扇形の面積の公式と求め方｜弧の長さ・証明・ラジアンを例題で解説

扇形の公式は、別々の暗記項目が何個もあるように見えます。しかし根は一つです。同じ円では、中心角が全体の何割かに応じて、弧の長さも面積も同じ割合になります。中心角が90°なら円の4分の1、120°なら3分の1です。この比例を出発点にすれば、度数法の公式、ラジアンの公式、弧の長さを使う公式を一本につなげられます。

文部科学省の中学校学習指導要領解説 数学編でも、同一の円の弧の長さと扇形の面積が中心角の大きさに比例することを理解し、求められるようにする内容が示されています。本記事では、半径をr、中心角をa°またはθラジアン、弧の長さをL、面積をSと表します。まず、図のどこが扇形なのかを言葉と記号で固定しましょう。

扇形とは？半径・中心角・弧を図の中で見分ける

扇形とは、円の中心Oから円周上の2点A、Bへ引いた2本の半径OA、OBと、円周の一部である弧ABに囲まれた図形です。見た目が扇に似ているため、この名前が付いています。面積を求めるときに必要なのは、半径rと中心角∠AOBです。弧ABの長さまで分かれば、別の短い公式も使えます。

名称	図の中の位置	面積計算での役割	単位の例
半径r	中心から円周まで	円全体の大きさを決める	cm
中心角a°	2本の半径の間	全円に対する割合を決める	°
弧の長さL	円周の一部分	S=rL/2に利用できる	cm
扇形の面積S	2本の半径と弧の内側	求める量	cm²

同じ端点A、Bを結ぶ弧には、短い方の劣弧と長い方の優弧があります。そのため、AとBだけを示されても、どちら側の扇形かを図や中心角から判断する必要があります。中心角が180°未満なら通常は小さい側、180°を超える角が示されていれば大きい側です。大きい側の角は360°−小さい側の角で求められます。

最初のアクションは、問題文の数値に役割を書くことです。半径にはr、角にはa°またはθ、弧にはL、面積にはSと添えます。直径が与えられた場合は、先に2で割って半径へ直します。この整理をせず数字だけ公式へ入れると、直径をrにしたり、円周角を中心角として使ったりする誤りが起きます。

扇形の面積と弧の長さの公式｜中心角が度の場合

円全体の中心角は360°、面積はπr²、円周は2πrです。扇形の中心角がa°なら、円全体に対する割合はa/360です。したがって、面積ではπr²、弧の長さでは2πrに同じa/360を掛けます。「元になる全体×切り取る割合」と覚えると、面積と弧長を混同しません。

求める量	円全体	扇形の割合	公式	答えの単位
面積S	πr²	a/360	πr²×a/360	cm²
弧の長さL	2πr	a/360	2πr×a/360	cm
周の長さP	―	―	L+2r	cm

例として、半径6cm、中心角120°の扇形を考えます。120/360=1/3なので、面積はπ×6²×1/3=12πcm²、弧の長さは2π×6×1/3=4πcmです。扇形の周の長さまで求めるなら、4π+6+6=12+4πcmです。面積、弧、周はそれぞれ異なる量なので、どこまで求めるかを問題文の語尾まで読んでください。

中心角が90°なら4分の1、60°なら6分の1、45°なら8分の1、30°なら12分の1です。この代表値は暗算の検算に使えます。例えば半径10cm、中心角90°の面積が50πcm²と出たなら、円全体100πcm²の半分になっており、4分の1ではないので誤りです。正しくは25πcm²です。

分数は最後まで約分してから掛けると安全です。r=12、a=150°なら、150/360=5/12です。面積はπ×144×5/12=60π、弧の長さは24π×5/12=10πとなります。πを3.14へ直す指示がなければ、πを残した方が途中計算も答えも正確です。

扇形の面積公式を証明｜なぜ中心角を360で割るのか

証明の出発点は「同じ円では、扇形の面積が中心角に比例する」という性質です。中心角360°の扇形は円全体と同じで、面積はπr²です。中心角1°に対応する面積は、その360分の1でπr²/360です。中心角a°なら、そのa倍なのでS=πr²×a/360となります。

より具体的に考えるなら、円を同じ角度の細い扇形へ分けます。例えば中心角30°の扇形なら、同じ形を12個集めると360°の円になります。そのため1個の面積は円全体の1/12です。中心角90°なら同じ形が4個で円を作るため1/4、120°なら3個で円を作るため1/3です。整数個に分けにくい角でも、比例の関係は同じです。

弧の長さも同じ証明です。中心角360°に対応する長さは円周2πrなので、1°分は2πr/360、a°分はL=2πr×a/360です。面積と弧長で異なるのは「全体」に当たる式だけで、割合a/360は共通です。これが2つの公式を一組で覚えられる理由です。

中心角	全円に対する割合	面積	弧の長さ
30°	1/12	πr²/12	2πr/12
90°	1/4	πr²/4	2πr/4
120°	1/3	πr²/3	2πr/3
180°	1/2	πr²/2	πr
360°	1	πr²	2πr

半径6cm、中心角30°で確認すると、円全体の面積36πcm²の1/12なので3πcm²です。弧の長さは円周12πcmの1/12なのでπcmです。角を2倍の60°にすれば、同じ半径のまま面積は6πcm²、弧は2πcmとなり、どちらも2倍です。この倍率確認は、証明を計算へつなぐ簡単な検算になります。

公式を忘れたときは、白紙から「円全体×a/360」と書いてください。円全体の面積と円周さえ覚えていれば、扇形の式はその場で復元できます。面積の式だけを語呂で暗記するより、全円と割合の関係を毎回1行書く方が、逆算や複合図形にも対応できます。

ラジアンを使う扇形の公式｜L=rθ・S=r²θ/2

ラジアンは、弧の長さと半径の比で角度を表します。L=rのときθ=1、L=2rならθ=2です。円周は2πrなので、1周の角はL/r=2πr/r=2πラジアンです。したがって360°=2π、180°=π、90°=π/2という対応が得られます。

度からラジアンへは、a°×π/180で変換します。例えば120°は120×π/180=2π/3、45°はπ/4です。反対にラジアンから度へは、θ×180/πを計算します。中心角の数字に°が付いているか、πが含まれているかを見れば、どちらの式を使うべきか判断しやすくなります。変換を詳しく復習したい場合は、ラジアンと度数法の変換・弧長の解説も確認してください。

面積公式は度数法から導けます。a°=180θ/πなので、S=πr²×a/360へ代入すると、S=πr²×(180θ/π)/360=(1/2)r²θです。同様に、L=2πr×a/360へ代入するとL=rθになります。πと360が整理されるため、ラジアンの公式は短く見えます。

角度の表し方	弧の長さ	面積	使う中心角
度数法	2πr×a/360	πr²×a/360	a°
弧度法	rθ	r²θ/2	θラジアン

例として、半径9cm、中心角2π/3ラジアンの扇形を考えます。弧の長さはL=9×2π/3=6πcm、面積はS=(1/2)×9²×2π/3=27πcm²です。2π/3は120°なので、度数法で計算してもπ×81×120/360=27πとなり一致します。

最も危険なのは、60°をそのままθ=60としてS=r²θ/2へ入れることです。半径2なら120という値になりますが、円全体の面積4πよりはるかに大きく不可能です。60°はπ/3ラジアンなので、正しくはS=(1/2)×4×π/3=2π/3です。円全体を上限にする検算が単位違いを発見します。

弧の長さから面積を求める公式｜S=rL/2の証明

証明は短くできます。L=rθよりθ=L/rです。これをS=(1/2)r²θへ代入すると、S=(1/2)r²×L/r=(1/2)rLとなります。rが一つ約分され、半径と弧長の積の半分だけが残ります。度数法から証明する場合も、面積と弧長に共通するa/360を消去すれば同じ式です。

この式は三角形の面積「底辺×高さ÷2」に似ています。弧の長さLを底辺、半径rを高さのように見る形です。ただし扇形は三角形ではないので、見た目だけを証明にしてはいけません。ラジアンの2公式から代入して導くことが、数学的な根拠です。

例として、半径8cm、弧の長さ5πcmなら、面積はS=8×5π÷2=20πcm²です。中心角も確認すると、円周16πcmに対して弧は5πcmなので割合は5/16、中心角は360×5/16=112.5°です。度数法でπ×64×112.5/360を計算しても20πになります。

分かっている量	最短の公式	中心角の計算	向いている場面
rとa°	S=πr²a/360	不要	中学の基本問題
rとθ(rad)	S=r²θ/2	不要	高校の弧度法
rとL	S=rL/2	不要	弧長が先に分かる問題

半径と弧長の単位はそろえてください。r=0.4m、L=60cmなら、0.4mを40cmへ直してS=40×60÷2=1200cm²とします。mとcmのまま掛けると単位の意味が崩れます。面積公式に入れる前に、すべての長さをcmかmのどちらかへ統一するのが安全です。

また、Lが扇形の周全体の長さではないかを確認してください。公式S=rL/2のLは曲線部分だけです。周の長さPが与えられたなら、まずL=P−2rとして2本の半径を引きます。例えばr=5cm、P=10+6πcmならL=6πcm、面積は5×6π÷2=15πcm²です。

扇形の公式の選び方｜与えられた量別の基本例題

公式選びは、①求める量、②半径か直径か、③中心角の単位、④弧長があるか、の順で決めます。度が与えられているのに無理にラジアンへ変えたり、弧長があるのに中心角を逆算したりする必要はありません。使う数値が直接そろう式を選び、最後に別の式で検算します。

例題1｜半径と度数法の中心角から面積を求める

半径10cm、中心角72°の面積を求めます。72/360=1/5なので、S=π×10²×1/5=20πcm²です。円全体100πcm²の5分の1になっているため、割合も一致します。弧の長さも求めるならL=2π×10×1/5=4πcmです。

例題2｜ラジアンの中心角から面積と弧長を求める

半径5cm、中心角3π/5ラジアンなら、L=5×3π/5=3πcmです。面積はS=(1/2)×25×3π/5=15π/2cm²です。3π/5は108°で、円全体の3/10です。円全体25πの3/10も15π/2となるため検算できます。

例題3｜半径と周の長さから面積を求める

半径7cm、扇形の周の長さが14+8πcmとします。曲線部分の弧長はL=(14+8π)−2×7=8πcmです。したがってS=7×8π÷2=28πcm²です。周の長さをそのままLへ入れないことが、この問題の要点です。

例題	既知量	選ぶ式	答え
1	r=10、a=72°	πr²a/360	S=20πcm²
2	r=5、θ=3π/5	L=rθ、S=r²θ/2	L=3πcm、S=15π/2cm²
3	r=7、P=14+8π	L=P−2r、S=rL/2	S=28πcm²

答案では、最初に使う公式を文字で書き、次の行で数字を代入してください。いきなり数値だけを並べると、360、2、πのどれを忘れたか追跡できません。「S=πr²×a/360」の次に「=π×10²×72/360」と書けば、半径の2乗や角度の入力を自分で確認できます。

計算後は、面積0

中心角や半径を逆算する方法｜大きい扇形も解説

逆算でも「全体×割合」の構造は変わりません。面積Sと半径rから中心角aを求めるなら、S/(πr²)が円全体に対する面積割合です。よってa=360S/(πr²)です。弧長Lからなら、a=360L/(2πr)です。公式を丸ごと移項するより、先に割合を求めると意味が見えます。

例1として、半径10cm、面積25πcm²なら、円全体は100πcm²です。割合は1/4なので、中心角は360°×1/4=90°です。例2として、半径12cm、弧長8πcmなら、円周は24πcm、割合は1/3なので中心角は120°です。面積と弧長のどちらから求めても、割合を経由します。

半径を逆算する場合は2乗に注意します。中心角60°、面積24πcm²なら、24π=πr²×60/360=πr²/6です。両辺をπで割ってr²=144、長さなのでr=12cmです。r=±12とせず、半径は正の長さだけを答えます。直径を聞かれた場合は最後に24cmとします。

半径5cmで、小さい側の中心角が72°のとき、大きい側の中心角は360°−72°=288°です。大きい扇形の面積はπ×25×288/360=20πcm²、弧長は2π×5×288/360=8πcmです。小さい側は面積5π、弧長2πなので、両側を足すと円全体25π、円周10πへ戻ります。

逆算する量	使う関係	例	結果
中心角	a=360S/(πr²)	r=10、S=25π	90°
中心角	a=360L/(2πr)	r=12、L=8π	120°
半径	r²=360S/(πa)	a=60°、S=24π	12cm
優弧側の角	360°−小さい角	小さい角72°	288°

逆算した後は元の式へ戻して検算します。a=90°ならπ×10²×90/360=25π、r=12ならπ×12²×60/360=24πです。式変形だけで終わらず、得た値を代入して元の条件を再現できるか確認すると、平方根や360倍のミスを見つけられます。

扇形を使う複合図形｜網目部分・弓形・円錐の側面積

網目部分や色付き部分では、一つの新しい公式を探すのではなく、基本図形へ分けます。外側の扇形から内側の扇形を引く、扇形から三角形を引く、複数の扇形を足す、という3種類が中心です。各部分の半径と中心角を図へ書き込み、同じものを二重に数えないようにします。

同心円にはさまれた扇形の面積

外側の半径8cm、内側の半径5cm、中心角90°の帯状部分を考えます。外側はπ×8²×1/4=16πcm²、内側はπ×5²×1/4=25π/4cm²です。差は16π−25π/4=39π/4cm²です。まとめて(π×(8²−5²))×1/4と計算しても同じです。

扇形から三角形を引く弓形の面積

半径6cm、中心角60°の扇形から、2本の半径と弦でできる三角形を引きます。扇形の面積はπ×36×1/6=6πcm²です。2本の半径と弦はすべて6cmなので三角形は正三角形、面積は9√3cm²です。よって弧と弦にはさまれた弓形の面積は6π−9√3cm²です。

円錐の展開図にある扇形の面積

円錐の側面を開くと扇形になります。この扇形の半径は円錐の母線、弧長は底面の円周です。母線10cm、底面の半径6cmなら、弧長は2π×6=12πcmです。したがって側面積はS=rL/2=10×12π÷2=60πcm²です。底面積36πcm²を加えれば表面積96πcm²です。

図形	分解の仕方	計算	面積
同心円の帯	外側の扇形−内側の扇形	(64−25)π/4	39π/4cm²
弓形	扇形−正三角形	6π−9√3	6π−9√3cm²
円錐の側面	母線×底面円周÷2	10×12π÷2	60πcm²

複合図形では、境界線の長さを求める問題もあります。面積で引いた内側の弧も、境界として残るなら周の長さには加えます。面積の加減と境界線の加減は別に考え、色付き部分を指で一周なぞって、直線と弧を一覧にしてください。図から消える線と残る線を混同しないことが重要です。

円錐の問題では、底面円の半径と展開図の扇形の半径を混同しやすくなります。扇形の半径は母線であり、底面半径ではありません。一方、扇形の弧長は底面円周と等しくなります。「半径は母線、弧は底面円周」と対応を書いてからS=rL/2を使うと安全です。

扇形の練習問題｜よくある間違いと検算方法

次の4問では、度数法、弧長、ラジアン、複合図形を一つずつ確認します。答えを見る前に、①図へr・角・Lを書く、②使う公式を文字で書く、③単位付きで答える、④全円と比較する、の4段階を実行してください。正答だけでなく、どの条件から式を選べたかが重要です。

練習1｜半径12cm・中心角150°

面積と弧長を求めます。150/360=5/12なので、S=π×12²×5/12=60πcm²、L=2π×12×5/12=10πcmです。周の長さまで求めるなら24+10πcmです。円全体の5/12という割合が、面積144πと円周24πの両方に反映されています。

練習2｜半径8cm・弧の長さ10πcm

面積はS=rL/2=8×10π÷2=40πcm²です。中心角も求めるなら、円周16πに対する割合が10/16=5/8なので、a=360°×5/8=225°です。180°より大きい扇形であることと、面積40πが円全体64πの5/8であることが一致します。

練習3｜半径15cm・中心角4π/5ラジアン

弧長はL=15×4π/5=12πcm、面積はS=(1/2)×15²×4π/5=90πcm²です。4π/5は144°で、円全体の2/5です。円全体225πの2/5も90πなので検算できます。4π/5を4/5°として度数法へ入れないようにします。

練習4｜外半径10cm・内半径6cm・中心角180°

半円状の帯の面積を求めます。外側は100π×1/2=50πcm²、内側は36π×1/2=18πcm²なので、差は32πcm²です。まとめて(10²−6²)π×180/360=64π×1/2=32πと計算しても同じです。

よくある誤りは、①直径を半径として使う、②r²の2乗を忘れる、③度をラジアン公式へ直接入れる、④弧長と周長を混同する、⑤面積をcmで答える、⑥大きい側と小さい側を取り違える、⑦複合図形で足し引きを逆にする、の7種類です。間違い直しでは「計算ミス」とまとめず、この分類のどこで崩れたかを書いてください。

検算は3方向から行えます。割合の検算では、中心角a°なら答えが全円のa/360になっているかを見ます。上限の検算では、通常の扇形なら面積がπr²以下、弧が2πr以下かを見ます。別公式の検算では、先にLを出してS=rL/2でも同じ面積になるかを確認します。

同じ種類の問題を一日にまとめて終えるより、翌日と1週間後に混ぜて解き直す方が式選びを再現できます。答案の左に図と条件、中央に公式と計算、右に検算と誤答原因を書く方法は、数学ノートの取り方と間違い直しで詳しく解説しています。自分の7分類のうち、どれが減ったかを週ごとに確認してください。

扇形・円の求積は「普通の対策」では受からない

結論から言います。扇形や円の求積を、公式の丸暗記と週末のまとめ解きだけで済ませる「普通の対策」では、大学受験で安定して得点し、志望校に受かるのは厳しいです。度数法だけでも面積・弧・周を分け、高校ではラジアンとS=rL/2へ接続し、逆算や複合図形で条件を読み替える必要があるからです。

この記事だけでも、公式は既知量によって3形に変わり、誤答は直径、2乗、角度単位、弧と周、面積単位、大小、複合図形の加減という7種類に分かれました。解説を一度読んで分かった状態と、翌日にも条件から式を選び、1週間後にも逆算と検算を再現できる状態は同じではありません。毎日の演習量と誤答原因を管理しなければ、本番で使える判断には変わりません。

独学・参考書のみでは式選びの癖を自分で発見しにくい

独学や参考書でも、扇形の公式と標準例題は学べます。しかし、自分が直径をrへ入れる癖、60°をラジアン公式へ入れる癖、周の長さをLとみなす癖を客観的に集計するのは簡単ではありません。解説という情報を得ても翌日の問題選びが変わらなければ、限界①に当たります。解き直す時期も本人任せなので、限界③も残ります。

映像授業・アプリだけでは答案ごとの誤答原因を追跡できない

映像授業や学習アプリは、円を分割して割合を見せたり、ラジアンを動的に示したりする理解の助けになります。一方、視聴完了と、自分で既知量を分類し公式を選べることは同じではありません。標準化された解説は、生徒固有の2乗忘れや単位ミスを毎日追跡して翌日の課題へ反映しないため、限界①と②が残ります。

集団授業の大手予備校では弱点別の反復量になりにくい

集団授業の大手予備校は、円の求積から三角関数まで体系的に教えます。しかしクラス全体の進度で進むため、ある生徒には基本公式が多すぎ、別の生徒には逆算・複合図形・ラジアンの反復が不足します。全員同じ課題では7種類の誤答の偏りに合わせにくく限界②に、授業外の解き直しを本人へ委ねれば限界③に当たります。

一般的な個別指導塾でも週1回では誤りの修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、確認が週1回だけなら、月曜日に起きた度とラジアンの混同を次の授業まで繰り返す可能性があります。その間に円錐や三角関数へ進めば、誤った式選びが別単元にも広がります。教材と進度が定型なら個人の誤答分布へ十分合わせられず限界②、確認間隔が長ければ限界③を超えられません。

必要なのは、公式をもう一度説明する授業だけではありません。答案から誤りを分類し、その日に解く問題の種類と数を決め、毎日の実行を確認し、毎週のテストで定着を測って計画を修正する仕組みです。独学・映像授業・集団授業・一般的な個別指導を消去法で外すと、この条件を一体で満たす選択肢は、だから鬼管理専門塾しかない、という結論になります。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を受けた時間ではなく、志望校合格に必要な勉強を毎日実行し、定着まで確認できたかを管理します。扇形のように、条件整理・公式選択・計算・検算・解き直しが連続する単元へ、公式サイトで確認できる次の6つの特徴を接続します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

扇形なら、「度数法の基本を4題、弧長から面積を求める問題を3題、ラジアンを2題、前日の誤答を1題」のように、その日に扱う種類と数まで明確にします。何となく数学を開く状態をなくし、図へ条件を書いて答案を作る量へ変えます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

同じ不正解でも、直径を半径にする生徒、度とラジアンを混同する生徒、弧と周を取り違える生徒では必要な課題が違います。答案と得点状況から原因を分け、基本・逆算・複合図形の比率を変えた行動プランを設計します。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

毎日の進捗で予定した問題を解けたか確認し、毎週の確認テストで、既知量から公式を自力で選べるかまで測ります。答えだけでなく図の記号、途中式、単位、検算も確認し、基準に届かなければ追加課題と翌週の計画修正につなげます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

採用率0.6%の専属講師陣が、公式を説明して終わらず、答案のどの段階で角度の単位や図形の分解がずれたかを切り分けます。講師満足度アンケート回答1,524件を公開している体制の下で、中学の扇形から高校の弧度法・三角関数までの接続を支援します。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースがあるため、中学数学の円と扇形の復習から、数学IIのラジアンや入試の複合図形まで、目標と現在地に合う計画へ求積学習を位置付けられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

学習中に「この長さは弧か周か」「中心角は度かラジアンか」と迷ったときはLINEで質問できます。入会前はZoomで保護者同席もできる無料説明会や資料請求を利用し、現在の答案と学習時間から必要な管理内容を相談できます。

鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象と詳細条件は無料説明会で案内しています。まずは無料説明会で、扇形だけでなく、平面図形・三角比・三角関数のどこで判断が止まるのか、日々の演習へどう落とし込むかを相談してください。指導の考え方は「鬼管理」とは、実際の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜扇形は全円の割合から公式を選ぶ

中心角a°の扇形は、面積S=πr²×a/360、弧長L=2πr×a/360です。中心角θをラジアンで表すならL=rθ、S=r²θ/2となります。半径rと弧長Lが分かるなら、中心角を経由せずS=rL/2を使えます。どの式も、同じ円では面積と弧長が中心角に比例するという一つの関係から導けます。

学習では、度数法だけを連続して解くのではなく、弧長からの計算、角度や半径の逆算、ラジアン、複合図形を混ぜ、毎回「なぜこの公式を選んだか」を1行説明してください。翌日と1週間後に同じ分類を解き直し、条件整理から検算まで再現できれば、扇形の公式は暗記項目ではなく、円・円錐・三角関数へつながる得点源になります。

よくある質問

質問の種類	確認するFAQ
基本公式と証明	Q1〜Q4
度・ラジアン・逆算	Q5・Q6
半径・周・大小	Q7〜Q9
円錐への応用	Q10

Q. 扇形の面積の公式は何ですか？

A. 半径r、中心角a°ならS=πr²×a/360です。中心角θがラジアンならS=r²θ/2、弧の長さLが分かるならS=rL/2も使えます。

Q. 扇形の弧の長さの公式は何ですか？

A. 中心角a°ならL=2πr×a/360です。中心角θをラジアンで表す場合はL=rθです。扇形の周の長さを求めるなら、さらに2本の半径を加えます。

Q. なぜ中心角を360で割るのですか？

A. 円全体の中心角が360°だからです。同じ円では面積と弧長が中心角に比例するため、a°の扇形は円全体のa/360になります。

Q. S=rL/2はどのように証明できますか？

A. ラジアンの公式L=rθからθ=L/rとし、S=r²θ/2へ代入するとS=r²(L/r)/2=rL/2となります。

Q. 度とラジアンはどう変換しますか？

A. 度からラジアンへはa×π/180、ラジアンから度へはθ×180/πです。180°=πラジアン、360°=2πラジアンを基準にします。

Q. 中心角を逆に求めるにはどうしますか？

A. 面積ならa=360S/(πr²)、弧長ならa=360L/(2πr)です。扇形の量が円全体の何割かを求め、その割合に360°を掛けると理解できます。

Q. 直径が与えられたときはどうしますか？

A. 直径を2で割って半径rへ直してから公式へ代入します。直径をそのままrに入れると、面積では正しい値の4倍になるため注意してください。

Q. 扇形の周の長さはどう求めますか？

A. 弧の長さLに2本の半径を加えてP=L+2rとします。Lだけでは曲線部分しか数えておらず、扇形を囲む2本の直線が不足します。

Q. 大きい側の扇形の面積はどう求めますか？

A. 小さい側の中心角がa°なら、大きい側は360°−a°です。その角を面積公式へ入れるか、円全体の面積から小さい扇形の面積を引きます。

Q. 円錐の側面積に扇形の公式をどう使いますか？

A. 展開図の扇形の半径を円錐の母線、弧長を底面円周としてS=rL/2を使います。底面を含む表面積なら、側面積へ底面積を加えます。