点と直線の距離の公式の覚え方｜証明・使い方・練習問題まで図解

点と直線の距離の公式を、分子と分母の形だけで丸暗記していませんか。テスト中に「絶対値はどこに付けるのか」「分母に定数項Cも入れるのか」「直線がy=mx+nの形ならどうするのか」と迷うなら、覚える対象が式だけになっている可能性があります。公式は、点を直線の式へ代入して得るズレを、直線の係数で長さに直す式です。この意味までつなげれば、忘れても自力で復元でき、平行線や円の接線、最短距離の問題にも応用できます。

文部科学省の「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」では、数学IIの「図形と方程式」において、直線や円を方程式で表し、位置関係や点と直線の距離を考察する学習が示されています。この記事も、単なる暗記ではなく、図形と式を往復しながら理解する順序で解説します。

点と直線の距離の公式と「距離」の意味

点P(x₀, y₀)と直線ℓ: Ax+By+C=0の距離dは、次の式で求めます。ただし、AとBが同時に0になることはありません。A=B=0ではxとyを含まないため、そもそも直線を表さないからです。

分子S=Ax₀+By₀+Cは、点Pを直線の式へ代入したときの「式の上でのズレ」です。S=0ならPは直線上にあり、距離も0です。Sが正か負かは、Pが直線のどちら側にあるかを区別します。しかし距離は負にならないため、最後に絶対値を付けます。分母√(A²+B²)は、そのズレを座標平面上の実際の長さへ直すための補正です。

公式の部分	計算するもの	図形上の意味
Ax₀+By₀+C	点の座標を左辺へ代入	直線のどちら側にどれだけずれたか
|　|	代入値を非負にする	向きを捨て、長さだけを取り出す
√(A²+B²)	x・yの係数を正規化	式の倍率を消して実際の距離に直す

点と直線の距離の公式の覚え方｜一文で再現する

おすすめの覚え方は、記号列を唱えることではなく、計算の順序を一文にすることです。次の一文を、公式の意味とセットで覚えてください。

語呂より「分子と分母の役割」を対にする

分子は点に関する計算、分母は直線に関する計算です。分子にはx₀とy₀が登場し、分母には直線の向きを決めるAとBだけが登場します。この対比を意識すると、Cを分母へ入れる誤りや、点の座標を分母へ入れる誤りを防げます。絶対値は「距離だから非負」、平方根は「AとBを成分にもつベクトルの長さ」と理由付けします。

符号は代入するまで変えない

公式を使う前に、直線を標準形へ直した時点の符号をそのままメモします。たとえばy=2x−3なら、2x−y−3=0なのでA=2、B=−1、C=−3です。「移項したからCだけ反対」などと途中で再解釈せず、完成した左辺をひとかたまりとして点を代入します。分子全体を括弧で囲み、その外に絶対値を書くと安全です。

公式を30秒で復元するチェック

公式を法線ベクトルで証明する

公式の最短の証明は、直線に垂直な向きを表す法線ベクトルを使う方法です。直線ℓ: Ax+By+C=0に対し、ベクトルn=(A,B)は直線に垂直です。直線上の2点の差ベクトル(u,v)はAu+Bv=0を満たすため、(A,B)との内積が0になります。したがって、nは直線の法線方向です。

ステップ1：直線上に点Qを一つ取る

直線ℓ上の任意の点をQ(q₁,q₂)とします。Qは直線上なのでAq₁+Bq₂+C=0です。点PからQへ向かうベクトルをQP=(x₀−q₁, y₀−q₂)とすると、QPには直線に平行な成分と垂直な成分が混ざっています。このうち垂直な成分の長さだけを取り出せば、点Pと直線ℓの距離になります。

ステップ2：単位法線ベクトルへ射影する

法線ベクトルn=(A,B)を長さ1にした単位法線ベクトルはn/|n|=(A,B)/√(A²+B²)です。QPをこの向きへ射影した符号付きの長さは、内積を使って{A(x₀−q₁)+B(y₀−q₂)}/√(A²+B²)と書けます。

ステップ3：Qが直線上である条件を使う

分子を整理するとAx₀+By₀−(Aq₁+Bq₂)です。QについてAq₁+Bq₂=−Cなので、分子はAx₀+By₀+Cになります。向きによって正負が変わるため絶対値を取り、d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)が得られます。Qをどこに取っても同じ結果になるため、これは直線全体までの距離です。

垂線の足の座標から公式を証明する

ベクトルの射影がまだ不慣れなら、点Pから直線へ下ろした垂線の足Hを具体的に求める方法でも証明できます。この証明は少し計算が長い一方、距離だけでなく垂線の足の座標まで同時に得られるため、対称点や円の問題にもつながります。

S=Ax₀+By₀+C、N=A²+B²と置きます。Pから法線方向(A,B)へ動けば直線へ到達するので、HをH=(x₀−At, y₀−Bt)と表します。Hが直線上にある条件を代入すると、A(x₀−At)+B(y₀−Bt)+C=0、すなわちS−Nt=0です。よってt=S/Nとなります。

したがって、ベクトルPHは(−AS/N, −BS/N)です。その長さは√{(AS/N)²+(BS/N)²}=√{S²(A²+B²)/N²}=|S|/√Nとなります。SとNを元へ戻せば、d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)が得られます。絶対値は√(S²)=|S|からも自然に現れます。

例：点P(3,1)から2x−y−1=0へ下ろす

この場合S=2・3−1−1=4、N=2²+(−1)²=5です。垂線の足はH=(3−2・4/5, 1−(−1)・4/5)=(7/5,9/5)です。確かに2・(7/5)−9/5−1=0なのでHは直線上です。PHの長さは|4|/√5=4/√5=4√5/5となり、距離の公式へ直接代入した結果と一致します。

公式の使い方を3ステップで確認する

公式を使う問題では、いきなりA、B、Cへ数字を入れないことが大切です。「直線を標準形へ直す」「係数と点を対応させる」「分子と分母を別々に計算する」の3段階に分けると、符号ミスを見つけやすくなります。

基本例1：標準形の直線

点P(2,−1)と直線3x−4y+5=0の距離を求めます。A=3、B=−4、C=5です。分子は|3・2+(−4)・(−1)+5|=|6+4+5|=15、分母は√{3²+(−4)²}=√25=5です。したがって距離は15/5=3です。負数どうしの積が正になる箇所を、括弧で処理するのがポイントです。

基本例2：y=mx+nの直線

点P(4,3)と直線y=2x+1の距離を求めます。まず2x−y+1=0と直します。A=2、B=−1、C=1なので、分子は|2・4−3+1|=6、分母は√(2²+(−1)²)=√5です。距離は6/√5=6√5/5です。y=2x+1のまま、A=2、B=1と読み取らないようにしてください。

基本例3：点が直線上にある場合

点P(1,2)と直線2x+y−4=0では、分子が|2・1+2−4|=0になります。よって距離は0です。これはPが直線上にあることを意味します。代入値0は計算失敗ではありません。図形上の位置と一致しているかを必ず確認しましょう。

よくある間違いと最短の見直し方

点と直線の距離は、公式を知っていても小さな符号ミスで失点しやすいテーマです。見直しでは計算を最初からやり直すより、「標準形」「分子」「絶対値」「分母」「答えの妥当性」の5地点を順番に点検すると効率的です。

• 移項ミス: 係数全体が崩れる

よくある誤り	誤った処理	正しい見直し
標準形にしない	y=2x+1からA=2、B=1と読む	2x−y+1=0にしてB=−1
絶対値の範囲が狭い	|Ax₀|+By₀+Cとする	Ax₀+By₀+C全体を絶対値で囲む
Cを分母に入れる	√(A²+B²+C²)とする	Cは位置、A・Bは法線方向と区別
負の係数を負のまま二乗	(−4)²=−16とする	括弧を付けて(−4)²=16
式の係数倍で答えが変わる	約分前後で別の距離になる	分子・分母を同じ式から作る

検算1：直線の式を何倍しても同じ答えか

直線x−2y+3=0と2x−4y+6=0は同じ直線です。後者では分子が前者の2倍、分母も√{2²+(−4)²}=2√{1²+(−2)²}となって2倍なので、比は変わりません。答えが変わったら、分子だけを係数倍した、または分母のCを混ぜた可能性があります。

検算2：点を直線へ代入して0なら距離も0か

点が直線上にあるとき、分子は必ず0になります。簡単な点を自分で一つ選び、公式へ入れて0になるかを試すと、覚えた公式の符号や定数項を確認できます。たとえば直線x+y−3=0上の点(1,2)を代入すれば、|1+2−3|/√2=0です。

検算3：距離の大きさを図で見積もる

直線が座標軸に近く、点の位置も簡単なら、垂線の長さを概算できます。たとえばx=5と点(2,100)の距離は、y座標に関係なく3です。標準形x−5=0へ公式を使っても|2−5|/1=3になります。この例で100を分母や分子の余計な場所へ入れていたら、定義へ戻ることで気付けます。

平行線・円・最短距離への応用

点と直線の距離の公式は、単独の計算問題だけでなく、平行な2直線の距離、円と直線の位置関係、曲線上の点と直線の最短距離、領域の表現へ広がります。共通する考え方は「動く点を直線の左辺へ代入し、その絶対値を最小化または半径と比較する」ことです。

平行な2直線の距離

平行な2直線Ax+By+C₁=0とAx+By+C₂=0の距離は、|C₁−C₂|/√(A²+B²)です。片方の直線上に点を取り、その点ともう片方の直線の距離を求めれば導けます。ただしAとBの係数を両方の直線でそろえてからCだけを比べます。たとえば2x−y+4=0と2x−y−6=0の距離は|4−(−6)|/√5=10/√5=2√5です。

円と直線の位置関係

中心O(a,b)、半径rの円と直線Ax+By+C=0を考えます。中心Oから直線までの距離dを公式で求め、d>rなら共有点なし、d=rなら接する、d<rなら2点で交わります。たとえば中心(1,−2)、半径3の円と直線4x+3y+17=0では、d=|4−6+17|/5=3なので接します。接線の条件は「中心と直線の距離=半径」です。

曲線上の点と直線の最短距離

曲線上の点を媒介変数tでP(t,f(t))と置き、距離をtの式にします。分母が定数なら、分子の絶対値を最小にすればよいと分かります。たとえば放物線y=x²上の点P(t,t²)と直線2x−y−3=0の距離は、|2t−t²−3|/√5です。2t−t²−3=−{(t−1)²+2}は常に負なので、分子は(t−1)²+2。t=1で最小2となり、最短距離は2/√5です。絶対値の中の符号を確認してから平方完成するのが要点です。

直線で区切られた領域

|Ax+By+C|/√(A²+B²)≤rは、直線Ax+By+C=0から距離r以内にある点の集合を表します。これは元の直線と平行な2直線にはさまれた帯状の領域です。絶対値を外すと−r√(A²+B²)≤Ax+By+C≤r√(A²+B²)となり、境界線も求められます。公式を「点から距離を出す道具」だけでなく「一定距離にある点の集合を表す道具」と見ると、軌跡・領域問題への接続が明確になります。

練習問題8題｜基本から最短距離まで

ここからは、標準形への変形、絶対値を含む方程式、平行線、円、媒介変数の順に練習します。各問題は、答えを見る前に「標準形」「分子」「分母」の3行を必ず書いてください。暗算で正解することより、再現できる手順を作ることを優先します。

問題1：そのまま代入する

点P(1,2)と直線3x+4y−5=0の距離を求めてください。
解答：分子は|3・1+4・2−5|=6、分母は√(3²+4²)=5なので、距離は6/5です。

問題2：点が直線上か確かめる

点P(−2,3)と直線y=−x+1の距離を求めてください。
解答：標準形はx+y−1=0です。分子は|−2+3−1|=0なので、距離は0です。点Pは直線上にあります。

問題3：分数係数を整理する

点P(2,1)と直線y=(1/2)x+3の距離を求めてください。
解答：まずx−2y+6=0と整数係数の標準形へ直します。分子は|2−2+6|=6、分母は√5なので、距離は6/√5=6√5/5です。2倍する前の形を使っても同じ結果になります。

問題4：座標に文字がある

点P(a,2)と直線2x−y+3=0の距離が√5であるとき、aを求めてください。
解答：|2a−2+3|/√5=√5より|2a+1|=5です。2a+1=5または2a+1=−5なので、a=2またはa=−3です。絶対値方程式では正負の2通りを分けます。

問題5：平行線の距離

直線2x−y+4=0と2x−y−6=0の距離を求めてください。
解答：x、yの係数はそろっています。よって|4−(−6)|/√(2²+(−1)²)=10/√5=2√5です。定数項の差を取るとき、−6を括弧に入れます。

問題6：円の接線を判定する

中心O(1,−2)、半径3の円と直線4x+3y+17=0の位置関係を答えてください。
解答：中心から直線までの距離は|4−6+17|/5=3です。半径も3なので、直線は円に接します。距離だけで終わらず、半径との大小を結論まで書きます。

問題7：放物線との最短距離

放物線y=x²上の点と直線2x−y−3=0の最短距離を求めてください。
解答：放物線上の点をP(t,t²)と置くと、距離は|2t−t²−3|/√5={(t−1)²+2}/√5です。t=1で最小となるため、最短距離は2/√5です。

問題8：絶対値の中が0になれるか調べる

放物線y=x²上の点と直線x+y−2=0の最短距離を求めてください。
解答：P(t,t²)と置くと距離は|t²+t−2|/√2=|(t+2)(t−1)|/√2です。t=1またはt=−2で分子が0になるため、放物線と直線は交わり、最短距離は0です。平方完成へ進む前に、絶対値の中が0になれるかを確認することが重要です。

さらに入試問題での使われ方を確認したい人は、点と直線の距離の公式を証明から理解し、阪大2013年問題まで扱った解説も参照してください。本記事の8題で計算手順を固めてから進むと、問題文の中で公式を見抜く練習になります。

公式を忘れない復習法と答案の作り方

一度理解しても、使わなければ公式は薄れます。定着の目標は、式を見て思い出すことではなく、白紙から公式を書き、各部分の意味を説明し、基本問題を時間内に解けることです。復習では同じ問題を眺め直すだけでなく、間隔を空けて「何も見ずに再現する」回を作ります。

1回目：公式を隠して基本3題を解く

標準形の問題、y=mx+nから直す問題、点が直線上にある問題を1題ずつ選びます。解答を見る前に、「点を左辺へ入れて絶対値、AとBだけ二乗和のルート」と声に出すかノートへ書きます。正解しても、途中式がなく偶然合った場合は未完成として、分子と分母を分けて解き直します。

2回目：翌日に証明の骨組みを3行で書く

法線ベクトルの証明なら、①(A,B)が法線、②QPを単位法線へ射影、③Qが直線上の条件でCを出す、の3行を書きます。垂線の足の証明なら、①H=P−t(A,B)、②Hを直線へ代入してtを決定、③PHの長さを計算、の3行です。細部を忘れていても、骨組みが書ければ式を復元できます。

3回目：一週間後に応用2題で判定する

平行線・円・動点から2題を選び、どの点とどの直線の距離を測るのかを日本語で宣言してから解きます。正解したかだけでなく、標準形への変形、絶対値の処理、結論の言葉まで点検します。間違えた問題には、「移項」「代入」「絶対値」「分母」「最小化」のどこで崩れたかを一語で記録します。

到達段階	できること	次の課題
暗記	公式を見れば代入できる	白紙から公式を書く
理解	分子・分母・絶対値の意味を説明できる	証明の骨組みを再現する
運用	標準形や円の問題へ使える	動点の最短距離へ進む
定着	一週間後も検算付きで解ける	過去問で公式を見抜く

数学の公式定着は「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式集を読む、映像授業を視聴する、週1回だけ質問するという「普通の対策」だけで、点と直線の距離を入試で使える状態まで定着させるのは厳しいと言わざるを得ません。公式を一度理解することと、一週間後に白紙から再現し、別の問題の中で見抜いて使うことは別だからです。

この記事でも、公式の運用には標準形への変形、代入、絶対値、法線の長さ、位置関係の判断、動点の最小化という複数の工程があることを確認しました。問題1題の正解だけでは、どの工程が不安定かは分かりません。誤答原因を分解し、翌日と一週間後に別形式で再テストし、できなければ課題を修正する管理が必要です。

ここからは、鬼管理専門塾が示す「成績が上がらない塾・予備校の3つの限界」——①情報を得るだけでは行動は変わらない、②全員と同じ指導では偏差値は50に収束する、③週1回の指導では変化が遅すぎる——を、数学の公式定着という課題へ当てはめて、選択肢を一つずつ検討します。

選択肢①：独学・参考書だけでは①②の限界が残る

参考書を読めば、公式と解説という情報は得られます。しかし、読んだ翌日に白紙再現をしたか、一週間後に応用問題で再テストしたかまでは、参考書が管理してくれません。理解したつもりでも行動が変わらなければ、①「情報を得るだけでは行動は変わらない」という限界に当たります。

また、多くの受験生と同じ順番・同じ問題数をこなすだけでは、自分固有の移項ミスや絶対値忘れへ課題を集中できません。全員と同じ教材を同じように進めるだけなら、②「全員と同じ指導では偏差値50に収束する」という限界も残ります。

選択肢②：映像授業・アプリでは①の限界が残る

法線ベクトルの証明を分かりやすい映像で見ても、自分の手で証明の骨組みを書けるとは限りません。視聴完了や正解表示は、翌日の再現性を保証しないため、①の限界が典型的に表れます。

アプリで大量の問題を解いても、移項ミスなのか公式選択のミスなのかを分類せず、次の課題量へ反映しなければ、同じ誤りを繰り返します。情報と演習機会があっても、毎日の行動修正までつながらない点が不足です。

選択肢③：集団授業の大手予備校では②の限界が残る

集団授業では、同じ時間に同じ解説を受けます。しかし、ある生徒は標準形への移項で止まり、別の生徒は動点の最小化で止まります。一律の宿題では、各自の失点原因へ必要な量を配分しにくく、②の限界が残ります。

点と直線の距離をすでに使える生徒と、分母にCを入れてしまう生徒へ同じ10題を課しても、学習効率は同じではありません。前者には応用、後者には基本の再現という個別の行動設計が必要です。

選択肢④：一般的な個別指導塾では③の限界が残る

個別指導でその場の疑問を解決できても、次の授業までの数日間に何を何題、いつ復習するかが本人任せなら、③「週1回の指導では変化が遅すぎる」という限界が残ります。公式は忘れてから戻るのではなく、忘れかける時期に再現テストを置く必要があります。

授業日に分かったことを、翌日・数日後・一週間後の行動へ細かく落とし込み、結果を見てすぐ修正しなければ、入試範囲全体の穴を期限までに埋め切れません。週1回の説明だけでなく、授業外の日の実行管理が必要です。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業、一般的な個別指導を順に検討すると、いずれも3つの限界のどれかが残ります。数学の公式を「理解した」から「入試で再現できる」へ変えるには、個別の失点原因に合わせて1日単位の課題を設計し、毎日・毎週の確認で修正する仕組みが必要です。だから、消去法で最後に残るのは鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、情報を受け取るだけで終わらせず、生徒ごとの課題を毎日の行動へ変え、確認テストで修正する仕組みを持っています。ここではREADMEで確定している6つの特徴だけを、点と直線の距離を含む数学の公式定着へどうつながるかとあわせて説明します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を復習する」のような曖昧な予定ではなく、「例題3題を解き、誤答2題を白紙から再現する」というように、毎朝その日の学習内容を数値化して指示します。時間・場所・教材・目的まで5W1Hで定義し、達成度を数値で確認します（出典：鬼管理専門塾公式「鬼管理」とは）。

点と直線の距離なら、公式を読むだけでなく、標準形3題、円の位置関係2題、証明の骨組み1回という行動へ分解できます。何をすればよいか迷う時間を減らし、公式を使う回数と復習の間隔を確保できます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

鬼管理専門塾では、生徒ごとの得意・不得意、現在の得点、志望校の出題や配点を踏まえ、専属講師が個別の行動プランを設計します。全員へ同じ課題を渡すのではなく、結果をもとに実行内容を変える方式です（出典：同公式ページ）。

移項で間違える生徒には標準形の変形を増やし、基本計算はできる生徒には円や動点の問題を増やせます。自分の失点原因へ時間を集中することで、既にできる問題の惰性的な反復を減らせます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

1日単位の進捗を確認するだけでなく、1週間単位で確認テストを行い、「頑張ったつもり」ではなく結果で定着を判定します。合格ラインを下回れば追加課題を出し、計画の遅れや理解不足をその週のうちに修正します（出典：同公式ページ）。

公式を当日に覚えても、一週間後に再現できなければ入試では使えません。点と直線の距離を別形式の問題で再テストし、絶対値や最小化で崩れた場合は、翌週の課題へすぐ戻すことができます。

❹ 採用率0.6%の専属講師

鬼管理専門塾の講師は、難関大学への合格経験を持ち、独自の審査を通過した人材から採用されます。採用率は0.6%で、専属科目に特化して指導します。指導の質は、入会生への講師満足度アンケート1,524件でも継続的に検証されています（出典：公式「講師紹介」「講師満足度アンケート」）。

数学では、答えが合うだけでなく、証明の論理や途中式のどこに飛躍があるかを見る必要があります。公式を丸暗記しているのか、法線と距離の意味まで理解しているのかを答案から判断し、必要な復習へつなげられます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

大学受験では大学特化・学部特化に加え、総合型選抜・推薦入試の対策を展開し、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPの英語資格対策、高校受験の専門コースにも対応しています（出典：鬼管理専門塾公式「コース一覧」）。

点と直線の距離をどこまで深く扱うかも、志望校や選抜方式で変わります。基本公式の再現で止めず、記述証明、円の接線、動点の最小値など、目標に必要な到達点から逆算して数学の課題を組めます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前には無料説明会と資料請求が用意され、無料説明会ではZoomを利用でき、保護者も同席できます（出典：鬼管理専門塾公式FAQ）。指導の進め方や現在の悩みを、開始前に確認できます。

公式の覚え直しだけでなく、数学全体のどの単元から戻るべきか、毎日どれだけ進められるかを相談できます。大学受験コースには1カ月返金保証制度もあるため、適用条件を無料説明会で確認したうえで検討してください（出典：鬼管理専門塾公式「1カ月返金保証制度」）。

鬼管理専門塾の指導方針と3つの限界は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、実際の進学結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜公式は「代入のズレ÷法線の長さ」

確認項目	結論
公式	d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
覚え方	点を左辺へ入れて絶対値、AとBだけ二乗和のルートで割る
分子の意味	点を代入したときの符号付きのズレ
分母の意味	法線ベクトル(A,B)の長さで式の倍率を正規化
基本手順	標準形→係数と点を確認→分子と分母を別計算
主な応用	平行線、円と直線、曲線上の動点、帯状の領域

点と直線の距離の公式は、記号の並びではなく「点を直線の式へ代入したズレを、法線ベクトルの長さで割る式」です。分子、絶対値、分母の役割を理解すれば、Cを分母へ入れる誤りや符号の混乱を理由から防げます。法線ベクトルまたは垂線の足による証明を一度自分の手でたどり、基本3題で計算手順を固めてください。

その後は、平行線、円、動点の順に応用します。最短距離では、まず交点があって距離0になれるかを確認し、0になれない場合に絶対値の中を平方完成して最小化します。間違えたら「移項・代入・絶対値・分母・最小化」のどこで崩れたかを記録し、翌日と一週間後に白紙から再現しましょう。

よくある質問

Q. 点と直線の距離の公式はどう覚えればよいですか？

A. 「点を左辺へ入れて絶対値、AとBだけ二乗して足し、ルートで割る」と、計算手順を一文で覚えます。分子は点を代入したズレ、分母は法線ベクトル(A,B)の長さと意味も対応させると復元できます。

Q. なぜ分子に絶対値が必要ですか？

A. Ax₀+By₀+Cの正負は、点が直線のどちら側にあるかを表します。距離は向きを持たない0以上の長さなので、正負を捨てるために分子全体の絶対値を取ります。

Q. なぜ分母にC²を入れないのですか？

A. AとBは直線に垂直な法線ベクトル(A,B)の成分で、その長さが√(A²+B²)だからです。Cは直線の位置を動かす定数で、直線の向きを決めないため分母には入りません。

Q. 直線がy=mx+nの形でも公式を使えますか？

A. 使えます。mx−y+n=0へ直し、A=m、B=−1、C=nとして代入します。右辺を0へそろえてから係数を読むことが、符号ミスを防ぐポイントです。

Q. 点が直線上にあるとき、距離はどうなりますか？

A. 点を直線の左辺へ代入すると0になるため、距離も0です。これは公式の検算にも使えます。分子が0になったら計算ミスと決めつけず、点が直線上にあるか確認してください。

Q. 平行な2直線の距離はどう求めますか？

A. Ax+By+C₁=0とAx+By+C₂=0のようにA、Bをそろえると、距離は|C₁−C₂|/√(A²+B²)です。係数が比例しているだけなら、まず式全体を定数倍してA、Bを一致させます。

Q. 円と直線が接する条件は何ですか？

A. 円の中心から直線までの距離が半径に等しいことです。距離が半径より大きければ共有点なし、小さければ2点で交わります。

Q. 曲線と直線の最短距離はどう考えますか？

A. 曲線上の点をP(t,f(t))と置いて距離をtの式にします。最初に分子が0になれるか、つまり交点があるかを確認し、交点がなければ絶対値の中の符号を処理して二次式などの最小値を求めます。