平方なら「両端が平方・中央が積の2倍」、積と和なら「掛けて定数・足して一次係数」です。式の特徴から公式を呼び出す向きで確認します。

間違いノートは答えでなく停止地点を残す

誤答を丸ごと写すだけでは、次に同じ見た目の問題が出るまで弱点を使えません。「共通因数2を見落とした」「定数が負なのに同符号を試した」「置換を戻した後の平方の差を忘れた」のように、止まった判断を一行で残します。その一行が次の復習課題になります。

定着は数字を変えた問題で確かめる

解答を覚えた同じ問題だけでなく、係数や符号が変わった同型を解いてください。形の表面が変わっても、共通因数→式の特徴→公式→検算という順番を再現できれば定着しています。二次方程式や二次不等式へ進んだ後も、因数分解の行だけを取り出して速度と正確さを点検します。

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因数分解対策は「普通の対策」では受からない

結論から言います。因数分解の公式を読み、解説を見て分かっただけの「普通の対策」では、式の形が変わる入試問題で安定して得点し、志望校へ受かるのは厳しいです。この記事で扱っただけでも、共通因数、完全平方、平方の差、積と和、たすき掛け、置換、組み分け、因数定理という判断があります。必要なのは公式の暗唱ではなく、初見の式を分類して正しい手順を最後まで再現する力です。

文部科学省の学習指導要領解説も、因数分解の公式の理解に加え、既に学んだ計算方法と関連付けて式を多面的に捉え、目的に応じて変形する力を示しています。たとえばx⁴-13x²+36では、4次式という見た目に惑わされずx²を置換し、戻した後に平方の差を続けなければ完成しません。判断の抜けを原因別に直し、自力で解く演習へ変える必要があります。

選択肢①：独学・参考書だけでは行動修正が続きにくい

独学や参考書でも公式と解説は得られますが、従来塾の限界である「情報を得ても行動は変わらない」に当たりやすくなります。解説を読んだ直後の理解と、翌日に共通因数から検算まで一人で再現することは別です。誤答原因を細かく分けず、得意な型だけを選ぶと、苦手な判断が残ります。

選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が演習へ変わりにくい

映像授業やアプリはたすき掛けの動きを見やすく説明できますが、視聴した量が自力演習の量を保証するわけではありません。「情報を得ても行動は変わらない」に加え、「全員同じ指導は偏差値50に収束する」という限界もあります。符号で止まる人と置換後の再分解で止まる人へ、同じ順の動画だけでは課題を分けきれません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の停止地点が残る

集団授業の大手予備校は体系的に進みますが、「全員同じ指導」の限界があります。同じ誤答でも、共通因数を見落とした生徒、積と和の符号を誤った生徒、分解途中で止めた生徒では、戻る課題が違います。一斉の進度だけで各自の停止地点を翌日の復習へ反映するのは難しくなります。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、「週1指導では変化が遅い」という限界が残ります。授業日に公式を理解しても、その後の自力演習で誤った符号や未完成の形を反復し、次の確認まで直らなければ、方程式や不等式の学習にも影響します。理解した日の後に何を解き、どこを確認するかまで管理が必要です。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、理解を自力の判断へ変え、苦手な型を集中して解き切る部分が残ります。

そこで、因数分解を含む数と式の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。

1Day鬼管理数学合宿の特徴

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塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴

合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。

鬼管理専門塾は、受験生が毎日何を行い、結果をどう修正するかを具体化するオンライン塾です。ここでは公式ページで確認できる6つの特徴を、因数分解を含む受験数学の学習で生じる悩みと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を進める」のような曖昧な予定ではなく、教材、範囲、問題数、復習内容までを1日単位で数値化し、その日に行う学習を具体的な指示へ変えます。

因数分解なら、公式を読むだけで終えず、共通因数、完全平方、たすき掛け、混合問題のどこを解き、どの誤答を解き直すかまで行動にできます。判断の練習量を曖昧にしません。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

現在の学力、志望校、科目ごとの得意不得意を確認し、生徒ごとの個別行動プランを設計します。全員へ同じ課題を配るのではなく、目標から逆算して行動を決めます。

共通因数で止まる人と、置き換えた後の再分解で止まる人では必要な復習が違います。因数分解の停止地点に合わせて課題を分ければ、既にできる型へ時間を偏らせずに済みます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の進捗は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。結果を分析し、必要に応じて追加課題やその後の学習計画へ反映する管理の仕組みです。

公式を使えた直後でも、時間が経って符号や係数が変わると迷うことがあります。日々の実行と週ごとの確認を分けて見ることで、因数分解の判断を後から再現できるかまで点検できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な選考を経て採用され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質については、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の結果も公開されています。

因数分解の答案では、答えが合っていても共通因数の不足や根拠のない式変形が残ることがあります。途中式を専属講師と確認することで、自己採点では見逃しやすい判断の抜けを特定できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで、目標別の専門コースを展開しています。

大学受験数学では、因数分解だけを孤立させず、二次方程式、二次不等式、関数、高次方程式へ進む順序を志望校と残り期間に合わせて設計できます。単元間のつながりを計画へ反映できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会があり、保護者の同席も可能です。指導内容を文書で確認できる資料請求の窓口も用意されています。

因数分解のどの判断で止まり、受験数学全体の中でどこから復習するかを整理する際も、質問の窓口と指導内容を確認する手段が分かれています。サービスの内容を事前に照合できます。

鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、塾の結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜因数分解は判断順と展開確認で身につける

因数分解とは、多項式を因数の積へ書き換える操作で、展開の逆です。最初に全項の共通因数を調べ、2項なら平方や三乗の和・差、3項なら完全平方や積と和、二次の係数が1でなければたすき掛けを検討します。式の次数が飛ぶときは置き換え、4項では組み分け、高次式では三乗公式や因数定理へ進みます。

公式を選ぶ根拠は、式の特徴と言葉で結びます。完全平方なら両端が平方で中央が積の2倍、平方の差なら2項の平方どうしの引き算、積と和なら掛けて定数項・足して一次係数です。答えを得たら必ず展開し、最高次、中央、定数の各項が元へ戻るか確認します。

間違えたときは「計算ミス」で終えず、共通因数、符号、公式選択、たすきの並び、置換後の再分解、検算忘れへ原因を分けます。原因に対応する同型を解き直し、最後は型を伏せた混合問題で判断順を再現します。この流れを使えば、因数分解を二次方程式や二次不等式の解法へつなげられます。

よくある質問

Q. 因数分解とは簡単にいうと何ですか？

A. 和や差で表された多項式を、いくつかの数や式の積へ書き換えることです。展開の逆向きの操作で、答えを展開すれば元の式へ戻るかを確認できます。

Q. 因数分解では最初に何をすればよいですか？

A. すべての項に共通する数や文字がないかを確認します。係数は最大公約数、文字は全項に含まれる最小の指数を目安に共通因数を出します。

Q. 因数分解の公式はどう見分けますか？

A. 共通因数の後に項数を見ます。2項なら平方の差、3項なら完全平方や積と和を確認し、二次の係数が1でなければたすき掛けを検討します。

Q. 完全平方式の見分け方は何ですか？

A. 両端がそれぞれ平方であり、中央の項が両端の平方根を掛けた値の2倍になっているかを確認します。中央が正なら和の平方、負なら差の平方です。

Q. たすき掛けはいつ使いますか？

A. ax²+bx+cでaが1ではない二次式を、整数係数の一次式の積へ分解するときに使います。aとcの因数を並べ、斜めの積の和がbになる組合せを探します。

Q. 因数分解ができたかどうかはどう確認しますか？

A. 得た因数の積を展開し、元の式と係数・次数・符号がすべて一致するかを調べます。さらに各因数へ公式を使えないかを確認し、分解途中で止めないようにします。

Q. x²+a²は平方の差の公式で因数分解できますか？

A. 実数の範囲では、平方の差A²-B²=(A+B)(A-B)を平方の和へそのまま使うことはできません。プラスとマイナスを見分け、問題が指定する数の範囲も確認します。

Q. 因数分解が苦手なときはどう練習しますか？

A. 共通因数、完全平方、平方の差、積と和を別々に練習した後、型を伏せた混合問題へ進みます。誤答は停止した判断ごとに分類し、数字を変えた同型で解き直します。