最大公約数の求め方を完全解説｜素因数分解・連除法・ユークリッドの互除法と練習問題

最大公約数は、小学校の約数だけでなく、高校数学Aの整数、分数の約分、比、一次不定方程式にもつながる基本概念です。公式だけを暗記すると「共通する素数を掛け忘れる」「3数のうち2数だけを割ってしまう」といったミスが起こります。本記事では、文部科学省の指導資料、東京都立大学と静岡理工科大学の公開資料で定義と計算法を照合し、途中式を再現できる形にまとめました。まず、最大公約数が何を表す数なのかから確認します。

最大公約数とは？公約数・約数との違いを整理

最大公約数とは、2つ以上の正の整数に共通する約数、つまり公約数のうち、最も大きい正の整数です。20の約数は1、2、4、5、10、20、30の約数は1、2、3、5、6、10、15、30なので、公約数は1、2、5、10、その最大である10が20と30の最大公約数です。英語ではgreatest common divisorといい、GCDと略します。日本語では「最大公約数」、数式ではgcd(20,30)=10のように表します。

用語	意味	20と30の例	答え方
約数	ある整数を割り切る正の整数	20の約数は1,2,4,5,10,20	指定された1数ごとに列挙
公約数	2つ以上の整数に共通する約数	1,2,5,10	最大公約数の約数を全て書く
最大公約数	公約数のうち最大のもの	10	通常は正の整数を1つ答える
互いに素	最大公約数が1である関係	例：8と15	共通素因数がないと確認

最大公約数の求め方①｜約数を列挙して共通部分を探す

最も基本的な方法は、それぞれの正の約数を小さい順に書き、共通するものの最大を選ぶ方法です。たとえば28と42なら、28の約数は1、2、4、7、14、28、42の約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。共通する1、2、7、14の最大は14なので、gcd(28,42)=14です。数が小さく、約数を漏れなく短時間で書ける場合には、定義をそのまま使うこの方法が最も確実です。

最大公約数の求め方②｜素因数分解では指数の小さい方を選ぶ

2つ以上の整数を素因数分解できるときは、全ての数に共通する素数について、指数の最小値を選んで掛けます。84=2²×3×7、126=2×3²×7です。共通する素数は2、3、7で、2の指数は2と1の小さい方1、3の指数は1と2の小さい方1、7の指数はどちらも1です。したがって最大公約数は2¹×3¹×7¹=42です。

素数	84の指数	126の指数	最大公約数で採用	理由
2	2	1	1	両方が持つのは1個まで
3	1	2	1	両方が持つのは1個まで
7	1	1	1	両方が1個ずつ持つ
積	84	126	2×3×7=42	共通部分を全て掛ける

最大公約数の求め方③｜連除法（すだれ算）で共通因数を抜く

連除法は、2つ以上の整数を横に並べ、全てを割り切る素数で繰り返し割る方法です。84と126なら、まず両方を2で割って42と63、次に両方を3で割って14と21、さらに両方を7で割って2と3にします。残った2と3は互いに素なので終了し、左側に並んだ2×3×7=42が最大公約数です。素因数分解を別々に完成させなくても、共通部分だけを順に取り出せます。

観点	素因数分解	連除法
書き方	各数を素数の積に分ける	複数の数を同時に割る
判断	指数の最小値を選ぶ	全数を割れる因数だけ左へ置く
向く場面	指数比較や最小公倍数も扱う	共通因数がすぐ見える数
3数以上	各素数の最小指数を取る	必ず全ての数を割れるか確認
終了条件	全ての素因数を整理したとき	残った数に共通因数がないとき

大きな2数はユークリッドの互除法で最大公約数を求める

ユークリッドの互除法は、大きい数を小さい数で割り、その余りと直前の割る数で同じ操作を繰り返す方法です。aをbで割った余りをrとすると、gcd(a,b)=gcd(b,r)が成り立ちます。余りが0になったとき、最後に0でない余りとして現れた数が最大公約数です。素因数分解が難しい大きな2数でも、割り算だけで進められます。

互除法の等式が成り立つ理由は、aとbを両方割り切る数が、bとa−qb（余りr）も割り切り、逆も成り立つためです。証明や一次不定方程式への接続は、既存のユークリッドの互除法をわかりやすく解説で段階的に確認できます。

3つ以上の数の最大公約数を求める方法

3つ以上でも定義は同じで、全ての数を割り切る正の整数の最大を求めます。72、120、168を素因数分解すると、72=2³×3²、120=2³×3×5、168=2³×3×7です。全てに共通する素数は2と3で、指数の最小値は2が3、3が1です。よってgcd(72,120,168)=2³×3=24です。5は120だけ、7は168だけにあるため入れません。

方法	72・120・168での処理	注意点
素因数分解	各素数の指数の最小値を3数で選ぶ	一部の数にない素数の指数は0と考える
連除法	全てを2、2、2、3で同時に割る	2数だけ割れる因数は左へ置かない
互除法	gcd(72,120)=24、次にgcd(24,168)	前の答えと次の数を順に組む
検算	72÷24=3、120÷24=5、168÷24=7	商3・5・7の全体に共通因数はない

最大公約数と最小公倍数の違い・関係を理解する

最小公倍数は、2つ以上の正の整数に共通する倍数のうち最小の正の整数です。素因数分解では、最大公約数が各素数の指数の最小値を選ぶのに対し、最小公倍数は指数の最大値を選びます。84=2²×3×7、126=2×3²×7なら、最大公約数は2×3×7=42、最小公倍数は2²×3²×7=252です。

• 約数列挙: 小さい数で定義を確認
• 素因数分解: gcdとlcmを同時整理
• 連除法: 共通因数を順に抜く
• 互除法: 大きな2数を割り算で処理

項目	最大公約数	最小公倍数
探す集合	共通する約数	共通する正の倍数
素因数の指数	各数の指数の最小値	各数の指数の最大値
84と126	42	252
検算	両方を割り切る	両方で割り切れる
2数の関係	gcd×lcm=a×b	lcm=a×b÷gcd

最大公約数の使い方｜約分・比・グループ分けの文章題

最大公約数は、2つ以上の量を「余りなく、できるだけ大きい同じ単位」に分ける問題で使います。分数84/126なら分子と分母の最大公約数42で割って2/3に約分できます。比84:126も両方を42で割って2:3へ簡単にできます。どちらも、共通因数を全て取り除き、残った2数を互いに素にする操作です。

場面	最大公約数が表すもの	例	答え
分数の約分	分子・分母から除ける最大の共通因数	84/126	2/3
比を簡単にする	両方から除ける最大の共通因数	84:126	2:3
同じ袋へ分ける	作れる同内容グループの最大数	赤48枚・青60枚	12袋
長方形を正方形で敷く	使える正方形の最大の一辺	縦48cm・横60cm	一辺12cm
テープを同じ長さに切る	余りなく切れる最大の長さ	84cm・126cm	42cm

最大公約数の練習問題7選｜基本から文章題まで

最大公約数は、同じ数字だけを反復するより、列挙・素因数分解・連除法・互除法・3数・最小公倍数との関係・文章題を混ぜて解く方が方法選択まで鍛えられます。次の7問は、答えだけでなく「なぜその方法を選んだか」「どの段階で最大であることを確認したか」を一行添えてください。

問題1：36と54の最大公約数

36の約数と54の約数を列挙するか、36=2²×3²、54=2×3³と素因数分解します。指数の最小値から2×3²=18です。36÷18=2、54÷18=3で、商2と3が互いに素なので18が最大です。

問題2：90と144の最大公約数

90=2×3²×5、144=2⁴×3²です。共通する2と3について指数の最小値を取り、2×3²=18です。5は90にしかないため最大公約数へ入れません。

問題3：391と299の最大公約数

互除法で391=299×1+92、299=92×3+23、92=23×4+0です。余りが0になる直前の23が最大公約数です。大きな素因数が見えにくい2数で、互除法が有効な例です。

問題4：48・72・120の最大公約数

48=2⁴×3、72=2³×3²、120=2³×3×5なので、3数全てでの最小指数は2³と3¹です。よって最大公約数は2³×3=24です。120だけにある5は採用しません。

問題5：84と126の最大公約数と最小公倍数

最大公約数は2×3×7=42です。2数の積の関係を使うと、最小公倍数は84÷42×126=252です。最大公約数では指数の最小、最小公倍数では指数の最大を取っても同じ結果になります。

問題6：96/144を既約分数にする

gcd(96,144)=48なので、分子と分母を48で割って2/3です。2と3は互いに素で、これ以上約分できません。最大公約数で一度に割れば、途中で何回も約分する必要がありません。

問題7：45本と75本の鉛筆を同じセットへ分ける

2種類の鉛筆を余らせず、各セットの内容を同じにしてセット数を最大にするなら、セット数はgcd(45,75)=15です。各セットには一方を45÷15=3本、他方を75÷15=5本入れます。答える単位は15セットです。

よくあるミス	誤った判断	直し方
指数を逆に選ぶ	最大だから大きい指数を選ぶ	公約数では全数が持てる最小指数を選ぶ
共通素因数を1個だけ使う	2も3も共通なのに2だけで終える	全ての共通素因数を掛ける
3数で2数だけ割る	一部のペアの共通因数を採用	全数を同時に割れるか確認
互除法の0を答える	最後の余り0を最大公約数にする	最後の0でない余りを答える
文章題で単位を落とす	12だけ書く	12袋・12cmなど問いへ戻す

最大公約数の入試問題は「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を覚え、授業を聞き、解答を読んで終える「普通の対策」だけでは、最大公約数を整数問題の中で使い分けて志望大学へ受かるのは厳しいです。本記事だけでも、約数の列挙、素因数の最小指数、連除法の全数条件、互除法の余り、3数への拡張、最小公倍数との関係、文章題の単位判断があります。入試で必要なのは用語を言えることではなく、初見の数を見て適切な方法を選び、途中式を再現する力です。

練習問題で見たように、90と144なら素因数分解、391と299なら互除法が効率的です。また、3数の連除法では一部の2数だけを割れる因数を採用できません。この差を定着させるには、誤答を単なる計算ミスで終わらせず、方法選択・共通条件・指数・余り・単位のどこで止まったかを記録し、翌日と翌週の課題へ反映する必要があります。

選択肢①：独学・参考書のみでは誤答の分類が続かない

独学や参考書だけでも定義と例題は学べますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解答を読んで理解した状態と、翌日に数だけ変わった問題で方法を選べる状態は別です。自分で誤答原因を分類し、類題数と復習日を決め続けなければ、同じ指数ミスを繰り返します。

選択肢②：映像授業・アプリでは視聴と自力計算が分離する

映像授業やアプリは互除法の流れを視覚的に理解しやすい一方、視聴時間が増えても、自分で除法の式を書く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。列挙で止まる人と文章題の単位で止まる人へ、同じ動画だけを与えても必要な演習量は変わりません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の穴が残る

集団授業の大手予備校には、②全員同じ指導の限界があります。授業が一次不定方程式へ進んでも、ある生徒は最大公約数の定義が曖昧で、別の生徒は互除法の最後の0を答えます。一斉の進度では、この差を翌日の問題数、復習間隔、戻る単元へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1回の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に連除法の誤りを直しても、次の確認が一週間後なら、その間に誤った手順を反復する可能性があります。最大公約数は不定方程式や合同式にもつながるため、基礎の修正が遅れるほど後続単元にも影響します。

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「理解を自力計算へ変える」「生徒ごとに課題を変える」「毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、最大公約数を含む数学Aを入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、教材や授業を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、最大公約数を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

最大公約数の対策なら、「整数を復習する」で終わらず、素因数分解を何題、互除法を何題、文章題を何題解き、誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から、途中式を再現する学習へ移せます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。

数学でも、素因数分解が遅い生徒と、互除法はできても文章題で最大公約数を選べない生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

当日に84と126を解けても、1週間後に391と299で互除法を選べなければ、方法選択は定着していません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で計算の再現性を確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

整数問題では、最終数値だけでなく、指数の選び方、互除法の除法式、文章題の単位に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示して確認することで、丸付けだけでは見逃す判断のずれを早く修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、整数の基本へどれだけ戻り、一次不定方程式や合同式へいつ進むかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。

最大公約数のどこで止まるのか、受験数学を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜最大公約数は数に合わせて求め方を選ぶ

数・目的の特徴	選ぶ方法	最後の確認
数が小さく約数が少ない	約数を列挙	共通部分の最大を選ぶ
素因数が見えやすい	素因数分解	共通素数の最小指数を全て掛ける
複数の数を同時に割れる	連除法	全数を割った左側の因数を掛ける
大きな2数	ユークリッドの互除法	最後の0でない余りを答える
3数以上	最小指数または2数ずつ処理	全数の商に共通因数がない
約分・比・分割	最大公約数を共通単位にする	問いの単位へ戻す

最大公約数は、2つ以上の正の整数に共通する約数のうち最大のものです。小さい数なら約数の列挙、素因数が見えれば素因数分解や連除法、大きな2数ならユークリッドの互除法を使います。素因数分解では共通する各素数の指数の最小値を取り、互除法では最後の0でない余りを答えます。

計算後は、求めた数で元の全ての整数が割り切れ、割ったあとの商全体に共通因数が残らないかを確認してください。約分、比、グループ分けでは最大公約数が「最大の共通単位」になります。解法を一つに固定せず、数を観察して最短の方法を選び、翌日と1週間後の解き直しで判断まで再現できる状態を目指しましょう。

よくある質問

Q. 最大公約数とは簡単にいうと何ですか？

A. 2つ以上の正の整数を全て割り切る正の整数のうち、最も大きいものです。たとえば20と30の公約数は1、2、5、10で、最大公約数は10です。

Q. 最大公約数を素因数分解で求めるとき、指数はどちらを選びますか？

A. 全ての数に共通する素数について、指数の最小値を選びます。一方の数が持つ個数を超える素因数を入れると、その数を割り切れなくなるためです。

Q. 連除法で3つの数の最大公約数を求めるときの注意点は何ですか？

A. 左側へ置く因数は、その段階の3数全てを割り切る必要があります。2数だけを割れる因数は、3数全体の公約数ではないので最大公約数へ掛けません。

Q. ユークリッドの互除法では最後の0を答えますか？

A. 0ではありません。余りが0になったときの割る数、つまり最後に現れた0でない余りが最大公約数です。

Q. 最大公約数と最小公倍数の違いは何ですか？

A. 最大公約数は全ての数を割り切る正の整数の最大、最小公倍数は全ての数で割り切れる正の整数の最小です。素因数分解では前者が指数の最小値、後者が最大値を選びます。

Q. 2つの数の最大公約数が分かれば最小公倍数も求められますか？

A. 正の整数a、bではa×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)です。したがってlcm(a,b)=a×b÷gcd(a,b)で求められます。3数へ同じ積の式をそのまま使わないでください。

Q. 文章題で最大公約数を使う目印は何ですか？

A. 複数の量を余りなく、できるだけ大きい同じ単位に分ける場面が目印です。同内容のグループ数を最大にする、長方形を最大の正方形で敷く、複数の長さを同じ最大長へ切る問題などがあります。