波動方程式とは？偏微分・一般解・弦の導出からシュレーディンガー方程式との違いまで

波動方程式は、波形の空間的な曲がり方と時間的な加速度を結び付ける偏微分方程式です。1次元の線形波動方程式は、波の速さをv、変位をy(x,t)として∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²と書けます。結論から言えば、高校物理で学ぶy=A sin(kx-ωt+φ)はこの方程式を満たす代表的な解です。ただし「波動方程式」という一般名はシュレーディンガー方程式だけを指す言葉ではありません。本記事ではOpenStax、MIT OpenCourseWare、Nobel Prize公式資料で式と歴史的事実を確認し、式を暗記するのではなく、自分で解を代入して確かめられるところまで解説します。

波動方程式とは？まず式と意味を確認

1次元の線形波動方程式は、同じ内容を∂²y/∂x²=(1/v²)∂²y/∂t²と書くこともあります。OpenStaxの公式集はこの後者の形を掲載しています。両辺へv²を掛ければ前者になるため、別の法則ではありません。xは位置[m]、tは時刻[s]、yはその位置にある媒質の変位[m]、vは波形が伝わる速さ[m/s]です。

この式は「波の山が必ず正弦波になる」と命じる式ではありません。三角波に近いパルスや、局所的に盛り上がった波形も、適切な条件のもとでは右向き・左向きへ形を保って伝わる解になり得ます。波動方程式が決めるのは、各点の運動が隣り合う点の変位とどう連動するかです。実際の波形を一つに決めるには、最初の形と速度を表す初期条件、端が固定されているか自由かを表す境界条件も必要です。

「方程式」と「解」を区別する

区分	例	役割
方程式	∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²	許される変化の規則を示す
解	y=A sin(kx-ωt+φ)	規則を満たす具体的な波形を示す
条件	y(0,t)=y(L,t)=0	多数の解から実際の状況に合うものを選ぶ
物理定数	v、弦なら√(T/μ)	媒質中での伝わる速さを決める

同じ波動方程式を満たしても、振幅A、波長λ、初期位相φが違えば別の解です。逆に、同じ正弦関数の形でも、ω/kが媒質の波の速さvと一致しなければ、その媒質の波動方程式を満たしません。答案では「波らしい形だから解」と判断せず、2階偏微分を計算して両辺が一致するか、またはω=vkが成り立つかを確認します。

偏微分とは？∂y/∂xと∂y/∂tの読み方

y(x,t)は位置xと時刻tの2変数で決まる関数です。∂y/∂xは時刻tを固定して波形を横にたどったときの傾き、∂y/∂tは位置xを固定して、その場所の変位が時間とともに変わる速さを表します。高校数学のdy/dxは独立変数が一つの関数で使いますが、複数の変数を持つ関数では、どの変数について微分したかを示すため∂を用います。

1階微分と2階微分が表すもの

微分	何を固定するか	物理的な意味
∂y/∂x	tを固定	その瞬間の波形の傾き
∂²y/∂x²	tを固定	波形の曲がり方・曲率に対応
∂y/∂t	xを固定	その場所の媒質粒子の横速度
∂²y/∂t²	xを固定	その場所の媒質粒子の横加速度

弦の横波を考えると、波そのものはx方向へ進みますが、弦の小部分は上下のy方向へ運動します。∂y/∂tは波形が進む速さvではなく、固定した位置にある弦要素の横方向速度です。ここを混同すると「波の速さ」と「媒質粒子の速さ」が同じだと誤解します。波が情報やエネルギーを運ぶ方向と、媒質の各部分が振動する方向は別に確認してください。

次元で波動方程式を検算する

y、xの単位をm、tの単位をsとすると、∂²y/∂t²の単位はm/s²です。一方、∂²y/∂x²はm/m²=1/mで、v²を掛けると(m²/s²)×(1/m)=m/s²になります。両辺の単位が一致するため、vではなくv²が必要だと分かります。

進行波y=f(x-vt)が波動方程式を満たす理由

波形を表す任意の2回微分可能な関数をfとし、y=f(x-vt)と置きます。ξ=x-vtとおけば、xで1回微分して∂y/∂x=f′(ξ)、もう1回微分して∂²y/∂x²=f″(ξ)です。tで微分すると∂y/∂t=-vf′(ξ)、さらに微分して∂²y/∂t²=v²f″(ξ)です。したがって∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²が成立します。

符号から進行方向を判断する

f(x-vt)で波形上の同じ点を追うには、引数x-vtを一定aに保ちます。x-vt=aからx=a+vtとなるため、時刻が増えるほどxが増え、波は+x方向へ進みます。反対にg(x+vt)ではx+vt=a、つまりx=a-vtなので-x方向へ進みます。「マイナスだから左向き」と符号だけを暗記すると逆になるため、位相一定の式から判断します。

正弦波ではω=vkが条件になる

y=A sin(kx-ωt+φ)を2階偏微分すると、∂²y/∂t²=-ω²y、∂²y/∂x²=-k²yです。波動方程式へ代入すると-ω²y=-v²k²yとなり、ω=vkを得ます。k=2π/λ、ω=2πfなので、v=ω/k=fλという高校物理の公式と一致します。

波の式に現れるsin・cosの周期、位相、平行移動が曖昧なら、既存記事の三角関数のグラフの書き方を先に確認すると、kx-ωt+φを一つの位相として追いやすくなります。また、ω=2πfの意味は角速度ωと周期・周波数の関係と同じ構造です。

弦の運動から波動方程式を導出する

張力Tで張られ、単位長さあたりの質量がμ[kg/m]の一様な弦を考えます。位置xからx+Δxまでの小部分の質量はμΔxです。振幅と傾きが十分小さく、張力の大きさがほぼ一定だと仮定すると、両端の張力の水平方向成分は打ち消し合い、鉛直方向成分の差が弦を元へ戻す力になります。

小さい角度ではtanθ≈∂y/∂xと近似できます。右端と左端の傾きの差は[∂y/∂x]_x+Δx-[∂y/∂x]_x≈(∂²y/∂x²)Δxです。したがって鉛直方向の合力はT(∂²y/∂x²)Δxになります。一方、小部分の鉛直加速度は∂²y/∂t²なので、運動方程式はT(∂²y/∂x²)Δx=μΔx(∂²y/∂t²)です。

比例関係を数値代入前に読む

条件変更	新しい速さ	理由
張力Tを4倍	2v	v∝√T
張力Tを9倍	3v	平方根を取る
線密度μを4倍	v/2	v∝1/√μ
Tとμを同じ倍率	vのまま	比T/μが不変

一般解・初期条件・境界条件で波形が決まる

無限に長い一様な1次元媒質では、波動方程式の一般解をy(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)と書けます。最初の項は右向き、次の項は左向きの任意波形です。これをダランベール形と呼びます。方程式が線形なので、二つの解を足しても解になる重ね合わせの原理が使えます。反射、干渉、定常波を理解する土台は、この右向き波と左向き波の重ね合わせです。

初期条件はt=0の形と速度を与える

典型的な初期条件は、t=0での変位y(x,0)=u₀(x)と速度∂y/∂t(x,0)=w₀(x)です。無限長の弦なら、これらからy(x,t)={u₀(x-vt)+u₀(x+vt)}/2+{1/(2v)}∫_x-vt^x+vtw₀(s)dsという形で解を表せます。初速度が0なら、最初の変位は半分ずつ右向きと左向きへ分かれて進むことが読み取れます。

境界条件は端で許される動きを決める

長さLの弦の両端が固定されていれば、境界条件はy(0,t)=0、y(L,t)=0です。自由端なら端で横方向の力が0になるため、理想化した条件は∂y/∂x=0です。同じ波動方程式でも、端の条件が違えば反射時の位相や許される定常波が変わります。問題文で「両端固定」「一端閉管」「自由端」などを見たら、公式を選ぶ前に境界条件へ翻訳します。

定常波・固有振動は境界条件から生まれる

同じ振幅・振動数の右向き波A sin(kx-ωt)と左向き波A sin(kx+ωt)を重ねると、加法定理からy=2A sin(kx)cos(ωt)となります。時間とともに山が移動する進行波と違い、sin(kx)=0となる位置は常に動かず、節になります。このような波を定常波と呼びます。

両端固定の弦で許される波長

両端固定ならx=0とx=Lで常にy=0です。x=0はsin(0)=0で満たされ、x=Lでもsin(kL)=0が必要です。したがってkL=nπ、k=nπ/Lです。k=2π/λを使うとλ_n=2L/n、さらにf=v/λよりf_n=nv/(2L)となります。n=1が基本振動、n=2,3,…が高次の固有振動です。

モード	弦の長さLに入る半波長	波長	振動数
n=1 基本振動	1個	2L	v/(2L)
n=2 第2モード	2個	L	v/L
n=3 第3モード	3個	2L/3	3v/(2L)
一般のn	n個	2L/n	nv/(2L)

固有値は条件を満たす離散的な値

どんなkでも波動方程式自体は満たせますが、固定端の条件を同時に満たせるkはnπ/Lだけです。連続的に選べた波数が、境界条件によって飛び飛びの固有値へ絞られます。これは量子力学でエネルギー準位が境界条件とポテンシャルによって離散化される考え方と数学的に似ています。ただし、古典弦の変位と量子の波動関数は同じ物理量ではありません。数学的な固有値問題の共通性と、物理的意味の違いを分けてください。

音・光・水面波で波動方程式はどう変わる？

波動方程式の形は、何が復元力を生み、何が慣性を担うかによって変わります。弦では張力Tと線密度μによりv=√(T/μ)です。液体・気体中の圧縮波では、OpenStaxが示すように体積弾性率Bと密度ρからv=√(B/ρ)となります。どちらも「弾性の強さ÷慣性の大きさ」の平方根という共通構造を持ちます。

現象	波として変化する量	速さを決める主因	基本モデル
弦の横波	弦の横変位y	張力T・線密度μ	ytt=(T/μ)yxx
音波	圧力・密度・粒子変位	体積弾性率B・密度ρ	1次元ならytt=v²yxx型
電磁波	電場E・磁場B	真空の電磁定数	3次元の波動方程式
水面波	水面の高さ	重力・表面張力・水深	条件により分散を含む

音波は媒質の圧縮と膨張が伝わる

音は空気そのものの塊が音源から耳まで移動する現象ではありません。各部分の圧縮・膨張や粒子変位が隣へ伝わります。速さは媒質の弾性と密度に依存するため、同じ音源の振動数でも媒質が変われば波長λ=v/fが変わります。一方、境界を越えるときも振動数は音源によって決まり、通常は変わらないという整理が有効です。

電磁波も真空中で波動方程式に従う

MIT OpenCourseWareは、電荷や電流のない真空中で電場Eと磁場Bが波動方程式を満たし、x-ctまたはx+ctの任意関数が平面進行波になることを説明しています。電磁波では機械波のような物質媒質は不要です。「波動方程式に従うなら必ず物質が振動している」とは限らず、yに相当する物理量が何かを確認する必要があります。

基本式がそのまま使えない場合

∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²は、一定v、線形、減衰なしという理想化を含みます。摩擦が大きければ時間1階微分の減衰項、外力があれば強制項、振幅が大きければ非線形項、周波数によって速さが違えば分散を表す項が必要になります。モデルの限界を読むことは、式を使わない理由を判断する力でもあります。

光の波としての性質を実験と公式で確認したい場合は、ヤングの二重スリット実験と干渉縞も参照してください。波動方程式が伝播の規則を示すのに対し、二重スリットでは重ね合わせと光路差が観測される明暗を決めます。

シュレーディンガー方程式との違い｜量子力学の波動関数

シュレーディンガー方程式は量子力学の基本方程式で、非相対論的な1粒子の1次元形ならiℏ∂Ψ/∂t=[-(ℏ²/2m)∂²/∂x²+V(x,t)]Ψと書けます。時間について1階、空間について2階であり、古典的な波動方程式の時間2階・空間2階という形とは違います。そのため「波動方程式の別名がシュレーディンガー方程式」と一般化するのは不正確です。シュレーディンガー方程式は、量子力学で用いる波動方程式の一つです。

波動関数と確率密度

古典弦のy(x,t)は、その位置の弦の変位として直接測れます。一方、量子力学の波動関数Ψは一般に複素数で、その絶対値の2乗|Ψ(x,t)|²が、位置x付近で粒子を見いだす確率密度を与えます。Nobel Prizeの教育資料も、マックス・ボルンの解釈として、波動関数の絶対値の2乗が粒子の出現確率に対応すると説明しています。確率の総和が1になるよう、∫|Ψ|²dx=1へ規格化します。

定常状態・固有値・量子化

ポテンシャルVが時間によらない場合、変数分離により空間部分ψ(x)は[-(ℏ²/2m)d²/dx²+V(x)]ψ=Eψという時間に依存しないシュレーディンガー方程式を満たします。これはハミルトニアンという作用素の固有値問題で、ψが固有関数、Eがエネルギー固有値です。すべての関数が物理的状態として許されるのではなく、有限性、連続性、規格化、境界条件を満たす必要があります。束縛状態では条件を満たすEが離散的になり、エネルギー準位が現れます。

トンネル効果・観測・猫の思考実験

古典力学では、粒子の全エネルギーより高いポテンシャル障壁を越えられません。量子力学では障壁内でも波動関数が直ちに0にならず減衰しながらしみ出す解を持つため、有限幅の障壁の反対側で粒子が検出される確率が残ります。これがトンネル効果です。「必ず通り抜ける」のではなく、方程式と境界条件から透過確率を求めます。

観測結果が確率的に与えられること、状態の重ね合わせ、観測時の解釈は量子力学の重要な論点です。ただし、シュレーディンガーの猫は量子の重ね合わせと測定の問題を巨視的な猫へ拡張した思考実験であり、古典的な波動方程式の別名でも、単に不確定性原理を説明する例でもありません。波動方程式、確率解釈、不確定性関係、測定問題を一つの言葉で混同しないことが大切です。

NobelPrize.orgによれば、シュレーディンガーはディラックとともに「原子理論の新しい有用な形式の発見」により1933年ノーベル物理学賞を受賞しました。彼の波動力学は量子理論の発展に決定的でしたが、それ以前から弦・音・電磁波を記述する古典的な波動方程式があるため、歴史的にも両者は区別されます。

波動方程式の例題と解き方｜代入して確かめる

例題1：正弦波が解になる条件

y=A sin(kx-ωt)が∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²の解になる条件を求めます。tで2回偏微分すると-ω²y、xで2回偏微分すると-k²yです。代入して-ω²y=-v²k²yより、ω²=v²k²です。ω、v、kを正とすればω=vk、したがってv=ω/kです。

例題2：弦の張力と線密度を変える

張力Tを4倍、線密度μを9倍にしたとき、波の速さv′と元のvの比を求めます。v′/v=√{(4T/9μ)/(T/μ)}=√(4/9)=2/3です。張力増加だけを見れば速くなりますが、線密度の増加の効果がより大きいため、全体では元の2/3へ遅くなります。数値を入れる前に比を作ると単位換算も不要です。

例題3：両端固定弦の第3固有振動

長さL=1.20 m、波の速さv=60 m/sの両端固定弦について第3固有振動数を求めます。f_n=nv/(2L)より、f₃=3×60/(2×1.20)=75 Hzです。対応する波長はλ₃=2L/3=0.80 mで、v=fλ=75×0.80=60 m/sとなり検算できます。

例題4：任意波形の進行方向

y=F(3x+12t)でFが2回微分可能な任意関数だとします。引数を3(x+4t)と因数分解すると、x+vt型なので-x方向へ速さ4で進みます。係数3は波形の空間的な伸縮に関係しますが、位相3x+12t=一定を微分して3dx/dt+12=0、dx/dt=-4としても同じ結果です。

典型的な誤答と修正方法

誤答	問題点	修正
x-vt型を左向きと判断	符号だけを見ている	x-vt=一定からdx/dt=+v
∂y/∂tを波の速さとする	媒質速度と伝播速度の混同	波速は位相の移動から求める
v=ωkとする	次元が合わない	v=ω/k
張力4倍で速さ4倍	平方根を忘れている	v∝√Tなので2倍
方程式だけで固有振動を決定	境界条件がない	固定端ならkL=nπを追加
Schr式を古典波動式と同一視	時間微分と解の意味が違う	式と確率解釈を分ける

大学受験物理は「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を眺め、授業を聞き、解答を読んで分かったつもりになる「普通の対策」だけでは、大学受験物理で安定して合格点を取るのは厳しいです。波動方程式だけでも、進行波の符号、偏微分、v=ω/k、v=√(T/μ)、固定端の境界条件、定常波という複数の知識を問題条件に応じて接続する必要があります。

この記事の4例題では、同じ波の単元でも、解の判定には2階偏微分、進行方向には位相一定、弦の条件変更には平方根の比例、固有振動には境界条件を使い分けました。得点差を生むのは公式を知っているかだけでなく、毎日問題を解き、誤答を「微分・位相・単位・条件」のどこで起こしたか分類し、翌日の課題へ反映できるかです。

ここで、鬼管理専門塾が公式ページで示す「従来塾の3つの限界」——①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い——に沿って、受験生が選びやすい対策を消去法で確認します。

選択肢①：独学・参考書だけでは誤答の原因分析が止まりやすい

独学や参考書は公式を調べるには有効ですが、①の「情報を得ても行動は変わらない」という限界に当たります。波動方程式の説明を読んでも、実際に2階偏微分をする、位相一定から向きを出す、翌日に同型問題を解き直すという行動は自動では続きません。誤答を自分だけで分析すると、計算ミスと概念の混同を取り違えたまま進む危険もあります。

選択肢②：映像授業・アプリだけでは答案を作る練習量が不足する

映像授業やアプリも①の限界を抱えます。導出を見て理解した感覚になっても、自分の手で偏微分し、境界条件からkL=nπを作る練習をしなければ入試答案には変わりません。全員が同じ動画と同じ順番で進むだけなら、波の符号で止まる生徒と、三角関数で止まる生徒を分けられず、②の「全員同じ指導」の限界も残ります。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の弱点が残る

集団授業の大手予備校では、全員が同じ時間に同じ解説を受けるため②の限界に当たります。ある生徒は偏微分、別の生徒は三角関数、別の生徒は定常波の境界条件で失点していても、授業の進度は一人ひとりの誤答原因だけに合わせられません。力学と波動の既習範囲も異なるため、一律の復習では個別の穴が試験直前まで残ることがあります。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1回の修正では遅い

一般的な個別指導塾で授業中に質問できても、授業外の6日間が本人任せなら③の「週1指導では変化が遅い」限界に当たります。月曜にx-vtの進行方向を逆に覚え、次の指導日まで同じ判断で類題を解けば、誤った手順が習慣化します。受験物理では、誤答した当日か翌日に原因を特定し、その週の演習計画を直す速度が必要です。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、どれにも「今日はどの式を何題検算し、どの誤答をいつ直すか」を生徒別に毎日管理する仕組みが不足します。だから、大学受験物理を合格点まで引き上げる選択肢として最後に残るのは、1日単位の個別行動を管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を増やすだけでなく、受験生が毎日実行する学習を数値化し、個別計画と確認テストで修正する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる6つの特徴を、波動方程式を含む大学受験物理の学習へどう接続できるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

波動方程式なら、解説を読むだけで終わらせず、進行方向の判定、2階偏微分、定常波の計算を、その日の題数まで決めて実行できます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

現在の模試や答案から、三角関数、波の式、境界条件、計算精度のどこで失点しているかを分け、本人だけの物理の行動プランへ反映できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

波動の類題を解いた翌日と週末に確認し、符号やv=ω/kを再び誤った場合は、その週のうちに追加演習と計画修正へつなげられます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

微分を使う導出と典型解法の両方が必要な大学受験物理では、難関大学入試を理解する専属講師へ式変形や答案の途中過程まで相談できます。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部・入試方式ごとの専門コースを選べるため、志望校の物理の配点や出題傾向に合わせ、波動の優先度と他科目の時間配分を設計できます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

進行波や定常波の問題で式の選択に迷った時もLINEで質問でき、入会前はZoomの無料説明会に保護者同席で参加して管理方法を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。英語資格コースなど全コース共通の制度ではないため、対象条件は無料説明会で確認してください。無料説明会ではZoomで保護者同席もでき、現在の物理の答案や学習時間をもとに相談できます。

毎日の学習を数値化する考え方は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、実際の進学例は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜方程式・解・条件を分けて理解する

要点	結論
1次元線形波動方程式	∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²
右向き・左向きの解	f(x-vt)、g(x+vt)
正弦波の条件	ω=vk、v=ω/k=fλ
弦の波の速さ	v=√(T/μ)
両端固定の固有波長	λn=2L/n
両端固定の固有振動数	fn=nv/(2L)
量子力学との違い	Schr式は時間1階、|Ψ|²が確率密度

波動方程式は、波形の空間的な曲がりと時間的な加速度を結ぶ規則です。f(x-vt)とg(x+vt)は右向き・左向きの任意進行波で、正弦波ならω=vkが必要です。弦では運動方程式からv=√(T/μ)が得られ、固定端の境界条件を加えるとλ_n=2L/n、f_n=nv/(2L)という固有振動へつながります。

答案では、①何が波打つかを定義、②xとtで偏微分、③位相から向きと速さを判定、④媒質からvを決定、⑤初期条件・境界条件を適用、⑥単位と元の式への代入で検算、の順を固定してください。シュレーディンガー方程式は量子力学の波動方程式ですが、古典波動方程式と同義ではありません。数学的な類似と物理的意味の違いを分けることで、競合しがちな用語も正確に理解できます。

よくある質問

Q. 波動方程式とは何ですか？

A. 波が空間と時間の中で伝わる規則を表す偏微分方程式です。1次元の基本形は∂²y/∂t²=v²∂²y/∂x²で、yは変位などの波を表す量、vは伝播速度です。

Q. 波動方程式の一般解は何ですか？

A. 無限に長い一様な1次元媒質の基本形では、y=f(x-vt)+g(x+vt)と書けます。fは右向き、gは左向きの任意波形です。実際の形は初期条件と境界条件で決まります。

Q. y=A sin(kx-ωt)はなぜ波動方程式の解ですか？

A. tで2回偏微分すると-ω²y、xで2回偏微分すると-k²yです。波動方程式へ代入し、ω=vk、すなわちv=ω/kが成り立つと両辺が一致します。

Q. x-vtとx+vtはどちら向きに進みますか？

A. f(x-vt)は+x方向、g(x+vt)は-x方向です。引数を一定にしてx-vt=a、x+vt=aと置けば、それぞれx=a+vt、x=a-vtとなり、進行方向を判断できます。

Q. 偏微分∂y/∂tは波の速さですか？

A. 一般には違います。∂y/∂tは位置xを固定したときの媒質粒子の変位速度です。波形の伝播速度は位相一定条件から求め、正弦波ならv=ω/kです。

Q. 弦を伝わる波の速さはどう求めますか？

A. 張力をT、線密度をμとするとv=√(T/μ)です。張力を大きくすると速く、単位長さあたりの質量を大きくすると遅くなります。

Q. 波動方程式とシュレーディンガー方程式は同じですか？

A. 同じではありません。シュレーディンガー方程式は量子力学の波動方程式の一つですが、時間について1階で、解の波動関数Ψは|Ψ|²が確率密度になるなど、古典波動方程式と物理的意味が異なります。

Q. 定常波の固有振動数はなぜ飛び飛びですか？

A. 両端固定ならy(0,t)=y(L,t)=0を満たす必要があり、kL=nπに限られるからです。その結果、λn=2L/n、fn=nv/(2L)という離散的な値になります。