Claude Code 
三角比はsin・cos・tanの公式が多く、どれを最初に覚えるべきか迷います。相互関係を使う問題や、90°を超える角の値になると、符号や平方根でも間違えてしまいます。
三角比は、公式をばらばらに暗記するより「直角三角形の辺の比」「座標」「三平方の定理」の3本でつなぐと整理できるよ。この記事では定義、代表角の値、相互関係、単位円での拡張、計算手順まで例題と一緒に確認しよう。
三角比の公式は、暗記項目の一覧に見えて、実は少数の定義から導けます。sinは高さの割合、cosは横の割合、tanは高さと横の割合です。この意味が分かれば、値を忘れたときに作り直せますし、相互関係の式も「なぜ成り立つか」まで説明できます。
この記事では、数学Iで扱う三角比を中心に、0°から180°までの値、三角比の相互関係、値の求め方、正弦定理・余弦定理・面積公式への接続を一つの流れで解説します。最初に公式一覧を眺めるのではなく、定義から順番にたどり、最後は自力で計算できる状態を目指してください。
直角三角形で、sinθ＝対辺÷斜辺、cosθ＝隣辺÷斜辺、tanθ＝対辺÷隣辺です。相互関係はtanθ＝sinθ÷cosθ、sin²θ＋cos²θ＝1、1＋tan²θ＝1÷cos²θの3式です。
目次
三角比とは｜sin・cos・tanの定義を直角三角形で理解する
直角三角形で一つの鋭角をθとします。直角の向かい側にある最も長い辺が斜辺、θの正面にある辺が対辺、θに接していて斜辺ではない辺が隣辺です。このとき、sinθ＝対辺／斜辺、cosθ＝隣辺／斜辺、tanθ＝対辺／隣辺と定義します。
大切なのは、対辺と隣辺が角θを基準に決まることです。同じ三角形でも、もう一方の鋭角を基準にすると対辺と隣辺が入れ替わります。図を見た瞬間に辺の名前を固定せず、最初にθへ印を付け、斜辺、対辺、隣辺の順に確認してください。
📚 用語解説
斜辺：直角三角形で直角の向かい側にある辺。3辺の中で最も長く、sinとcosでは分母になる。
📚 用語解説
対辺：基準にする角θの向かい側にある辺。sinの分子、tanの分子になる。角を変えると対辺も変わる。
📚 用語解説
隣辺：基準にする角θに接する辺のうち、斜辺ではない方。cosの分子、tanの分母になる。
三角比は三角形の大きさではなく角度で決まる
同じ角θをもつ直角三角形は相似です。三角形を2倍、3倍に拡大すると各辺の長さも同じ倍率で増えるため、対辺÷斜辺のような比は変わりません。だからsinθ、cosθ、tanθは、三角形の大きさではなく角度θだけで決まります。これが、未知の辺や高さを角度から計算できる理由です。
例題｜3辺が3・4・5の直角三角形
斜辺が5、角θの対辺が3、隣辺が4なら、sinθ＝3/5、cosθ＝4/5、tanθ＝3/4です。分母を斜辺にするのはsinとcosだけで、tanは斜辺を使いません。計算前に「何÷何か」を日本語で言ってから数値を入れると、sinとcosの取り違えを防げます。
sinは「高さ÷斜辺」、cosは「横÷斜辺」、tanは「高さ÷横」と図の向きに合わせて読み替えます。ただし図が傾いていても、斜辺は直角の向かい側、対辺はθの向かい側という定義を優先します。
sin・cos・tanの基本を図と一緒に復習したい場合は、sin・cos・tanの求め方と覚え方もあわせて確認してください。この記事では、ここから公式同士のつながりへ進みます。
角θを変えると対辺と隣辺も入れ替わるから、公式へ数字を入れる前に辺の役割を決めるんですね。
その通り。斜辺は直角の向かい側で固定だけれど、対辺と隣辺はθ次第だ。まず定義を図に書き込み、それから計算する習慣を付けよう。
三角比の値一覧｜0°・30°・45°・60°・90°を覚える
30°・45°・60°の三角比は、問題で繰り返し使う基本値です。丸暗記だけに頼るとsinとcosが逆になりやすいため、30°・60°・90°の三角形と、45°・45°・90°の三角形から作れるようにします。0°と90°は座標の端点として考えると自然に理解できます。
| θ | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3＝√3/3 |
| 45° | 1/√2＝√2/2 | 1/√2＝√2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | 定義されない |
30°と60°は辺の比1：√3：2から作る
正三角形を高さで半分に切ると、30°・60°・90°の直角三角形ができます。辺の比は、30°の向かい側から順に1：√3：2です。30°を基準にすればsin30°＝1/2、cos30°＝√3/2、tan30°＝1/√3です。60°を基準にすると対辺と隣辺が入れ替わるため、sin60°＝√3/2、cos60°＝1/2、tan60°＝√3となります。
45°は辺の比1：1：√2から作る
正方形を対角線で切ると、45°・45°・90°の直角三角形ができます。直角をはさむ2辺を1とすると、三平方の定理から斜辺は√2です。したがってsin45°＝1/√2＝√2/2、cos45°も√2/2、tan45°＝1です。sinとcosが同じ値になるのは、対辺と隣辺の長さが等しいためです。
0°と90°は座標で確認する
半径1の円を考えると、角0°の点は(1, 0)、角90°の点は(0, 1)です。横座標がcos、縦座標がsinなので、cos0°＝1、sin0°＝0、cos90°＝0、sin90°＝1となります。tanθ＝sinθ/cosθより、tan90°は0で割る形になるため、値を定められません。
tan90°は「大きな値」でも0でもなく、定義されません。tanθ＝sinθ/cosθで分母のcos90°が0になることを確認してください。分母が0になる角は、計算の前に除外します。
表だけで覚えるのではなく、30°なら1：√3：2、45°なら1：1：√2を小さく描けば復元できます。
そうだね。試験中に表の一部を忘れても、2つの三角形と定義から作り直せる。次は、値同士を結ぶ相互関係を三平方の定理から導こう。
三角比の相互関係3公式｜証明と使い分けを理解する
三角比の相互関係は、tanθ＝sinθ/cosθ、sin²θ＋cos²θ＝1、1＋tan²θ＝1/cos²θの3つです。独立した3本を丸暗記するのではなく、最初の2本から3本目が導けると理解してください。
📚 用語解説
三角比の相互関係：同じ角θに対するsinθ、cosθ、tanθを結ぶ等式。一つの値から別の値を求めたり、式を変形したりする。
tanθ＝sinθ/cosθの証明
角θの対辺をa、隣辺をb、斜辺をcとします。定義からsinθ＝a/c、cosθ＝b/cです。sinθ/cosθ＝(a/c)÷(b/c)＝a/bとなり、これはtanθの定義と一致します。分数で割るときは、後ろの分数を逆数にして掛けると約分が見えます。
sin²θ＋cos²θ＝1の証明
同じ直角三角形で三平方の定理a²＋b²＝c²を使います。両辺をc²で割ると、a²/c²＋b²/c²＝1です。a/c＝sinθ、b/c＝cosθなので、sin²θ＋cos²θ＝1が得られます。この式は、三角比の根にあるのが直角三角形と三平方の定理だと示しています。
1＋tan²θ＝1/cos²θの証明
sin²θ＋cos²θ＝1の両辺をcos²θで割ります。するとsin²θ/cos²θ＋1＝1/cos²θとなります。tanθ＝sinθ/cosθなので、左の第1項はtan²θです。よって1＋tan²θ＝1/cos²θが得られます。cosθ＝0のときは割れないため、この式もcosθ≠0の範囲で使います。
| 公式 | 主な用途 | 計算前の確認 |
|---|---|---|
| tanθ＝sinθ/cosθ | sin・cosからtanを出す | cosθ≠0 |
| sin²θ＋cos²θ＝1 | sinとcosを相互に求める | 平方根の符号 |
| 1＋tan²θ＝1/cos²θ | tanからcosを求める | 角の範囲と符号 |
例題｜sinθ＝3/5のときcosθとtanθを求める
θが鋭角でsinθ＝3/5とします。sin²θ＋cos²θ＝1へ代入すると、9/25＋cos²θ＝1なので、cos²θ＝16/25です。θは鋭角だからcosθは正で、cosθ＝4/5です。さらにtanθ＝sinθ/cosθより、tanθ＝(3/5)÷(4/5)＝3/4となります。
cos²θ＝16/25からcosθ＝±4/5までは代数の処理です。その後、θが鋭角ならcosθ＞0、鈍角ならcosθ＜0と角の範囲で符号を決めます。平方根を取った瞬間に正だけへ決めないでください。
3つ目の式も、sin²θ＋cos²θ＝1をcos²θで割れば作れるので、暗記の負担を減らせます。
その理解が大事だ。相互関係は公式を思い出す問題ではなく、分かっている値から必要な値へ移る道具だ。角の範囲まで見て符号を決めよう。
0°から180°までの三角比｜単位円と符号の決め方
直角三角形だけではθは0°より大きく90°より小さい範囲ですが、座標平面を使うと0°から180°まで三角比を広げられます。原点Oから長さrの線分OPを引き、正のx軸から反時計回りにθだけ回した点Pを(x, y)とすると、sinθ＝y/r、cosθ＝x/r、tanθ＝y/xと定めます。
📚 用語解説
単位円：中心が原点で半径が1の円。円上の点Pの座標が(cosθ, sinθ)となり、三角比の値と符号を図で読める。
鈍角ではsinが正、cosとtanが負になる
90°より大きく180°より小さい角では、点Pは第2象限にあります。第2象限ではx＜0、y＞0です。したがってsinθ＝y/rは正、cosθ＝x/rは負、tanθ＝y/xは負となります。符号を語呂だけで覚えるより、x座標とy座標の符号へ戻す方が確実です。
180°−θの公式は左右対称から理解する
単位円上でθと180°−θの点はy軸について対称です。y座標は同じでx座標は符号が逆になるため、sin(180°−θ)＝sinθ、cos(180°−θ)＝−cosθ、tan(180°−θ)＝−tanθです。たとえばsin150°＝sin30°＝1/2、cos150°＝−cos30°＝−√3/2、tan150°＝−tan30°＝−√3/3となります。
90°−θと90°＋θの公式
余角の関係から、sin(90°−θ)＝cosθ、cos(90°−θ)＝sinθ、tan(90°−θ)＝1/tanθです。また、90°＋θは第2象限に入るため、sin(90°＋θ)＝cosθ、cos(90°＋θ)＝−sinθ、tan(90°＋θ)＝−1/tanθとなります。公式を使う前に、求める角がどの位置にあるかを描いてください。
| 角の変形 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 90°−θ | cosθ | sinθ | 1/tanθ |
| 90°＋θ | cosθ | −sinθ | −1/tanθ |
| 180°−θ | sinθ | −cosθ | −tanθ |
例題｜cos120°とtan135°を求める
120°＝180°−60°なので、cos120°＝−cos60°＝−1/2です。135°＝180°−45°なので、tan135°＝−tan45°＝−1です。どちらも第2象限にあるためcosとtanが負になる、と先に予想しておくと符号ミスに気付きやすくなります。
sinとcosが入れ替わるのは90°を基準にした変形です。180°−θではsinとcosを入れ替えません。まず90°型か180°型かを見分け、次に象限から符号を決めます。
120°や150°でも、単位円の第2象限に点を置けば、sinが正でcosとtanが負だと判断できます。
そう。変形公式は座標の対称性を短く書いたものだ。角の位置、絶対値、符号の順に考えれば、公式の符号を丸暗記しなくても再現できる。
三角比の計算方法｜辺・角度・面積を求める例題
三角比の計算は、求めたい量を先に決め、与えられた辺と角を結ぶ比を選びます。直角三角形ならsin・cos・tanの定義を直接使い、一般の三角形なら面積公式、正弦定理、余弦定理へ進みます。図に分かっている値を書き込み、未知数を1個にしてから式を立てるのが基本です。
例題1｜斜辺と角から高さを求める
斜辺が10、角θが30°で、その対辺xを求めます。対辺と斜辺を結ぶのはsinなので、sin30°＝x/10です。sin30°＝1/2を代入すると、1/2＝x/10よりx＝5です。「高さだからtan」と決めず、与えられた辺と求める辺の組み合わせで比を選んでください。
例題2｜隣辺と角から対辺を求める
角θが45°、隣辺が6、対辺をxとします。対辺と隣辺を結ぶのはtanなので、tan45°＝x/6です。tan45°＝1よりx＝6となります。この結果は45°・45°・90°の三角形で直角をはさむ2辺が等しいこととも一致します。
例題3｜2辺とその間の角から面積を求める
三角形ABCで、角Aをはさむ2辺がb＝8、c＝5、A＝30°とします。面積SはS＝(1/2)bc sinAなので、S＝(1/2)×8×5×(1/2)＝10です。底辺をcと見れば、高さはb sinAです。これをS＝底辺×高さ÷2へ代入したものが面積公式です。
📚 用語解説
正弦定理：三角形の辺と向かい合う角の正弦、外接円の半径を結ぶ定理。辺と対角の組が分かるときに使いやすい。
📚 用語解説
余弦定理：三角形の3辺と1つの角を結ぶ定理。2辺とその間の角、または3辺から未知の辺や角を求める。
正弦定理・余弦定理へ進む判断
直角がなく、辺とその向かいの角の組が分かっているなら正弦定理を検討します。2辺とその間の角、または3辺が分かっているなら余弦定理を検討します。外接円の半径まで含む問題は外接円の半径と正弦定理の求め方、余弦定理の証明と例題は余弦定理の公式・証明・使い方で詳しく確認できます。
| 分かっている情報 | 選ぶ道具 | 最初の式 |
|---|---|---|
| 直角三角形の辺と角 | sin・cos・tanの定義 | 求める辺を含む比を選ぶ |
| 2辺とその間の角、面積 | 面積公式 | S＝(1/2)bc sinA |
| 辺と対角の組 | 正弦定理 | a/sinA＝b/sinB＝c/sinC |
| 2辺とその間の角、または3辺 | 余弦定理 | a²＝b²＋c²−2bc cosA |
高さを求めるからtanと決めるのではなく、斜辺が分かるならsin、隣辺が分かるならtanと選びます。
よく整理できたね。公式名から探すのではなく、既知の量と未知の量を同時に含む式を探す。最後に答えが斜辺より長くなっていないかなど、図に戻して確かめよう。
三角比の公式の覚え方｜間違いを減らす学習手順と練習問題
三角比は公式カードを眺めるだけでは定着しにくい単元です。定義を図に書く、代表角を三角形から作る、相互関係を導く、鈍角の符号を単位円で決める、という4種類の作業を実際に行ってください。「見れば分かる」状態と「何も見ずに式を立てられる」状態は異なります。
ステップ1｜白紙に定義と相互関係を書く
最初に直角三角形を一つ描き、θ、斜辺、対辺、隣辺を書き込みます。その横へsin、cos、tanの定義と相互関係3式を書きます。公式集を写すのではなく、図を見ながら自力で書き、書けなかった箇所だけを確認してください。毎回同じ順序で書くと、知識の抜けが見つかります。
ステップ2｜代表角を図から復元する
30°・60°・90°の三角形と45°・45°・90°の三角形を描き、辺の比から値を出します。表を隠してsin30°、cos60°、tan45°などを混ぜて答えます。分母の有理化まで行い、1/√3と√3/3が同じ値だと説明できるようにしてください。
ステップ3｜誤答を原因別に分ける
間違いは「辺の選択」「代表角の値」「相互関係の式変形」「平方根の符号」「象限の符号」「使う定理の選択」に分けます。正答を書き写すだけでは、次に同じ原因で間違えます。誤答の横へ原因を一語で書き、同じ原因を直す問題を続けて解くと修正が速くなります。
| よくある誤り | 原因 | 直し方 |
|---|---|---|
| sinとcosを逆にする | 対辺・隣辺が未確定 | θへ印を付けてから辺を命名 |
| tan90°＝0とする | 分母の確認不足 | tan＝sin/cosへ戻す |
| 鈍角のcosを正にする | 象限を見ていない | 単位円でx座標を見る |
| cos²から正だけを選ぶ | 角の範囲を未確認 | ±を出してから符号決定 |
| 公式を選べない | 既知量と未知量が未整理 | 図に値と文字を書き込む |
オリジナル練習問題
問題1：斜辺13、角θの対辺5の直角三角形でsinθ、cosθ、tanθを求めてください。
問題2：θが鋭角でcosθ＝12/13のとき、sinθとtanθを求めてください。
問題3：sin150°、cos150°、tan150°を求めてください。
問題4：斜辺が14、角が30°の直角三角形で、30°の対辺を求めてください。
問題5：2辺が6と9、その間の角が30°の三角形の面積を求めてください。
練習問題の解答と確認点
問題1：残りの辺は三平方の定理で12なので、sinθ＝5/13、cosθ＝12/13、tanθ＝5/12です。
問題2：sin²θ＝1−144/169＝25/169。θは鋭角なのでsinθ＝5/13、tanθ＝(5/13)÷(12/13)＝5/12です。
問題3：150°＝180°−30°より、sin150°＝1/2、cos150°＝−√3/2、tan150°＝−√3/3です。
問題4：14×sin30°＝7です。
問題5：(1/2)×6×9×sin30°＝27/2です。
間違いを一括して「計算ミス」にせず、辺・値・式変形・符号・公式選択に分ければ復習しやすいです。
その分類ができれば、必要な練習だけを選べる。白紙再現、短い計算、時間を置いた解き直しを組み合わせ、公式を見ないでも手順を説明できるところまで仕上げよう。
三角比は「普通の対策」では入試問題を解き切れない
三角比は「普通の対策」で公式を一度覚えるだけでは、入試問題を解き切れません。定義、代表角、相互関係、鈍角の符号、正弦定理・余弦定理が連動し、問題ごとに使う道具を選ぶ必要があるからです。表を見て値を答えられても、図から式を立て、途中の符号を判断し、答えを検算できなければ得点につながりません。
独学・参考書だけでは「分かった」で止まりやすい
参考書は定義や例題を自分の順番で確認できる一方、解説を読んだことと、自力で再現できることを区別しにくい面があります。限界①の「情報を得ても行動は変わらない」が残り、図を描く、公式を選ぶ、解き直すという行動まで進まなければ、別の問題で同じ迷いが起きます。
映像授業・アプリだけでは手を動かす量が不足しやすい
映像で単位円の動きを見ると理解は進みますが、視聴後に白紙へ公式を書き、数値を変えた問題を解かなければ定着は確認できません。アプリの選択式問題だけでは、式を一から立てる練習が不足することもあります。ここにも限界①があり、知識の受け取りを演習へ移す仕組みが必要です。
大手予備校の集団授業では誤答原因まで合わせにくい
同じ三角比の誤答でも、辺の選び方で迷う人、平方根の符号で迷う人、定理の選択で迷う人では必要な練習が違います。全員が同じ進度・同じ説明で進むと、限界②の「全員同じ指導は偏差値50に収束する」が残り、自分の弱点だけを集中的に修正しにくくなります。
一般的な個別指導塾では授業外の反復が途切れやすい
授業中に質問できても、授業のない日に代表角を再現し、相互関係を使い、誤答を解き直すところまで続かなければ、手順は定着しません。週単位の授業だけに頼ると、限界③の「週1指導では変化が遅い」が残り、次の指導まで同じ弱点を持ち越しやすくなります。
公式を読むだけでなく、紙に式を書き、数値を入れ、結果を確かめるところまで進める必要があります。
そうだよ。1Day鬼管理数学合宿は授業を聞くだけの日ではなく、数学の単元や志望校の範囲をやり切る日だ。覚えた公式を問題で使い、どこができていないかを確かめよう。
そこで、三角比を含む図形と計量の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。
1Day鬼管理数学合宿の特徴
三角比の公式を使う問題を、1日でまとめて解き切りたいです。
それなら1Day鬼管理数学合宿だ。三角比は、数学Ⅰの「図形と計量」のコースで扱う。
1Day鬼管理数学合宿は、鬼管理専門塾が開くオンラインの合宿です。数学の1つの単元や志望校の範囲を、1日でやり切ります。授業を聞く日ではなく、紙に解いて答えを確かめる日です。塾生でなくても参加できます。合宿の全体像は、1Day鬼管理数学合宿とはで確かめられます。
学校で習っている単元や苦手な単元を選び、その日のうちに解き切る
例題は答えの数字を入れると、すぐに○×と解き方が出る
例題と数字を変えた問題を選択肢なしで解き、すぐに点数と解き方が出る
カメラで手元を映し、監督官がGoogle Meetで見守る
宿題編（答えと解き方つき）を解き、同じ型で数字を変えた問題で確かめる
三角比の公式に近いコース
数学Ⅰ「図形と計量」
三角比・正弦定理・余弦定理・面積・空間図形への応用を、1日でやり切る単元のコースです。
塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴
合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。
鬼管理専門塾は、日々の受験勉強を1日単位で管理するオンライン塾です。公式サイトで確認できる6つの特徴を、三角比を含む数学学習の課題へつなげて説明します。
「今日やるべきこと」を英単語○語・問題○題のように数値で指示する
得点データをもとに、専属講師が生徒ごとの行動プランを設計する
進捗を毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を検証する
厳格な基準で選考した専属講師陣。講師満足度アンケートは回答1,524件
大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースを展開する
LINEで質問でき、Zoomの無料説明会や資料請求で入会前に相談できる
❶ 1日単位の数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。
三角比では、定義の再現、代表角の計算、相互関係の演習、誤答の解き直しを日ごとの課題へ落とし込む必要があります。数値化した指示なら、理解だけで終わらず演習量を確認できます。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。
辺の選択で迷う人と、鈍角の符号で迷う人では、必要な問題が異なります。現在の誤答原因から個別行動プランを作れば、できる問題の反復を減らし、弱点の修正へ時間を配分できます。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。
三角比は一度正解しても、角度や図の向きが変わると再び迷いやすい単元です。毎日の進捗と毎週の確認テストで、別の問題でも定義から解けるかを確かめれば、理解と再現のずれを修正できます。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。
式変形や符号の誤りは、答えだけを直しても原因が残ります。図、定義、式のどこで判断を誤ったかを説明できる専属講師がいれば、誤った手順を続けず、次の演習へ向けて修正できます。
❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開
大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。
三角比は高校受験の図形から大学受験の数学I、英語資格以外の各受験目標にも関わる基礎です。大学・学部特化、総合型選抜・推薦、高校受験など、目標に合う専門コースで学習を進められます。
❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求
授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。
数学の式変形で疑問が生じた日にLINEで質問できれば、誤った理解のまま問題を重ねるのを防げます。資料や面談の窓口では、日々の管理方法や指導内容を事前に確認できます。
指導方針の根拠になっている従来塾の3つの限界と学習管理は、「鬼管理」とは？で確認できます。塾全体の進学結果は、鬼管理専門塾の合格実績に掲載されています。
数学の誤答原因に合わせて、毎日の課題、解き直し、確認方法まで行動プランへ落とす仕組みなんですね。
そうだよ。日々の受験勉強を管理する仕組みが必要なら、6つの特徴を自分の課題と照らして確認しよう。三角比も、理解した後に再現と演習を続けることが大切だ。
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まとめ｜三角比は定義・相互関係・符号の順で整理する
三角比は公式の数が多く見えますが、直角三角形の辺の比、三平方の定理、座標の3つから整理できます。sin・cos・tanの定義を出発点にすれば、代表角の値、相互関係、鈍角への拡張、面積公式や定理まで一つの流れになります。
最初の復習では、公式表を閉じて直角三角形と単位円を描いてください。次に代表角の値を作り、相互関係を1本ずつ導き、最後に数値を変えた問題を解きます。答えが合ったかだけでなく、どの定義や公式を選んだかを声に出して説明すると、使える知識へ変わります。
公式を忘れたときも、直角三角形、三平方の定理、単位円へ戻れば、自分で作り直せます。
その状態が目標だ。まず今日、定義と代表角を白紙に書き、練習問題を解いてみよう。まとまった演習で数学の単元を仕上げたい場合は、下の案内から1Day鬼管理数学合宿を確認できる。
数学の単元や志望校の範囲は、1Day鬼管理数学合宿で1日でやり切る
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コース: 数学Ⅰ・数学A の単元ごと、数学ⅠA・数学ⅡBC の大学別、数検準2級。開催日は、公式LINEに登録すると届く申込ボタンから見られます。
公式LINEで合宿の案内を受け取る 1Day鬼管理数学合宿のくわしい説明を見るよくある質問
| 質問のテーマ | 先に確認すること |
|---|---|
| 定義 | θに対する対辺・隣辺・斜辺 |
| 代表角 | 2種類の特別な直角三角形 |
| 相互関係 | 分かっている値と求めたい値 |
| 鈍角 | 単位円上のx座標・y座標の符号 |
| 図形計量 | 既知量と未知量を結ぶ公式 |
最後に、三角比と三角関数の違い、値の覚え方、相互関係で符号を決める方法を短く確認したいです。
どの疑問も、辺の比、三平方の定理、単位円へ戻せば整理できる。公式だけでなく判断理由も確認しよう。
Q. 三角比のsin・cos・tanは何を表しますか？
A. 直角三角形で角θを基準にした辺の比です。sinθは対辺÷斜辺、cosθは隣辺÷斜辺、tanθは対辺÷隣辺を表します。対辺と隣辺は基準にする角によって入れ替わります。
Q. 三角比と三角関数の違いは何ですか？
A. 数学Iの三角比は主に直角三角形の辺の比から始まり、0°から180°までへ広げます。三角関数はその考えを一般の角へ広げ、周期的な関数としてグラフや方程式などを扱います。
Q. 三角比の相互関係はどの3つですか？
A. tanθ＝sinθ/cosθ、sin²θ＋cos²θ＝1、1＋tan²θ＝1/cos²θです。3つ目は2つ目の両辺をcos²θで割り、tanθ＝sinθ/cosθを使うと導けます。
Q. 30°・45°・60°の三角比を簡単に覚える方法は？
A. 30°・60°は辺の比1：√3：2、45°は1：1：√2の直角三角形から求めます。表を丸暗記するだけでなく、角に対する対辺・隣辺・斜辺を選び、定義どおりに割って復元してください。
Q. sinの値からcosの値を求めるには？
A. sin²θ＋cos²θ＝1へ代入し、cos²θを求めて平方根を取ります。cosθの正負は角の範囲で決めます。鋭角なら正、90°より大きく180°より小さい鈍角なら負です。
Q. tan90°はなぜ定義されないのですか？
A. tanθ＝sinθ/cosθで、sin90°＝1、cos90°＝0だからです。0で割る計算はできないため、tan90°には値を定めません。
Q. 150°の三角比はどう求めますか？
A. 150°＝180°−30°と考えます。sin150°＝sin30°＝1/2、cos150°＝−cos30°＝−√3/2、tan150°＝−tan30°＝−√3/3です。第2象限の符号も確認してください。
Q. 三角比の計算でどの公式を使うか判断する方法は？
A. 図へ分かっている辺と角を書き、求める量を文字で置きます。その両方を含む式を選びます。直角三角形なら三角比の定義、一般の三角形なら面積公式、正弦定理、余弦定理を検討します。
Q. 三角比を効率よく覚える勉強法は？
A. 白紙に定義を書く、代表角を2種類の三角形から作る、相互関係を導く、単位円で鈍角の符号を決める、数値を変えた問題で再現する、の順で練習してください。誤答は原因別に分類します。
Q. 1Day鬼管理数学合宿では三角比を学べますか？
A. 数学Iには図形と計量の分野があります。開催日ごとに選べる分野が異なるため、対象コースや日程など、くわしくは公式ページで確認してください。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映