Claude Code 
正弦定理と余弦定理の公式は覚えたのに、問題を見るとどちらを使うのか分かりません。辺が2本、角が1つと書かれていても、毎回同じ選び方ではないので混乱します。
定理名から選ぶのではなく、分かっている辺と角の「配置」で選べば迷いにくいよ。この記事では、正弦定理は対辺と対角の組、余弦定理は2辺とその間の角または3辺、という入口から、公式一覧、証明、例題、2つの定理を続けて使う手順まで整理しよう。
正弦定理と余弦定理は、どちらも三角形の辺と角を結ぶ公式です。ただし、式が必要とする情報の並び方が違います。「辺が何本、角が何個」と数えるだけでは足りず、その辺と角が向かい合うのか、2辺の間に角があるのかを図で確認することが使い分けの核心です。
この記事では、三角形ABCで角A・B・Cの向かいの辺をそれぞれa・b・cとする標準記号を使います。最初に判断フローで結論を示し、次に公式の意味、正弦定理と余弦定理の典型問題、両方を組み合わせる方法、間違いを減らす練習へ進みます。
向かい合う「辺と角」の組が1組分かるなら正弦定理、2辺とその間の角から残りの辺を出すなら余弦定理、3辺から角を出すなら余弦定理です。外接円の半径Rが出る問題も正弦定理を優先します。
目次
【結論】正弦定理と余弦定理は辺・角の配置で使い分ける
結論から言うと、正弦定理は「向かい合う辺と角の対応」を使う公式、余弦定理は「3辺と1角の関係」を使う公式です。正弦定理はaとAのような対辺・対角の組が分かっているときに、別の対辺・対角へ比をつなぎます。余弦定理はb・cとその間の角Aからaを求めるか、a・b・cの3辺から角Aを求めます。
| 分かっている情報 | 求めたいもの | 最初に選ぶ式 |
|---|---|---|
| 1辺とその対角、さらに別の角 | 別の辺 | 正弦定理 |
| 2辺と、そのうち一方の対角 | 別の角 | 正弦定理（候補の確認が必要） |
| 1辺とその対角 | 外接円の半径 | 正弦定理 |
| 2辺とその間の角 | 残りの辺 | 余弦定理 |
| 3辺 | いずれかの角 | 余弦定理 |
| 2辺とその間の角 | 面積 | S＝(1/2)bc sinA |
「2辺と1角」が与えられた問題は、角の位置によって選択が変わります。角が2辺にはさまれているSAS型なら余弦定理です。一方、分かっている角が一方の辺の向かいにあり、対辺・対角の組ができているSSA型なら正弦定理を検討します。個数が同じでも配置が違うため、問題文を読んだら必ず三角形へ書き込んでください。
角Aの向かいが辺a、角Bの向かいが辺b、角Cの向かいが辺cになっているかを指でたどります。正弦定理ではこの対応を崩さず、余弦定理では求める辺の向かいの角をcosに置きます。
「辺2本・角1つ」だけで決めず、その角が2辺の間なら余弦定理、対辺との組が見えたら正弦定理という順で図を見るんですね。
その通り。まずaとA、bとB、cとCを対応させよう。迷ったら公式を思い出す前に、図の情報を言葉で読み直すのが最短だ。
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三角形ABCでは、角Aの向かいの辺をa、角Bの向かいの辺をb、角Cの向かいの辺をcとします。大文字の角と同じ文字の小文字の辺が向かい合う、という約束です。図の向きが回転していても、この対応は変わりません。公式へ代入する前に、a↔A、b↔B、c↔Cを図へ書きます。
📚 用語解説
対辺と対角：角Aに対する辺aのように、三角形の中で向かい合う辺と角の組。正弦定理では組を崩さず比を作る。
正弦定理の公式
外接円の半径をRとすると、正弦定理はa/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2Rです。逆数の形でsinA/a＝sinB/b＝sinC/c＝1/(2R)と書いても同じ内容です。辺を求めたいときは辺が分子の形、角の正弦を求めたいときはsinが分子の形を選ぶと整理しやすくなります。
📚 用語解説
外接円：三角形の3頂点をすべて通る円。その半径をRとすると、正弦定理の共通値a/sinAなどは直径2Rに等しい。
余弦定理の公式
余弦定理は、求める辺を左辺に置くとa²＝b²＋c²−2bc cosA、b²＝c²＋a²−2ca cosB、c²＝a²＋b²−2ab cosCです。3本を別々に暗記する必要はありません。左辺の辺と同じ文字の角をcosに置き、残り2辺の積へ−2を掛けます。
📚 用語解説
はさむ角：2辺が作る角。辺bと辺cが分かっているとき、その間の角はAであり、向かいの辺はaになる。
3辺から角Aを求めるときは、余弦定理を変形してcosA＝(b²＋c²−a²)/(2bc)とします。角B・Cも同じ考えで、求める角の向かいの辺の二乗だけを分子で引きます。符号の位置を丸暗記するより、元の余弦定理から移項して作る方が安全です。
📚 用語解説
余弦定理：一般の三角形で3辺と1角を結ぶ定理。角が90°ならcos90°＝0となり、三平方の定理と同じ形になる。
正弦定理は外接円、余弦定理は三平方の定理へつながる
正弦定理のa/sinA＝2Rは、三角形の辺を外接円の弦として見ると理解できます。同じ弦に対する円周角と中心角の関係を使うと、辺aが直径2RとsinAの積で表されます。詳しい外接円との関係は、三角形の外接円の半径と正弦定理でも図と一緒に確認できます。
余弦定理は、三平方の定理を一般の角へ広げた式です。A＝90°ならcosA＝0なので、a²＝b²＋c²になります。Aが鋭角ならcosAは正でa²はb²＋c²より小さく、Aが鈍角ならcosAは負でa²はb²＋c²より大きくなります。この符号を見ると、最大角が鋭角・直角・鈍角のどれかも判断できます。
正弦定理はaとAを縦にそろえ、余弦定理は左辺のaとcosAを対応させれば、文字の置き間違いを減らせそうです。
いい整理だね。公式を文字列で覚えるのではなく、正弦定理は向かい合う組、余弦定理は求める辺と向かいの角、という図の意味と一緒に覚えよう。
正弦定理を使う場面｜対辺と対角・外接円から選ぶ
正弦定理を選ぶ合図は、aとAのような対辺・対角の組です。その1組が分かっていれば、別の角から辺を求めたり、別の辺から角の正弦を求めたりできます。また、公式の共通値が2Rなので、外接円の半径を求める問題や、半径から辺を求める問題でも正弦定理を使います。
📚 用語解説
正弦定理：辺a・b・cと対角A・B・Cの正弦、外接円半径Rをa/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2Rで結ぶ定理。
例題1｜1辺とその対角、別の角から辺を求める
三角形ABCでa＝4、A＝30°、B＝45°のとき、辺bを求めます。aとAが既知の組なので、a/sinA＝b/sinBを使います。4/(1/2)＝b/(√2/2)より、b＝4√2です。左側に既知の組、右側に求めたいbとその対角Bを置くと、対応が崩れません。
答えの大小も確認します。B＝45°はA＝30°より大きいため、その対辺bはaより長くなるはずです。4√2は4より大きく、図の大小関係と一致します。三角形では大きい角の向かいに長い辺があるため、計算後の検算に使えます。
例題2｜1辺とその対角から外接円の半径を求める
a＝6、A＝30°のとき、a/sinA＝2Rへ代入します。6/(1/2)＝2Rなので、2R＝12、R＝6です。半径を求めるときに2Rの2を落とさないよう、いったん直径2Rを出してから半分にします。
正弦定理の共通値は半径Rではなく直径2Rです。a＝2R sinAの形に直すと、辺は「直径×対角のsin」と読めます。
SSAでは角が2通りになる場合を確認する
2辺と、そのうち一方の対角が分かるSSA型では、正弦定理からsinBの値が出ても、Bが1つに決まるとは限りません。0°＜B＜180°では、sinB＝sin(180°−B)だからです。鋭角の候補Bと、鈍角の候補180°−Bの両方について、A＋B＜180°を満たすか確認します。
たとえばa＝6、A＝30°、b＝8なら、sinB＝b sinA/a＝2/3です。sinが2/3になる鋭角をB₁とすると、180°−B₁も同じsinをもちます。この例ではどちらもAとの和が180°未満になり得るため、2つの三角形を検討します。反対に、鈍角の候補を入れたときAとの和が180°以上なら、その候補は除きます。
角の範囲が指定されていないSSA型では、Bと180°−Bを確認します。さらに内角の和と「大きい辺の向かいに大きい角」という関係で、三角形が0個・1個・2個のどれになるかを判断してください。
正弦定理は便利ですが、a・b・Aだけのように情報がSSAの並びになると、三角形の合同条件ではありません。式が解けたことと、図形が一意に決まったことを区別する必要があります。一方、A・B・aのような2角と1辺が分かるASA/AAS型では、残りの角を内角和で出せば三角形は一意に決まり、正弦定理で残りの辺を求められます。
正弦定理でsinBが出ても、Bと180°−Bの両方を調べる場面があるんですね。式が1本解けただけで終わらないようにします。
その確認がSSAの要点だ。内角の和、大きい角と長い辺の対応、問題で指定された角の範囲まで見て、実際に作れる三角形だけを残そう。
余弦定理を使う場面｜2辺と間の角・3辺から選ぶ
余弦定理を選ぶ代表的な場面は2つです。1つ目は、2辺とその間の角が分かるSAS型から残りの辺を求める場面。2つ目は、3辺が分かるSSS型から角を求める場面です。どちらも三角形を一意に決める情報であり、正弦定理のSSA型のような角の二候補は生じません。
例題1｜2辺とその間の角から残りの辺を求める
b＝5、c＝7、A＝60°のとき、Aの向かいの辺aを求めます。a²＝b²＋c²−2bc cosAへ代入すると、a²＝25＋49−2×5×7×(1/2)＝39です。辺の長さは正なので、a＝√39となります。平方根を取るときに±を付けたまま答えないでください。
A＝60°は鋭角なのでcosAは正で、b²＋c²から正の量を引きます。したがってa²は74より小さくなるはずです。計算結果39はこの見通しと一致します。符号を先に予想すると、−2bc cosAのマイナスを落とす誤りに気付きやすくなります。
例題2｜3辺から角を求める
a＝3、b＝4、c＝5で、辺cの向かいの角Cを求めます。cosC＝(a²＋b²−c²)/(2ab)＝(9＋16−25)/(2×3×4)＝0です。0°＜C＜180°でcosC＝0となるのはC＝90°なので、この三角形は直角三角形です。
3辺から角を求めるときは、最大辺の向かいの角から調べると三角形の形を判断しやすくなります。最大辺をcとすれば、c²＜a²＋b²ならCは鋭角、等しければ直角、c²＞a²＋b²なら鈍角です。これは余弦定理とcosの符号を使った判定です。
直角三角形でも余弦定理は使える
余弦定理は鋭角三角形や鈍角三角形だけの公式ではありません。A＝90°ならcos90°＝0なので、a²＝b²＋c²となり、三平方の定理そのものになります。直角が分かっている問題では三平方の定理を使う方が短いことが多いものの、余弦定理を使っても正しい結果が得られます。
余弦定理の証明と、式を3通りに書き換える考え方を詳しく復習したい場合は、余弦定理の公式・証明・使い方も参照してください。座標上で1辺をx軸へ置くと、もう1辺の水平成分がcosとして現れ、三平方の定理を整理することで余弦定理を導けます。
0°より大きく180°より小さい角で、cosが負なら角は鈍角です。3辺から出したcosが−1以上1以下に入っているかを確認し、負なら鈍角として図と整合するかを見ます。
3辺が三角形を作れるかも確認する
3つの正の数が辺の長さになるには、最も長い辺が残り2辺の和より短い必要があります。たとえば2・3・6では2＋3＜6なので三角形を作れません。余弦定理へ機械的に代入するとcosが−1から1の範囲を外れるため、異常に気付けますが、先に三角形の成立条件を確認する方が確実です。
SASなら向かいの辺を左辺に置き、SSSなら公式を変形してcosを出す。同じ余弦定理を目的に合わせて使うんですね。
そうだね。計算前に角が鋭角か鈍角か、どの辺が最長かを予想しよう。答えの符号や辺の大小を図と照らすと、代入ミスをその場で見つけられる。
正弦定理と余弦定理を両方使う問題の解き方
三角形の辺と角をすべて求める問題では、正弦定理か余弦定理のどちらか1本で終わるとは限りません。最初の定理で新しい辺や角を1つ求め、その情報を使って次の定理へ進みます。大切なのは、最初から全てを同時に求めようとせず、未知数が1個になる式を選ぶことです。
SAS型は余弦定理から正弦定理へ進む
2辺b・cとその間の角Aが分かるSAS型では、まず余弦定理で辺aを求めます。するとaとAという対辺・対角の組が完成するため、次は正弦定理で角BまたはCを求められます。最後の角は内角の和A＋B＋C＝180°で出すと、同じ計算を繰り返さずに済みます。
ASA・AAS型は内角の和から正弦定理へ進む
2つの角と1辺が分かるASA/AAS型では、先に内角の和から残りの角を求めます。その後、分かっている辺と対角の組を基準に正弦定理を使い、残りの辺を順に出します。角が2つ分かる問題で余弦定理を使おうとすると、必要な辺が不足するため遠回りです。
SSS型は余弦定理で1角を出し、残りを決める
3辺が分かるSSS型では、まず余弦定理で最大辺の向かいの角を求めます。その後は、もう一度余弦定理を使う方法と、対辺・対角の組を使って正弦定理へ進む方法があります。角度の候補が出る場合は、既に求めた最大角との大小関係と内角の和で適切な方を選びます。
面積公式は2辺とその間の角が直接分かるときに使う
面積Sを求めるだけなら、b・c・Aが分かるときS＝(1/2)bc sinAを使います。これは底辺c、高さb sinAとしてS＝底辺×高さ÷2へ代入した式です。面積のために余弦定理でaを出してからヘロンの公式へ進む必要はありません。求めたい量に最短で届く式を選びます。
たとえばb＝6、c＝8、A＝30°なら、S＝(1/2)×6×8×(1/2)＝12です。角Aが鈍角でも、0°＜A＜180°ではsinAが正なので、同じ面積公式を使えます。面積は正の量であることも、計算後の確認になります。
| 最初の情報 | 1手目 | 2手目 |
|---|---|---|
| SAS：2辺と間の角 | 余弦定理で第3辺 | 正弦定理または余弦定理で1角→内角の和で最後の角 |
| ASA/AAS：2角と1辺 | 内角の和で第3角 | 正弦定理で残りの辺 |
| SSS：3辺 | 余弦定理で1角 | 余弦定理または正弦定理 |
| 1辺・対角・外接円 | 正弦定理 | 内角の和や別の条件 |
| 2辺と間の角・面積 | 面積公式 | 追加情報がなければ終了 |
最初の定理で情報を1つ増やすと、対辺と対角の組ができたり、内角の和が使えたりして、次の式へ進めるんですね。
その発想が大切だ。一度に全部を求めず、未知数1個の式を1本ずつ解こう。各手順のあとに図へ書き戻せば、次に使える関係が見える。
正弦定理・余弦定理でよくある間違いと練習法
間違いをすべて「計算ミス」で片付けると、次の問題でも同じ誤りを繰り返します。正弦定理と余弦定理では、図の対応、公式の選択、式の計算、答えの検算を分けて記録してください。どの段階で止まったかが分かれば、必要な練習を絞れます。
| よくある間違い | 原因 | 直し方 |
|---|---|---|
| aとsinBを組にする | 対辺・対角の不一致 | a↔A、b↔B、c↔Cを先に書く |
| 2辺と1角なら常に余弦定理 | 角の位置を見ていない | 間の角か、対角かを確認 |
| −2bc cosAの符号を落とす | 角の種類を予想していない | cosの正負を先に判断 |
| a²からa＝±√…とする | 辺の長さを忘れている | 長さは正の解だけを採用 |
| sinBから角を1つだけ出す | SSAの二候補を未確認 | Bと180°−B、内角和を確認 |
| 外接円半径を2Rのまま答える | 直径と半径の混同 | 最後にRへ戻す |
間違い1｜対辺と対角の組を崩す
正弦定理で最も多いのは、a/sinBのように辺と角を交差させる誤りです。図が横向きでも逆さでも、角Aの正面にある辺だけがaです。問題を解く前に、各頂点から向かいの辺へ矢印を引いて対応を確定させてください。
間違い2｜「2辺と1角」だけで余弦定理を選ぶ
余弦定理で第3辺を出すには、分かっている角が2辺の間に必要です。角が一方の辺の向かいにあるSSA型なら、既知の対辺・対角の組から正弦定理を使える可能性があります。「個数」ではなく「配置」を声に出して説明してから式を書きます。
間違い3｜角の候補と符号を確認しない
sinは補角で同じ値になるため、SSA型では角が2候補になることがあります。一方、cosは0°から180°の範囲で角が大きくなるにつれて1から−1へ変化するため、cosの値から角は1つに決まります。正弦定理で角を出したのか、余弦定理でcosを出したのかによって確認事項を変えてください。
白紙再現と短い例題で使い分けを定着させる
最初に白紙へ三角形ABCを描き、a↔A、b↔B、c↔C、正弦定理、余弦定理を何も見ずに書きます。次に、数値計算より前に「正弦定理」「余弦定理」「面積公式」「まだ使えない」の4択だけを答える短い問題を解きます。選択理由を言葉にできてから計算へ進みます。
オリジナル確認問題
問題1：a＝5、A＝30°、B＝60°のとき、最初に使う定理と辺bを答えてください。
問題2：b＝4、c＝6、A＝120°のとき、辺a²を求めてください。
問題3：a＝5、b＝5、c＝6のとき、角Cを求める最初の式を書いてください。
問題4：a＝4、A＝30°のとき、外接円半径Rを求めてください。
問題5：b＝7、c＝10、A＝30°のとき、面積Sを求めてください。
確認問題の解答
問題1：対辺aと対角Aの組があるので正弦定理です。5/sin30°＝b/sin60°よりb＝5√3です。
問題2：余弦定理よりa²＝16＋36−48cos120°＝76です。
問題3：cosC＝(a²＋b²−c²)/(2ab)と置きます。
問題4：4/sin30°＝2Rより、R＝4です。
問題5：S＝(1/2)×7×10×sin30°＝35/2です。
三角比そのものの値やsin・cosの符号で迷う場合は、先にsin・cos・tanの求め方と覚え方へ戻ってください。定理の使い分けは、三角比の値を作れることを前提に進むため、代表角と鈍角の符号を復習してから例題を解き直す方が効率的です。
答えを写すだけでなく、対応・選択・計算・検算のどこで間違えたかを分ければ、次に解く問題を選びやすくなります。
その通り。まず公式を使う前の判断だけを反復し、その後で計算を付けよう。選択理由まで白紙で説明できれば、初めて見る図でも迷いにくくなる。
正弦定理と余弦定理は「普通の対策」では使い分けられない
正弦定理と余弦定理は「普通の対策」で公式を一度覚えるだけでは、問題ごとに使い分けられません。同じ2辺と1角でも、間の角なら余弦定理、対角なら正弦定理と入口が変わります。さらにSSAの角の二候補、cosの符号、外接円の2Rまで確認するには、図へ書く、式を選ぶ、解く、検算するという行動を繰り返す必要があります。
独学・参考書だけでは「読める」と「選べる」を区別しにくい
参考書は公式と例題を自分の順番で確認できますが、解説を読んで理解したことと、白紙の図から自力で定理を選べることは別です。限界①の「情報を得ても行動は変わらない」が残り、公式を閉じて判断問題を解くところまで進まなければ、配置が変わった問題で再び止まります。
映像授業・アプリだけでは式を立てる反復が不足しやすい
映像で証明や図の動きを見ると理解は進みますが、視聴後に自分でa↔Aの対応を書き、未知数1個の式を立てなければ再現性は確かめられません。選択式のアプリだけでは途中式を作る練習が不足することもあり、ここでも限界①の「情報を得ても行動は変わらない」が残ります。
大手予備校の集団授業では誤答原因ごとの練習を合わせにくい
同じ不正解でも、対辺の対応で迷う人、SASとSSAを見分けられない人、sinの二候補を忘れる人では必要な演習が違います。全員が同じ説明と進度で進むと、限界②の「全員同じ指導は偏差値50に収束する」が残り、自分の判断ミスだけを連続して修正しにくくなります。
一般的な個別指導塾では授業外の解き直しが途切れやすい
授業中に1問を解けても、別の日に数値や図の向きを変えた問題を解かなければ、使い分けは定着したか分かりません。週単位の授業だけに頼ると、限界③の「週1指導では変化が遅い」が残り、次の指導まで同じ誤りを持ち越しやすくなります。
公式を聞くだけでなく、紙に図と式を書き、テストで使い分けられるか確かめるところまで進む必要があります。
そうだよ。1Day鬼管理数学合宿は授業を聞く日ではなく、数学の単元や志望校の範囲をやり切る日だ。正弦定理と余弦定理も、判断から計算、確認まで手を動かして仕上げよう。
そこで、正弦定理・余弦定理を含む図形と計量の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。
1Day鬼管理数学合宿の特徴
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学校で習っている単元や苦手な単元を選び、その日のうちに解き切る
例題は答えの数字を入れると、すぐに○×と解き方が出る
例題と数字を変えた問題を選択肢なしで解き、すぐに点数と解き方が出る
カメラで手元を映し、監督官がGoogle Meetで見守る
宿題編（答えと解き方つき）を解き、同じ型で数字を変えた問題で確かめる
正弦定理・余弦定理に近いコース
数学Ⅰ「図形と計量」
三角比・正弦定理・余弦定理・面積・空間図形への応用を、1日でやり切る単元のコースです。
塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴
合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。
鬼管理専門塾は、日々の受験勉強を1日単位で管理するオンライン塾です。公式サイトで確認できる6つの特徴を、正弦定理・余弦定理を含む数学学習の課題へつなげて説明します。
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鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。
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日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。
定理は一度正解しても、数値や図の向きが変わると選択を誤ることがあります。毎日の進捗と毎週の確認テストで、別の配置でも式を選べるかを確かめれば、理解と再現のずれを修正できます。
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そうだよ。日々の受験勉強を管理する仕組みが必要なら、6つの特徴を自分の課題と照らして確認しよう。正弦定理と余弦定理も、理解した後に再現と演習を続けることが大切だ。
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まとめ｜対辺の組・間の角・3辺を見て定理を選ぶ
正弦定理と余弦定理の使い分けは、公式の形よりも情報の配置で決まります。aとAのような対辺・対角の組が分かれば正弦定理、2辺とその間の角から第3辺を出すなら余弦定理、3辺から角を出すなら余弦定理です。外接円の半径が関わる場合は、2Rを含む正弦定理を検討します。
最初の復習では、数値計算を始める前に「なぜこの定理を選ぶか」を一文で書いてください。次に公式へ代入し、得られた辺や角を図へ書き戻します。正弦定理と余弦定理を別々に暗記するのではなく、1つの三角形の情報を順に増やす道具としてつなげると、複合問題でも手順を作れます。
まとまった演習で数学の単元を仕上げたい場合は、1Day鬼管理数学合宿の公式ページで対象コースを確認できます。正弦定理・余弦定理の学習では、公式を見ないで配置を判断し、数値を変えた問題でも最後まで解ける状態を目標にしてください。
対辺・対角の組なら正弦定理、間の角や3辺なら余弦定理。最後は内角の和と辺の大小で答えを確かめます。
その順序を白紙で再現できれば十分だ。まず今日、三角形を数枚描き、定理を選ぶ理由だけを答える練習から始めよう。
よくある質問
| 質問の種類 | 最初に見ること |
|---|---|
| 定理の選択 | 対辺・対角の組、2辺の間の角、3辺 |
| 正弦定理 | a↔Aの対応と外接円2R |
| 余弦定理 | 求める辺と向かいの角 |
| 角の候補 | SSAかSSSか、内角の和 |
| 複合問題 | 未知数1個で使える最初の式 |
Q. 正弦定理と余弦定理はどう使い分けますか？
A. 向かい合う辺と角の組が分かっている、または外接円半径が関わるなら正弦定理を検討します。2辺とその間の角から第3辺を求めるとき、または3辺から角を求めるときは余弦定理を使います。
Q. 2辺と1角が分かるときは必ず余弦定理ですか？
A. 必ずではありません。角が2辺の間にあるSAS型なら余弦定理です。角が一方の辺の対角で、対辺・対角の既知の組があるSSA型なら正弦定理を使える場合があります。
Q. 正弦定理の公式はどの形で覚えればよいですか？
A. a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2Rを基本にします。角の正弦を求めるときは、逆数のsinA/a＝sinB/b＝sinC/c＝1/(2R)へ直しても構いません。
Q. 余弦定理の3つの式を全部覚える必要がありますか？
A. 別々に暗記する必要はありません。求める辺を左辺へ置き、その向かいの角をcosにします。aを求めるならa²＝b²＋c²−2bc cosAです。文字を巡回させれば他の式も作れます。
Q. 正弦定理で角が2つ出るのはなぜですか？
A. 0°から180°ではsinB＝sin(180°−B)だからです。SSA型では鋭角と鈍角の候補について、内角の和が180°未満になるか、大きい辺と大きい角の関係に合うかを確認します。
Q. 余弦定理でcosがマイナスになってもよいですか？
A. 問題ありません。三角形の内角は0°より大きく180°より小さく、その範囲でcosが負なら角は鈍角です。−1以上1以下に入り、図の最大辺と最大角の関係に合うかを確認してください。
Q. 直角三角形でも余弦定理を使えますか？
A. 使えます。角A＝90°ならcosA＝0なので、余弦定理a²＝b²＋c²−2bc cosAはa²＝b²＋c²となり、三平方の定理と一致します。
Q. 3辺が分かっているのに角を求められないことはありますか？
A. 3辺が三角形の成立条件を満たさなければ求められません。最大辺が残り2辺の和より短いことを確認します。成立する三角形なら、余弦定理で各角を求められます。
Q. 正弦定理と余弦定理を両方使う順番は？
A. SAS型なら余弦定理で第3辺を出し、完成した対辺・対角の組から正弦定理へ進みます。ASA/AAS型なら内角の和で第3角を出してから正弦定理を使います。
Q. 1Day鬼管理数学合宿では図形と計量を学べますか？
A. 数学Iには図形と計量の分野があります。開催日ごとに選べる分野が異なるため、対象コースなど、くわしくは公式ページで確認してください。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映