Claude Code 
複素数の絶対値は√(a²+b²)で計算できると覚えました。でも、共役複素数や三角不等式が出ると、どの公式を使えばよいのか分からなくなります。図形問題の|z-α|も同じ絶対値なのでしょうか？
すべて同じ考え方でつながっているよ。複素数の絶対値は「複素平面上の距離」だ。定義から出発し、共役との積、積・商、三角不等式、2点間距離の順に理解すれば、計算問題と図形問題を一つの型で解ける。この記事では証明と等号条件まで整理し、最後は入試問題での使い分けまで身につけよう。
複素数の絶対値は、単に実部と虚部を2乗して足す計算公式ではありません。複素平面で長さを表すため、積の絶対値、三角不等式、円の方程式、点と点の距離まで同じ記号で扱えます。本記事では金沢工業大学、関西大学、名古屋大学の公開資料で定義と性質を照合し、現行課程の数学Cで使える形に整理しました。まずは定義と図形的な意味を一致させ、公式を忘れても定義から戻れる状態を作ります。
目次
複素数の絶対値とは？定義と複素平面での意味
複素数z=a+bi（a、bは実数）の絶対値は、|z|=√(a²+b²)で定義されます。答えは0以上の実数です。複素平面ではz=a+biを点P(a,b)に対応させるため、|z|は原点O(0,0)からPまでの距離になります。横の長さが|a|、縦の長さが|b|の直角三角形を考えれば、三平方の定理からOP=√(a²+b²)となり、代数的な定義と図形的な長さが一致します。
z=3+4iなら|z|=7ではなく5になるのは、3と4を足すのではなく距離を求めるからですか？
その通り。点(3,4)までの距離だから、|3+4i|=√(3²+4²)=5だ。実部と虚部は直交する2方向なので、長さは和ではなく平方和の平方根で求める。三平方の定理に不安があれば、三平方の定理の公式と計算方法を先に確認しよう。
| 複素数z | 複素平面の点 | 計算 | |z| |
|---|---|---|---|
| 3+4i | (3,4) | √(3²+4²) | 5 |
| -3+4i | (-3,4) | √{(-3)²+4²} | 5 |
| 1-√3i | (1,-√3) | √(1²+3) | 2 |
| -5 | (-5,0) | √{(-5)²+0²} | 5 |
| 2i | (0,2) | √(0²+2²) | 2 |
📚 用語解説
複素数の絶対値：z=a+biに対して|z|=√(a²+b²)で定める0以上の実数です。複素平面では原点からzを表す点までの距離です。
a²+b²は実部と虚部を別々に評価しているのではなく、点(a,b)までの距離の2乗です。この意味を押さえると、|z-α|を2点z、αの間の距離として読めるようになり、円や軌跡へ自然につながります。
複素数の絶対値の求め方｜計算手順と0になる条件
計算は、①実部aと虚部の係数bを読む、②a²+b²を計算する、③0以上の平方根を取る、の3段階です。虚部は「bi全体」ではなくiの係数bを使います。たとえばz=-2+√5iならa=-2、b=√5なので、|z|=√{(-2)²+(√5)²}=√9=3です。負号は2乗で消えますが、途中で勝手に実部や虚部を正へ置き換えるのではなく、定義へ正しく代入してください。
実数xも複素数x+0iと考えるなら、複素数の公式から|x|=√(x²)になります。これはxと同じですか？
xが負のとき√(x²)=-xだから、いつでもxと同じではない。正しくは√(x²)=|x|だ。複素数の定義は従来の実数の絶対値と一致する。実数軸上では原点からxまでの距離、複素平面では原点から(a,b)までの距離と考えれば、どちらも同じ「距離」になる。
| 確認する性質 | 結論 | 理由 |
|---|---|---|
| 非負性 | |z|≧0 | 平方和の0以上の平方根だから |
| 0になる条件 | |z|=0 ⇔ z=0 | a²+b²=0ならa=b=0 |
| 実数との整合 | |x+0i|=|x| | √(x²)=|x| |
| 純虚数 | |bi|=|b| | √(0²+b²)=|b| |
| 実数倍 | |rz|=|r||z| | rは実数、平方和がr²倍 |
📚 用語解説
非負性：絶対値が必ず0以上になる性質です。|z|=0はz=0のときだけで、0でない複素数の絶対値は正です。
平方根を求める方程式x²=a²+b²とは違い、記号√は0以上の平方根を表します。絶対値は長さなので、|z|=-5のような値は取りません。また√(a²)=aではなく|a|である点にも注意してください。
複素数の加減乗除そのものが曖昧な場合は、絶対値の応用へ進む前に虚数・複素数の四則演算とiの累乗を復習してください。絶対値の式ではiを消して実数の長さへ移しますが、その前の式変形では複素数の演算規則を正確に使います。
複素数の絶対値と共役複素数｜4つの等しい長さを証明
z=a+biの共役複素数はz̄=a-biです。複素平面ではz̄はzを実軸について対称移動した点、-zは原点について対称移動した点、-z̄は虚軸について対称移動した点です。対称移動しても原点からの距離は変わらないため、|z|=|-z|=|z̄|=|-z̄|が成り立ちます。式でも、実部と虚部の符号が変わるだけで平方和a²+b²は同じです。
|z|²=z z̄という公式は、絶対値を計算するためだけの暗記公式ですか？
暗記で終わらせる必要はない。z=a+biならz z̄=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²で、これは|z|²そのものだ。共役を掛けると虚数部分が消え、長さの2乗という実数になる。分母の実数化、積の絶対値の証明、三角不等式の展開にも使う中心公式だよ。
| 式 | 図形的な操作 | 絶対値 | 確認方法 |
|---|---|---|---|
| z=a+bi | 元の点 | √(a²+b²) | 定義 |
| -z=-a-bi | 原点対称 | |z| | 符号が両方反転 |
| z̄=a-bi | 実軸対称 | |z| | 虚部だけ反転 |
| -z̄=-a+bi | 虚軸対称 | |z| | 実部だけ反転 |
| z z̄ | 長さの2乗 | |z|² | a²+b²になる |
📚 用語解説
共役複素数：z=a+biに対するz̄=a-biです。複素平面では実軸対称の点を表し、z z̄=|z|²という実数になります。
z≠0なら1/z=z̄/(z z̄)=z̄/|z|²です。分母が正の実数になるため計算しやすく、|1/z|=|z̄|/|z|²=1/|z|も同時に分かります。条件z≠0を必ず添えて使います。
複素数の積・商・累乗の絶対値｜展開せずに計算する
任意の複素数z、wについて|zw|=|z||w|が成り立ちます。さらにw≠0なら|z/w|=|z|/|w|です。この性質を使うと、積や商をa+biの形へ展開してから平方和を作る必要がありません。因数ごとの絶対値を先に求めて掛けたり割ったりすれば、計算量と符号ミスを減らせます。nを0以上の整数とすれば、|zⁿ|=|z|ⁿも積の性質を繰り返すだけで得られます。
|z+w|も|z|+|w|に分けられるなら、積と同じように計算が簡単になりそうです。
そこが最重要の違いだ。積は必ず|zw|=|z||w|だが、和は一般に等号ではなく|z+w|≦|z|+|w|という不等式になる。たとえばz=1、w=-1なら左辺は0、右辺は2だ。積・商は等式、和・差は三角不等式と区別しよう。
|zw|=|z||w|の証明
|zw|²=(zw)overline{(zw)}です。共役は積に分配できるのでoverline{(zw)}=z̄w̄となり、|zw|²=zwz̄w̄=(z z̄)(w w̄)=|z|²|w|²です。両辺は0以上だから平方根を取り、|zw|=|z||w|を得ます。成分をすべて展開するより、共役と|z|²=z z̄を使うと構造が見えます。
計算例：積と商を因数ごとに処理する
|(1+2i)(3-i)|は、|1+2i|=√5、|3-i|=√10より√5×√10=√50=5√2です。また、|(2+i)/(1-i)|は分母が0でなく、|2+i|/|1-i|=√5/√2=√(5/2)です。結果だけを求めるなら、複素数の積や商を実際に計算する工程を省けます。
| 形 | 使える性質 | 条件 | 例 |
|---|---|---|---|
| |zw| | |z||w| | 常に成立 | |(1+i)(2-i)| |
| |z/w| | |z|/|w| | w≠0 | |(2+i)/(1-i)| |
| |zⁿ| | |z|ⁿ | nは0以上の整数 | |(1+i)⁴| |
| |1/z| | 1/|z| | z≠0 | |1/(3+4i)| |
| |z+w| | 通常は分配不可 | 上界は三角不等式 | |1+(-1)|=0 |
📚 用語解説
複素数のノルム：文脈によって|z|を長さ（ノルム）と呼びます。積に対して|zw|=|z||w|となり、倍率の積として働きます。
問題が「絶対値だけを求めよ」なら、積を展開する前に各因数の絶対値を計算します。ただし複素数そのものを求める問題では展開が必要です。設問が求める量を先に確認してください。
複素数の三角不等式｜証明と等号成立条件
複素数z、wには|z+w|≦|z|+|w|が成り立ちます。左辺は「zに対応するベクトルの先へwをつないだ合成ベクトルの長さ」、右辺は「zとwの長さを別々に進んだ道のり」です。2点間を直接結ぶ長さは折れ線の道のり以下になるため、図形的には三角形の一辺が他の二辺の和以下という事実を表します。
成分を置けば証明できそうですが、どこで不等号が生まれるのかが見えません。
|z+w|²を展開すると|z|²+|w|²+2Re(z w̄)になる。任意の複素数uについてRe(u)≦|u|だから、Re(z w̄)≦|z w̄|=|z||w|だ。したがって|z+w|²≦(|z|+|w|)²。両辺が0以上なので平方根を取り、三角不等式が得られる。実部を絶対値で上から押さえる箇所で不等号になるんだ。
三角不等式の等号はいつ成立するか
z、wがともに0でない場合、等号|z+w|=|z|+|w|はzとwが同じ向きに並ぶときに成立します。代数的にはz/wが正の実数になる場合です。片方が0の場合も等号です。反対向きなら和で一部が打ち消され、|z+w|は小さくなります。「同一直線上」だけでは同方向と反対方向を区別できないため、等号条件では向きまで書いてください。
| zとwの関係 | |z+w| | |z|+|w|との関係 | 例 |
|---|---|---|---|
| 同じ向き | 長さがそのまま加算 | 等号 | z=2、w=3 |
| 反対向き | 差の絶対値 | 通常は小さい | z=2、w=-3 |
| 直角方向 | 平方和の平方根 | 小さい | z=2、w=3i |
| 一般の向き | 角度により変化 | 必ず以下 | z=1+i、w=2-i |
| 片方が0 | もう一方の長さ | 等号 | z=0 |
📚 用語解説
三角不等式：複素数では|z+w|≦|z|+|w|です。2つの移動を合成した直線距離が、それぞれの移動距離の和を超えないことを表します。
数値を代入して成り立つことを確認しても、任意のz、wに対する証明にはなりません。答案では共役を使う展開とRe(u)≦|u|を示し、必要なら等号条件も説明します。
逆三角不等式で絶対値の範囲・最大最小を求める
三角不等式から、||z|-|w||≦|z-w|という逆三角不等式を導けます。z=(z-w)+wに三角不等式を使うと|z|≦|z-w|+|w|、よって|z|-|w|≦|z-w|です。zとwを入れ替えれば|w|-|z|≦|z-w|も得られ、2本をまとめると||z|-|w||≦|z-w|になります。
|z|=5、|w|=2だけが分かるとき、|z+w|は一つの値に決まらないのですか？
向きが分からないので一つには決まらないが、範囲は決まる。逆三角不等式と三角不等式から3=|5-2|≦|z+w|≦5+2=7だ。同じ向きなら最大7、反対向きなら最小3を取る。絶対値だけが与えられた問題では、上限と下限をセットで考えよう。
| 求める量 | 下からの評価 | 上からの評価 | 等号の向き |
|---|---|---|---|
| |z+w| | ||z|-|w|| | |z|+|w| | 反対向き／同じ向き |
| |z-w| | ||z|-|w|| | |z|+|w| | 同じ向き／反対向き |
| |z₁+z₂+z₃| | 条件により評価 | |z₁|+|z₂|+|z₃| | 3つが同じ向き |
| |z|-|w| | |z|-|w| | |z-w|以下 | 同方向で長い側がz |
例題：|z|=4、|w|=1のとき|z-w|の範囲
逆三角不等式より||z|-|w||=|4-1|=3≦|z-w|です。三角不等式をz+(-w)へ使えば|z-w|≦|z|+|-w|=4+1=5です。よって3≦|z-w|≦5。zとwが同じ向きなら差の長さ3、反対向きならz-wで同方向に加わって5となり、両端は実際に達成できます。
|z|と|w|だけではz、wの偏角が決まりません。積の絶対値なら値が決まりますが、和・差の絶対値は向きによって変わります。追加条件がなければ、三角不等式と逆三角不等式で範囲を答えるのが基本です。
複素平面の距離と軌跡｜|z-α|を円の式として読む
複素数z=x+yi、α=a+biに対して、|z-α|=√{(x-a)²+(y-b)²}です。これは点zと点αの距離を表します。したがって|z-α|=r（r>0）は「中心α、半径rの円」、|z-α|≦rは円の内部と円周、|z-α| |z-(2+i)|=3を見ても、実部と虚部へ展開するまで円だと気づけません。 zから2+iまでの距離が常に3、と言葉へ直せばすぐ円だと分かる。中心は複素数2+iが表す点(2,1)、半径は3だ。成分表示ではz=x+yiとして(x-2)²+(y-1)²=9になる。「絶対値=距離」から図形を判断し、必要なときだけ座標へ展開しよう。 異なる2点α、βについて|z-α|=|z-β|なら、zはαとβから等しい距離にあります。軌跡は線分αβの垂直二等分線です。両辺を2乗してz=x+yiへ展開するとx²+y²の項が消え、一次方程式になるため、代数的にも直線だと確認できます。|z-α|<|z-β|ならαに近い側の半平面です。 |z-α|=k|z-β|（k>0）では、点αまでの距離と点βまでの距離の比が一定です。k=1なら垂直二等分線、k≠1なら一般に円になります。入試答案では、図形名を覚えるだけでなく、両辺を2乗してx、yの式へ直し、平方完成して中心と半径を確定してください。分母を使って比を表す場合はz≠βも確認します。 📚 用語解説 軌跡：条件を満たしながら動く点が通る図形です。複素平面では|z-α|を点zと点αの距離と読むと、円や直線を判定できます。 |z-(a+bi)|の中心候補はa+biです。z+aのような式はz-(-a)と読み、中心の符号を逆にします。式を展開する前に距離の相手を特定すると、中心の符号ミスを防げます。 ここまでの性質を、定義計算、共役、積・商、三角不等式、軌跡の順で使います。解答を見る前に、①定義へ戻る問題か、②積・商へ分配する問題か、③和・差を評価する問題か、④距離として図形化する問題かを分類してください。同じ絶対値記号でも、式の外側にある演算によって最短の解法が変わります。 公式を全部覚えようとすると混ざります。問題を見た直後は何を確認すればよいですか？ 絶対値の中を最初に見る。a+bi単体なら定義、因数の積・商なら分配、和・差なら三角不等式、z-αなら距離だ。次に「値を求める」のか「範囲を求める」のか「軌跡を求める」のかを確認する。この2段階の分類で、使う性質の候補をほぼ一つに絞れるよ。 定義から|-3+4i|=√{(-3)²+4²}=√25=5です。答えに±5とは書きません。点(-3,4)から原点までの距離と考えても5です。実部が負でも平方されるため、絶対値は0以上になります。 z̄=1+2iなので、z z̄=(1-2i)(1+2i)=1-(2i)²=5です。よって|z|²=5、|z|=√5です。z z̄は絶対値ではなく絶対値の2乗であるため、最後に0以上の平方根を取ります。 分母2-iは0ではありません。積・商・累乗の性質より、|(1+i)³/(2-i)|=|1+i|³/|2-i|です。|1+i|=√2、|2-i|=√5だから、答えは(√2)³/√5=2√2/√5=2√10/5です。複素数の3乗を展開しなくても絶対値だけを求められます。 三角不等式から|z+w|≦7、逆三角不等式から|z+w|≧||z|-|w||=3です。よって3≦|z+w|≦7。zとwが同じ向きなら7、反対向きなら3となるため、最大値・最小値はどちらも実際に取れます。 点zから点2+iまでの距離が3という条件なので、中心2+i、半径3の円です。z=x+yiと置けば|z-(2+i)|=|(x-2)+(y-1)i|=√{(x-2)²+(y-1)²}。両辺を2乗して(x-2)²+(y-1)²=9となり、中心(2,1)、半径3を確認できます。 点zは原点中心・半径2の円上を動き、|z-1|はzと点1の距離です。三角不等式から|z-1|≦|z|+|1|=3、逆三角不等式から|z-1|≧||z|-|1||=1です。実軸上でz=-2なら最大3、z=2なら最小1を取ります。したがって最大値3、最小値1です。 問題1・2は定義と共役を説明しながら1分以内、問題3は展開せずに処理、問題4は上下両方を評価、問題5・6は絶対値を距離として図に移せることが目標です。答えだけでなく、どの性質を選んだかを一行で言語化して復習してください。 誤答の多くは、定義を知らないことよりも、実数の絶対値と同じ感覚で式を分配したり、絶対値と2乗を混同したり、距離の基準点を読み違えたりすることから起こります。計算ミスとして一括せず、「成分」「共役」「演算の種類」「不等号」「図形」のどの段階で判断を誤ったかを記録すると、次に解くべき類題が明確になります。 解答を読むと理解できますが、翌日に別の問題を解くとまた|z+w|を分配してしまいます。 公式名だけでなく「積・商は等式、和・差は不等式」と判断の条件を声に出そう。誤答したら、同じ数字で解き直すだけでなく、翌日に積と和を並べた2問、3日後に範囲問題、1週間後に軌跡問題を解く。間隔を空けて分類から再現できるかを確かめることが大切だ。 初日は定義計算と共役、翌日は積・商、3日後に三角不等式、1週間後に円と最大最小を解きます。各回の最初に公式を見ず、「絶対値は距離」「|z|²=z z̄」「積は等式、和は不等式」の3点を書き出してください。正答しても根拠を言えなければ、数字を変えた問題を追加します。 「複素数の絶対値を間違えた」では広すぎます。「和へ誤分配した→積と和の比較問題を翌日2題」「中心の符号を誤った→z±αを距離の言葉へ直す問題を3題」のように、次に確認できる行動まで書きます。 結論から言います。公式を覚え、授業を聞き、解答を読んで終える「普通の対策」だけでは、複素数の絶対値を含む数学Cで得点し、志望大学に受かるのは厳しいです。本記事だけでも、定義、共役、積・商、三角不等式、逆三角不等式、等号条件、距離、円、垂直二等分線という複数の判断がありました。入試では公式を言えることではなく、初見の式を分類し、必要な根拠を答案へ再現することが求められます。 たとえば|zw|は必ず|z||w|に分けられる一方、|z+w|は一般に等号ではなく上限しか与えません。また|z-(2+i)|=3は計算式であると同時に円を表します。この違いを本番で使い分けるには、誤答を「計算ミス」で終わらせず、どの判断で止まったかを記録し、翌日と1週間後の課題へ戻す管理が必要です。代表的な学習手段を「従来塾の3つの限界」に照らして順に検討します。 独学や参考書だけでも公式と模範解答は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解答を読んで納得した状態と、何も見ずに積・和・距離を分類し、等号条件まで答案化できる状態は別です。誤答原因を自分で分けないままでは、必要な類題を選べません。 映像授業やアプリは複素平面の動きを視覚的に理解しやすい一方、視聴時間が増えても、自力で証明や軌跡の式を書く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。共役で止まる人と図形化で止まる人へ同じ課題を出しても、弱点別の演習量を確保できません。 集団授業の大手予備校は体系的に学べますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が複素数平面の発展問題へ進んでも、ある生徒は|z|²とz²を混同し、別の生徒は三角不等式の等号条件を落とします。一斉の進度では、この差を翌日の問題数や復習間隔へ細かく反映しきれません。 一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に中心の符号ミスを直しても、翌日から同じ誤りを繰り返し、確認が一週間後なら誤った型が定着しかねません。複素数の絶対値は極形式や図形問題にも連続するため、判断ミスを日単位で修正する必要があります。 独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「理解を答案行動へ変える」「生徒ごとに課題を変える」「誤りを毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、複素数の絶対値を含む数学Cを入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。 鬼管理専門塾は、教材や授業を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、複素数の絶対値を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。 教材名・問題数・復習範囲まで、今日の学習を具体的な数値で示す 現在地・志望校・誤答原因に合わせ、個別の行動プランを設計する 日々の進捗と毎週の確認テストで、理解と定着を検証する 厳格な選考を通過した講師が伴走し、満足度アンケート1,524件も公開する 大学受験・総合型選抜/推薦・英語資格・高校受験に対応する LINEの質問窓口とZoomの無料説明会、資料請求を用意する 鬼管理専門塾では、「数学Cを勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。 複素数の絶対値なら、定義計算を何題、三角不等式の証明を何回、軌跡問題を何題解き、誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。公式を眺める学習から、答案を再現する学習へ移せます。 専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。 複素数でも、四則演算が弱い生徒、三角不等式の証明で止まる生徒、円の中心を誤る生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。 学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。 定義計算を一度正しく解けても、1週間後に積・和・距離が混ざって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で答案の再現性を確認できます。 講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。 複素数の答案では、最終数値だけでなく、共役の範囲、不等号の向き、等号条件、中心の符号に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示すことで、丸付けだけでは見逃す論理の抜けを早く修正できます。 専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。 本記事の読者が大学受験コースで数学Cを使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、複素数の絶対値へ何日使い、極形式や二次曲線、微積分へいつ進むかを逆算できます。 学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。 複素数のどこで止まるのか、数学Cを入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。 大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。 大学受験数学の学習計画を無料説明会で相談してみませんか？ 複素数z=a+biの絶対値は√(a²+b²)で、複素平面では原点から点zまでの距離です。必ず0以上で、|z|=0となるのはz=0のときだけです。符号反転や共役を取っても長さは変わらず、|z|²=z z̄が成り立ちます。この公式から積・商・逆数の絶対値を効率よく扱えます。 和と差は積のように分配できず、三角不等式と逆三角不等式で評価します。上限は長さの和、下限は長さの差の絶対値で、等号には複素数の向きが関わります。また|z-α|は点zと点αの距離なので、円、垂直二等分線、最大値・最小値の問題へ直接つながります。公式を個別に暗記せず、「絶対値は長さ」から必要な性質を選び直してください。 複素数平面を含む受験数学の復習計画を相談できます A. 複素平面で原点からその複素数を表す点までの距離です。z=a+biなら|z|=√(a²+b²)で、答えは0以上の実数になります。 A. |z|=0となるのはz=0のときだけです。a²+b²=0なら実数a、bは両方0でなければならないためです。 A. z=a+biの共役z̄=a-biは実軸対称の点なので|z̄|=|z|です。またz z̄=a²+b²=|z|²が成り立ちます。 A. 一般には同じではなく、|z+w|≦|z|+|w|です。zとwが同じ向きに並ぶ場合や片方が0の場合に等号が成立します。 A. |zw|=|z||w|です。w≠0なら|z/w|=|z|/|w|です。絶対値だけを求めるなら、積や商を展開せず因数ごとに計算できます。 A. 複素平面上の点zと点αの距離です。|z-α|=rは中心α、半径rの円を表し、|z-α|≦rはその円周と内部を表します。 A. 逆三角不等式||z|-|w||≦|z-w|です。和についても||z|-|w||≦|z+w|が成り立ち、|z±w|の範囲を求めるときに使います。 本記事監修者 菅澤孝平 シンゲキ株式会社 代表取締役社長 出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz2点から等距離の軌跡
絶対値の比が一定の軌跡
複素数の条件 距離としての読み方 表す図形・領域 |z|=r 原点から距離r 原点中心・半径rの円 |z-α|=r αから距離r 中心α・半径rの円 |z-α|≦r αからr以下 円周を含む円板 |z-α|=|z-β| αとβから等距離 垂直二等分線 |z-α|<|z-β| αのほうが近い 垂直二等分線のα側 複素数の絶対値の計算問題6選｜基本から図形まで
問題1：|-3+4i|を求める
問題2：z=1-2iのときz z̄と|z|を求める
問題3：|(1+i)³/(2-i)|を求める
問題4：|z|=5、|w|=2のとき|z+w|の範囲
問題5：|z-(2+i)|=3が表す図形
問題6：|z|=2のとき|z-1|の最大値・最小値
複素数の絶対値でよくある9つの間違いと勉強法
よくある間違い 誤った考え 正しい修正 虚部にiを含めて2乗 (bi)²を平方和へ入れる 係数bを使いa²+b² 答えに±を付ける |z|=±r 絶対値は0以上なのでr √(a²)=aとする aの符号を無視 √(a²)=|a| |z+w|を分配 |z+w|=|z|+|w| 一般には≦、等号条件も確認 |z|²とz²を混同 どちらも同じ2乗 |z|²=z z̄は実数 商で分母条件を落とす w=0も許す |z/w|はw≠0 下限だけで最小値と断定 等号を未確認 向き・条件内で達成できるか確認 円の中心の符号を逆にする |z+α|の中心をα z-(-α)と読み中心-α 具体例を証明にする 1組の数値だけ確認 任意のz,wで式変形 おすすめの復習順序
複素数の絶対値を入試で使うには「普通の対策」では受からない
選択肢①：独学・参考書のみでは行動修正が続かない
選択肢②：映像授業・アプリでは理解が答案行動へ変わりにくい
選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る
選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い
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まとめ｜複素数の絶対値は「長さ」として性質をつなぐ
場面 使う性質 確認する条件 単体の絶対値 |a+bi|=√(a²+b²) a、bの符号と係数 共役を含む式 |z|²=z z̄ 絶対値の2乗であること 積・商 |zw|=|z||w|、|z/w|=|z|/|w| 商ではw≠0 和・差 ||z|-|w||≦|z±w|≦|z|+|w| 等号となる向き 軌跡 |z-α|を距離と読む 中心・半径・不等号 よくある質問
Q. 複素数の絶対値とは簡単にいうと何ですか？
Q. 複素数の絶対値が0になるのはいつですか？
Q. 共役複素数と絶対値にはどんな関係がありますか？
Q. |z+w|は|z|+|w|と同じですか？
Q. 複素数の絶対値の積と商はどう計算しますか？
Q. |z-α|は何を表しますか？
Q. 三角不等式の下側の評価は何ですか？
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