場合の数とは？和の法則・積の法則から順列・組合せまで公式と例題で解説

場合の数は、起こり得る結果を漏れなく、重複なく数える単元です。公式へ数字を入れる前に、区別する対象、順番を区別するか、同じものを再び使えるか、条件に合わない場合を除くかを決めます。この判断ができれば、和の法則・積の法則・順列・組合せは別々の暗記ではなく、同じ数え上げを短く書く道具として理解できます。

場合の数とは｜「漏れなく・重複なく」数えるのが基本

場合の数とは、ある事柄について起こり得る場合を数えた総数です。たとえば赤・青・白のカードから1枚を選ぶなら3通りです。一方、3枚を横一列に並べるなら、色の選び方ではなく並び方を1通りとして数えます。同じ3枚を扱っていても、何を違う結果とみなすかによって答えは変わります。

最初に「1通り」の意味を決める

4人から代表者を1人選ぶ問題では、Aさんを選ぶ結果とBさんを選ぶ結果は別です。しかし、AさんとBさんを2人組として選ぶ問題では「A、B」と「B、A」は同じ組です。委員長と副委員長を決めるなら役割が異なるため、Aさんが委員長・Bさんが副委員長の場合と、その逆は別に数えます。問題文の名詞と役割に線を引くと、順番を区別する理由が見えます。

集合の個数で重複を調整する

条件Aを満たす場合がm通り、条件Bを満たす場合がn通りあっても、AとBの両方に入る結果があれば、単純にm＋nとはできません。両方に入る個数を引き、n(A∪B)＝n(A)＋n(B)−n(A∩B)とします。AとBが同時に起こらないときだけ、重なりが0になるためm＋nで数えられます。

確認項目	質問	判断の例
対象	何を選ぶ・並べるか	人、数字、道、色を区別する
順番	並べ替えで別の結果になるか	役職が違えば順番を区別する
重複	同じ結果を二度数えていないか	共通部分や回転を調整する
漏れ	条件に合う結果を尽くしたか	樹形図や表で一定の順に並べる
使用回数	同じものを再び使えるか	復元ありなら各回の候補が戻る

文部科学省の高等学校学習指導要領解説（数学編・理数編）でも、数学Aの内容として集合の要素の個数、和の法則・積の法則などの数え上げの原則、順列・組合せが並べられています。公式だけでなく、事象の構造に着目して数え方を多面的に考えることが学習の中心です。

和の法則・積の法則｜足す場合とかける場合の見分け方

和の法則と積の法則は、ほぼすべての数え上げの土台です。選択肢を互いに重ならないグループへ分けて「どれか」を選ぶなら和、複数の操作を「続けて」行うなら積を使います。問題文に「または」「そして」が書かれていなくても、数え方を言葉に直せば判断できます。

和の法則の例題｜行き先で場合を分ける

駅から図書館へ行くバスが4路線、公園へ行くバスが3路線あるとします。「図書館または公園へバスで行く」方法を数えると、行き先が異なるので同じ移動が両方へ入ることはありません。したがって4＋3＝7通りです。ここで大切なのは、図書館行きと公園行きが排反になっていることです。

積の法則の例題｜服を順に選ぶ

シャツが4着、ズボンが3着あり、シャツとズボンを1つずつ選ぶなら、どのシャツを選んでもズボンは3通りあります。よって組合せは4×3＝12通りです。最初の選択ごとに次の選択肢が同じ数だけあるとき、樹形図の枝が同じ本数に増えるため、積でまとめられます。

和と積を組み合わせる例題｜先頭が0ではない3桁の整数

数字0、1、2、3から重複なく3個を使って3桁の整数を作ります。百の位は0にできないので1、2、3の3通りです。百の位を決めると十の位は残り3通り、一の位は残り2通りです。積の法則から3×3×2＝18通りになります。先に0を含む並べ方を全部数えてから、0で始まる場合を引いても同じ答えになります。

和の法則と積の法則の定義や樹形図による整理は、大学の授業用資料である「順列と組み合わせ」配布資料でも確認できます。公式を覚えるときは、和は排反なグループ、積は連続する選択という条件を一緒に覚えてください。

場合の数の公式一覧｜階乗・順列・組合せを例題で確認

階乗・順列・組合せは、いずれも積の法則を短く表す記号です。候補が1つずつ減る並べ方を階乗や順列で表し、順番を区別しない選び方では、同じ組を並べ替えた重複を階乗で割って組合せにします。公式の分母は、余分に数えた回数を取り除く役割を持っています。

階乗n!｜n個すべてを一列に並べる

異なる5冊の本を一列に並べるとします。1冊目は5通り、2冊目は残り4通り、その後は3、2、1通りと減ります。積の法則から5×4×3×2×1＝5!＝120通りです。全員・全個を並べる問題で、途中に条件がなければ階乗が基本になります。

順列nPr｜n個からr個を選んで順に並べる

異なるn個からr個を選び、順番を付けて並べる場合の数はnPr＝n(n−1)…(n−r＋1)＝n!/(n−r)!です。たとえば7人から委員長・副委員長・書記を選ぶと、役割が違うので順番を区別します。答えは7P3＝7×6×5＝210通りです。

組合せnCr｜n個からr個を順不同で選ぶ

異なるn個からr個を、順番を付けずに選ぶ場合の数はnCr＝nPr/r!＝n!/{r!(n−r)!}です。7人から同じ役割の係を3人選ぶなら、選ばれた3人の並び替え3!通りはすべて同じ組を表します。よって7C3＝210/6＝35通りです。

組合せの対称性｜選ぶ側と選ばない側を入れ替える

nCr＝nC(n−r)が成り立ちます。10人から8人を選ぶことは、選ばない2人を決めることと一対一に対応するため、10C8＝10C2＝45です。rがnに近いときは、選ばない側を数えると計算が短くなります。公式変形だけでなく、補集合を選ぶ意味で理解してください。

型	区別	公式	例
全部を並べる	位置を区別する	n!	5冊を一列に並べる
一部を順に並べる	選択と順番を区別する	nPr	7人から3役を決める
一部を選ぶ	順番を区別しない	nCr	7人から係を3人選ぶ
選ばない側を決める	補集合で同じ組を表す	nCr＝nC(n−r)	10人から8人を選ぶ

順列・組合せの定義と積の法則は、石川工業高等専門学校の数学活用大事典「場合の数」でも確認できます。記号を使う前に、答えの1通りへ順番が含まれるかを言葉で説明すると、nPrとnCrの取り違えを減らせます。

PとCの使い分け｜順番・役割・位置を区別するかで決める

PとCを選ぶ最も確実な質問は、同じものを選んだまま順番を入れ替えたとき、別の結果になるかです。別になるなら順列P、同じなら組合せCです。「選ぶ」という動詞だけでは決まりません。選んだ後に役割や席が付くなら、結果には順番が含まれます。

同じ数字でも答えが変わる比較例

8人から3人を選ぶ2つの問題を比べます。3人の代表を選ぶだけなら8C3＝56通りです。リーダー・記録係・発表係を1人ずつ決めるなら、役割の入れ替えを区別するので8P3＝8×7×6＝336通りです。問題文に現れる人数は同じでも、完成した結果の構造が違うため、答えは6倍になります。

問題文の表現	順番	使う考え方
3人を選ぶ	区別しない	組合せnC3
3人を選んで一列に並べる	区別する	順列nP3
3つの異なる役職を決める	区別する	順列nP3
3人組を作る	組の中は区別しない	組合せnC3
取り出して元へ戻す	各回で同じ候補を使える	重複順列

PとCを見分ける3つの質問

PとCの判断だけを集中的に復習したい人は、既存記事の順列と組み合わせの違い・PとCの使い分けもあわせて確認してください。似た問題を並べて、何が変わると式が変わるのかを説明する練習が有効です。

樹形図・表・余事象の使い方｜数え漏れと重複を防ぐ手順

樹形図や表は、公式が分からない人だけが使う方法ではありません。何を数えているか、どこで候補が減るか、同じ結果を何度数えたかを可視化する道具です。すべてを書き切る必要はなく、規則が見えるところまで書き、その後を和・積・P・Cでまとめれば効率よく解けます。

樹形図が向く問題｜段階ごとの選択を追う

A、B、Cの3文字から重複なく2文字を並べるなら、最初の文字から3本の枝を出し、それぞれから残り2本を出します。枝先はAB、AC、BA、BC、CA、CBの6個です。ここから「最初が3通り、その各場合に次が2通り」と読み、3×2＝6へつなげられます。公式は樹形図の枝数を圧縮した表現です。

表が向く問題｜2つの条件を交差させる

2個のサイコロ、2種類の選択、行きと帰りの経路のように、2つの条件を同時に追う問題では表が役立ちます。行に1つ目、列に2つ目の結果を置くと、各マスが1通りに対応します。条件に合うマスへ印を付ければ、漏れなく数えられ、同じマスを二度数えることも防げます。

余事象が向く問題｜「少なくとも」を全体から引く

「少なくとも1回は赤が出る」のような条件は、赤が出る回数を1回、2回、3回と分けるより、全体から「一度も赤が出ない」場合を引くほうが短くなります。たとえば赤・青・白の3色から毎回1色を選び、同じ色を再び選べるとして3回選ぶと、全体は3³＝27通りです。赤なしは青・白だけの2³＝8通りなので、少なくとも1回赤が出るのは27−8＝19通りです。

条件付きの並べ方｜固定・ひとかたまり・全体から引く

条件	基本方針	確認点
特定の人が端	端を先に決める	残りを空いた位置へ並べる
2人が隣り合う	2人を1つの塊にする	塊の内部の並びも数える
2人が隣り合わない	全体から隣り合う場合を引く	余事象が簡単か比べる
男女が交互	一方を先に並べて隙間へ置く	人数差で可能な形が変わる
少なくとも1つ	0個の場合を全体から引く	補集合が1種類になるか見る

例として異なる5人を一列に並べ、AとBが隣り合わない場合を求めます。全体は5!＝120通りです。AとBを1つの塊とみなすと、塊と残り3人の4つを並べる4!通りがあり、塊の中はAB、BAの2通りです。隣り合う場合は4!×2＝48通りなので、答えは120−48＝72通りです。

場合の数の応用公式｜円順列・重複・組分けまで整理

応用公式は、名前ごとに丸暗記すると混乱しやすい分野です。まず通常の並べ方・選び方を数え、回転や同じものの入れ替えを同じ結果とみなすなら割り、各回で同じ候補を使えるなら候補数を戻します。公式が表す重複の調整を説明できれば、条件が変わっても式を作れます。

円順列｜回転して一致する並びを同じとする

異なるn個を円形に並べ、回転して重なる並びを同じとすると、1つの円形の並びを通常の順列でn回ずつ数えています。したがってn!/n＝(n−1)!通りです。異なる6人が円卓へ座るなら(6−1)!＝120通りです。1人の位置を固定し、残り5人を並べると考えても同じ式になります。

数珠順列｜回転に加えて裏返しも同じとする

異なるn個を輪に並べ、回転だけでなく裏返して重なる並びも同じとすると、通常の円順列では向きが逆の2通りを別に数えています。nが3以上で全要素が異なる基本形なら(n−1)!/2通りです。円卓の座席は裏返せないので円順列、首飾りの配置は裏返せるため数珠順列というように、現実の操作で同じにできるかを確認します。

同じものを含む順列｜同じ種類の交換を割る

合計n個のうち、同じものがp個、q個、…ある並べ方はn!/(p!q!…)です。たとえばA、A、B、Cの4文字を並べると、4!では2個のAを入れ替えた2!通りを別に数えています。よって4!/2!＝12通りです。分母には、見分けられない種類ごとの階乗をすべて掛けます。

重複順列｜同じ候補を何回でも使える

n種類から重複を許してr回選び、順番を区別する場合はn^r通りです。各回で候補がn通りに戻り、その選択をr回続けるため、積の法則でnをr回掛けます。4色から3回色を選んで長さ3の列を作るなら4³＝64通りです。通常の順列nPrのように候補は減りません。

重複組合せ｜同じ種類を複数選び順番を区別しない

n種類から重複を許してr個を選ぶ場合はnHr＝(n＋r−1)Crです。3種類から合計5個を選ぶなら、5個を表す印と種類を区切る2本の仕切り、合計7個の位置から仕切り2本の位置を選ぶので7C2＝21通りです。ある種類を0個選んでもよいことが、仕切りが端に来たり隣り合ったりする形に対応します。

組分け｜もの・箱・人数の区別を確認する

組分けは、配るものを区別するか、受け取る箱や組を区別するか、空の組を許すか、各組の人数が決まっているかで式が変わります。異なる6人を3人ずつ赤組・青組へ分けるなら、赤組の3人を選べば青組も決まるので6C3＝20通りです。組に名前がなく、3人組を2つ作るだけなら、2組を入れ替えた重複を2!で割り、6C3/2＝10通りです。

応用の型	公式・方針	調整する重複
円順列	(n−1)!	回転n通りを同じとする
数珠順列	(n−1)!/2	回転と裏返しを同じとする
同じものを含む順列	n!/(p!q!…)	同じ種類の交換を同じとする
重複順列	n^r	各回で同じ候補を再使用できる
重複組合せ	(n＋r−1)Cr	同じ種類を複数選べる
名前のない同人数の組	分けた後に組数の階乗で割る	組同士の交換を同じとする

応用公式を選ぶ確認順

場合の数を確率へ使うときは、まず全体の場合の数と条件を満たす場合の数を同じ基準で数えます。確率の条件や分母の作り方まで進みたい人は、条件付き確率の公式と解き方も参考にしてください。場合の数の段階で標本の区別をそろえることが、確率計算の土台になります。

数学Aの全体像と学び方は、1Day鬼管理数学合宿とはで確認できます。数学のコースは1Day鬼管理数学合宿の公式ページをご覧ください。

場合の数は「普通の対策」では解けるようにならない

結論から言うと、公式を読んで例題の計算を追うだけの「普通の対策」では、場合の数を初見問題で解ける状態にするのは厳しいです。この記事だけでも、1通りの定義、排反、段階的な選択、順番、再使用、回転、裏返し、同じもの、組の区別、空組という判断がありました。数字を公式へ入れる前の分類を自分で行い、樹形図から式を作る行動が必要です。

鬼管理専門塾が示す従来塾の3つの限界は、①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い、というものです。場合の数でも、解説を理解した回数ではなく、条件を読み、書き出し、式を選び、誤りを直した回数が答案を変えます。代表的な学習方法を順に検討します。

独学・参考書のみでは判断の抜けを自分で見つける

参考書は公式と代表例を体系的に学ぶのに役立ちます。一方、PとCをなぜ選んだか、円順列で何を同じとしたか、組分けでどの重複を割ったかを説明できるかは、自分で点検しなければなりません。解説を読んだだけで問題演習へ移らなければ、限界①の「情報を得ても行動は変わらない」が残ります。

映像授業・学習アプリだけでは視聴と書き出しが離れる

映像授業や学習アプリは、樹形図の枝が増える様子や公式の導出を確認しやすい方法です。ただし、画面上の解説を理解したことと、自分の手で条件を分類し、途中式を作ることは別です。視聴後の書き出しと説明が利用者任せなら、ここでも限界①が残ります。

集団授業の大手予備校では誤答の型を個別に追いにくい

同じ不正解でも、ある人は0を先頭に置き、別の人はABとBAを重複させ、別の人は名前のない組を2回数えています。集団授業は同じ教材を同じ進度で扱うため、一人ひとりの数え方の癖に合わせて反復問題を選びにくく、限界②の「全員同じ指導」に当たりやすい方法です。

一般的な個別指導塾では授業外の分類練習が途切れやすい

個別に質問できても、授業がない日に類題を解き、条件の違いを説明しなければ、翌週にはPとCの判断が曖昧になります。誤答の原因を記録せず、次の指導日まで修正が止まる形では、限界③の「週1指導では変化が遅い」が残ります。

そこで、場合の数と確率の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。

1Day鬼管理数学合宿の特徴

1Day鬼管理数学合宿は、鬼管理専門塾が開くオンラインの合宿です。数学の1つの単元や志望校の範囲を、1日でやり切ります。授業を聞く日ではなく、紙に解いて答えを確かめる日です。塾生でなくても参加できます。合宿の全体像は、1Day鬼管理数学合宿とはで確かめられます。

塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴

合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。

鬼管理専門塾は、独自の「鬼管理」で受験生と伴走するオンライン塾です。ここでは、公式サイトで確認できる6つの特徴を、場合の数を含む受験数学の学習へどうつなげられるかとあわせて整理します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

場合の数では、樹形図を書く、基本公式を使う、条件付きの並べ方を解く、誤答を分類するという作業を日ごとの課題へ落とし込む必要があります。数値化した指示なら、公式を読むだけで終わらず演習へ進めます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

PとCで迷う人、0を含む整数で誤る人、組分けの重複を見落とす人では必要な練習が異なります。誤答の型から個別行動プランを設計すれば、理解済みの問題を減らし、弱点へ時間を使えます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

場合の数は一度正解しても、順番や再使用の条件が変わると式も変化します。毎日の進捗と毎週の確認テストで別条件でも解き方を説明できるかを確かめれば、暗記と再現のずれを早く修正できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

誤答を直すには、答えだけでなく、漏れ・重複・条件違反のどこで数え方が崩れたかを見抜く必要があります。講師が途中式を見て戻る地点を示せることは、誤った数え方を続けないために重要です。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

場合の数に必要な深さは、定期試験、高校受験、大学受験の目標や志望校の出題形式で異なります。目標に対応する専門コースの中で、基本の列挙から条件付きの応用へ必要な演習をつなげられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

樹形図や組分けの途中式で疑問が生じた日にLINEで質問できれば、間違った重複処理のまま次の問題へ進むのを防げます。案内窓口も含め、指導内容を事前に確認できる連絡手段が用意されています。

1日単位の学習管理と従来塾の3つの限界は、「鬼管理」とは？で確認できます。塾全体の進学結果は、鬼管理専門塾の合格実績に掲載されています。

まとめ｜場合の数は「区別する→分ける→数える」で解く

場合の数の基本は、何を1通りとするかを決め、互いに重ならない場合へ分け、各段階の候補を数えることです。和の法則は排反なグループを足し、積の法則は連続する選択をかけます。順列は順番を区別し、組合せは順番を区別しません。応用公式も、回転・裏返し・同じもの・再使用・組の交換をどう扱うかから導けます。

判断	自分への質問	使う考え方
場合を分ける	グループは重ならないか	和の法則
操作を続ける	各段階に何通りあるか	積の法則
順番を付ける	入れ替えると別の結果か	順列nPr
ただ選ぶ	入れ替えても同じ組か	組合せnCr
同じ候補を使う	選んだ後に候補が戻るか	重複順列・重複組合せ
同じ結果をまとめる	回転や交換を何回数えたか	重複分で割る
条件外を除く	反対側のほうが簡単か	全体から余事象を引く

まずは小さな数字で樹形図を書き、枝の数を和と積で説明してください。次に、同じ対象を使った「選ぶだけ」と「役割を付ける」を比べ、nCrとnPrの違いを言葉にします。その後、円順列や組分けで何を同じ結果とみなしたかを説明できれば、公式の丸暗記から離れて条件に合わせて式を作れます。

よくある質問

質問の種類	最初に確認すること
和か積か	場合を分けるのか、操作を続けるのか
PかCか	順番・役割・位置を区別するか
数え漏れ	樹形図や表に一定の順序があるか
応用公式	どの入れ替えを同じ結果とするか

Q. 場合の数とは何ですか？

A. ある事柄について、条件を満たす起こり方を数えた総数です。何を違う結果として区別するかを決め、漏れなく、同じ結果を重複して数えないように整理します。

Q. 和の法則と積の法則はどう見分けますか？

A. 互いに重ならない複数の場合からどれか1つが起こるなら和、最初の選択に続いて次の選択を行うなら積です。枝ごとに候補数が違うときは、各枝で積を求めてから足します。

Q. 順列Pと組合せCの違いは何ですか？

A. 選んだ対象の順番・役割・位置を入れ替えたときに別の結果になるなら順列P、同じ結果なら組合せCです。「選ぶ」という言葉だけで決めず、完成した結果を入れ替えて判定します。

Q. 0!が1になるのはなぜですか？

A. 0個を並べる方法を「何も置かない」という1通りと数えるためです。またnPn＝n!/(n−n)!をn!と一致させるには0!＝1が必要で、組合せの公式も端の値まで一貫します。

Q. nCr＝nC(n−r)になる理由は何ですか？

A. n個からr個を選ぶことと、選ばないn−r個を決めることが一対一に対応するからです。たとえば10人から8人を選ぶ結果は、選ばない2人を決めれば自動的に決まります。

Q. 樹形図は最後まで書く必要がありますか？

A. 規則が見えるところまでで構いません。候補数が各枝で同じと分かったら積の法則へ置き換え、枝の種類が複数あるなら種類ごとに数えて足します。途中まででも漏れと重複を確認できます。

Q. 「少なくとも」がある問題はどう数えますか？

A. 条件を満たす個数で場合を分ける方法と、全体から一度も満たさない場合を引く方法を比べます。反対の条件が1種類にまとまるなら、余事象を使うほうが短くなることが多いです。

Q. 円順列はなぜ(n−1)!になるのですか？

A. n!通りの直線上の並べ方では、同じ円形の並びを回転させたn通りを別々に数えているからです。n!をnで割ると(n−1)!になります。1人の位置を固定して残りを並べても同じです。

Q. 重複順列と重複組合せの違いは何ですか？

A. どちらも同じ種類を複数回選べますが、重複順列は選ぶ順番を区別してn^r、重複組合せは順番を区別せず(n＋r−1)Crで数えます。列を作るか、種類ごとの個数を決めるかで判断します。

Q. 場合の数の公式を忘れたらどうすればよいですか？

A. 小さい例を樹形図や表で書き、各段階の候補数を積で表します。次に、同じ結果を何回ずつ数えたかを調べ、その回数で割ります。この手順で順列・組合せ・円順列の公式を導き直せます。