Claude Code 
外接円の半径を求める問題を見ると、正弦定理を使うのか、余弦定理を先に使うのか、毎回迷ってしまいます。3辺しか分からない問題や、直角三角形の問題も同じ考え方で解けるんでしょうか？
結論はシンプルだよ。角とその向かいの辺がそろっていればR=a/(2sin A)を使い、そろっていなければ余弦定理・面積・特殊な三角形の性質で必要な情報を補えばよい。この記事では、外接円の定義から公式の理由、条件別の選び方、例題、検算、練習法まで一つの流れにして、初見の問題でも解法を判断できる状態を目指そう。
三角形の外接円の半径は、公式を一つ暗記するだけでは安定して求められません。問題文に与えられた条件から「向かい合う辺と角の組」を見つけ、足りない条件だけを補う判断が必要です。この記事では、三角形ABCで角A・B・Cの向かいの辺をそれぞれa・b・c、外接円の半径をR、三角形の面積をSとして表記を統一します。文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編で示される数学I「図形と計量」の範囲に沿い、正弦定理・余弦定理を関連付けながら解説します。それでは、まず外接円そのものを正しく見分けるところから始めましょう。
目次
外接円とは？外心・内接円との違いを最初に整理
三角形の外接円とは、その三角形の3つの頂点をすべて通る円です。円の中心を外心といい、外心から3頂点までの距離はすべて等しく、その共通の長さが外接円の半径Rになります。「三角形の外側にある円」と覚えるだけでは不十分です。鈍角三角形では外心が三角形の外部にありますが、鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点にあるからです。外接円を判定する本質は、円が3頂点を通っているかどうかにあります。
📚 用語解説
外接円：多角形のすべての頂点を通る円。三角形では必ず1つの外接円が定まり、その中心を外心、半径を外接円の半径と呼ぶ。
外心は、三角形の3辺それぞれの垂直二等分線が交わる点です。垂直二等分線上の点は、線分の両端から等しい距離にあります。そのため2辺の垂直二等分線の交点をOとすれば、OA=OBかつOB=OCとなり、OA=OB=OCが成り立ちます。3点A・B・Cから等距離の点Oを中心に円を描けば、3頂点を通る外接円になるというわけです。作図問題ではこの性質を使い、計量問題では正弦定理を使う、という役割分担を押さえてください。
📚 用語解説
外心：三角形の3辺の垂直二等分線の交点。3頂点から等距離にあるため、外接円の中心になる。鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部に位置する。
| 比べる対象 | 円が通る・接する場所 | 中心の求め方 | 半径の代表公式 |
|---|---|---|---|
| 外接円 | 3つの頂点を通る | 3辺の垂直二等分線の交点 | R=a/(2sin A) |
| 内接円 | 3つの辺すべてに接する | 3つの角の二等分線の交点 | r=S/s（sは半周長） |
内接円は三角形の3辺すべてに接する円で、中心は内心です。外接円が「頂点を通る」のに対し、内接円は「辺に接する」と区別します。半径の文字も、外接円は大文字R、内接円は小文字rを使うのが一般的です。問題文に「外心」「垂直二等分線」「3頂点を通る」とあれば外接円、「内心」「角の二等分線」「3辺に接する」とあれば内接円を考えます。
外接円だから必ず三角形の外に中心がある、という意味ではないんですね。頂点を通るか、辺に接するかを見れば、外接円と内接円を取り違えずに済みそうです。
その理解で正解だ。外接円の問題では、図の見た目より「3頂点から中心までが等しい」という関係を見るのが大切だよ。三角比そのものに不安がある場合は、先にsin・cos・tanの求め方と公式を確認しておくと、この先の正弦定理が読みやすくなる。
「3頂点を通る」「垂直二等分線」「外心」の3語は、同じ構造を別の角度から表しています。問題文や図にこのどれかが現れたら、外接円の半径Rと正弦定理を候補に入れましょう。
外接円の半径を求める基本公式は正弦定理
三角形ABCの辺a・b・cが、それぞれ角A・B・Cの向かい側にあるとき、正弦定理はa/sin A=b/sin B=c/sin C=2Rと表されます。外接円の半径を求めたいなら、式の一部を取り出してRについて解き、R=a/(2sin A)、R=b/(2sin B)、R=c/(2sin C)のいずれかを使います。3つを全部使う必要はありません。分かっている「辺と、その向かいの角」の組を一つ選べば十分です。
📚 用語解説
正弦定理：三角形で、各辺の長さをその対角の正弦で割った値がすべて等しく、外接円の直径2Rにも等しいという定理。a/sin A=b/sin B=c/sin C=2Rと表す。
最も多い間違いは、隣り合う辺と角を組にしてしまうことです。例えば辺aは角Aの両側にある辺ではなく、角Aの正面にある辺BCです。辺bは角Bの正面、辺cは角Cの正面です。式を立てる前に、図へa↔A、b↔B、c↔Cと矢印を書き込むだけで、組み合わせの誤りを大きく減らせます。
また、正弦定理の最後はRではなく2Rです。a/sin A=2RからRを求めるときは、R=a/(2sin A)となります。「2で割る」操作を落とすと答えがちょうど2倍になるため、テストで非常に見つけやすい誤答です。答案の最終行では、代入した直後に2Rを求めているのか、すでにRまで求めたのかを文字で明示すると安全です。
| 与えられた組 | 使う式 | 代入例 | 半径R |
|---|---|---|---|
| a=6、A=30° | R=a/(2sin A) | 6/(2×1/2) | 6 |
| b=8、B=90° | R=b/(2sin B) | 8/(2×1) | 4 |
| c=5、C=45° | R=c/(2sin C) | 5/(2×√2/2) | 5√2/2 |
a/sin A=2Rを丸暗記していましたが、実際には「向かい合う一組を選ぶ」問題なんですね。Rを出すときに2で割ることも、式の形から確認できそうです。
そのとおり。公式を長いまま覚えるより、「対辺÷対角のsinは直径2R」と意味まで言えると忘れにくい。角と対辺が直接そろっていない場合も、次の章以降で必要な一組を作るだけだよ。
「辺÷その向かいの角のsin=外接円の直径」と声に出してから、最後に半径なので2で割る、と覚えましょう。記号だけを並べるより、辺と角の対応、2Rの意味を同時に保持できます。
なぜa/sin A=2Rになる？円周角から正弦定理を理解
正弦定理は、外接円の直径と円周角の定理をつなぐと理解できます。三角形ABCを外接円に内接させ、頂点Bから外心Oを通る直径BDを引きます。BDは直径なので長さは2Rです。直径BDに対する円周角BCDは90°になり、三角形BCDは直角三角形になります。ここまでで、半径の問題が三角比を使える形へ変わりました。
📚 用語解説
円周角の定理：同じ弧、または同じ弦に対する円周角は等しく、中心角は円周角の2倍になるという定理。直径に対する円周角は90°になる。
角BACと角BDCは、どちらも同じ弦BCを見込む円周角なので等しく、角BDC=Aです。直角三角形BCDで角Dに注目すると、sin A=sin∠BDC=BC/BD=a/(2R)となります。この式を変形すればa/sin A=2Rです。同じ議論を辺bと角B、辺cと角Cにも適用できるため、a/sin A=b/sin B=c/sin C=2Rが得られます。
鈍角三角形では図の配置により、同じ弦に対する角が補角として現れる場合があります。しかしsin(180°-A)=sin Aなので、正弦の値は変わりません。そのため正弦定理は鋭角三角形だけでなく、直角三角形や鈍角三角形にも同じ形で使えます。公式を図から導けると、「鈍角だから別の公式が必要なのでは」という迷いもなくなります。
文部科学省の高等学校学習指導要領解説でも、三角形に外接する円を描き、円周上でsin A=a/(2R)が成り立つことを見いだす活動が例示されています。これは正弦定理を単なる計算手順としてではなく、図形の構成要素間の関係として捉えるためです。証明をすべて暗記する必要はありませんが、「直径2Rを作り、直角三角形のsinにする」という核は自分の言葉で説明できるようにしておきましょう。
2Rが突然出てくるのではなく、外接円の直径そのものなんですね。直径を引くと直角三角形ができて、sinが使えるという流れなら公式を忘れても戻れそうです。
公式の復元方法としてまさにそれが使える。弦BC=a、直径BD=2R、角D=Aの3点を書けば、sin A=a/(2R)まで戻れる。証明問題でも計算問題でも、図に直径を補助線として入れる発想が重要なんだ。
外接円に直径を1本引く → 直径に対する円周角が90° → 同じ弦を見込む円周角が等しい → 直角三角形でsin A=a/(2R)。この4段階を図とセットで再現できれば十分です。
辺と対角が分かるときの求め方｜R=a/(2sin A)へ直接代入
最も基本的なのは、辺とその対角が最初から与えられている問題です。例として、a=10、A=30°の三角形の外接円の半径Rを求めます。使う式はR=a/(2sin A)です。sin30°=1/2を代入すると、R=10/(2×1/2)=10となります。分母の2とsin30°の1/2が打ち消し合うため、辺aと半径Rが同じ10になるケースです。
次に、c=6、C=45°ならR=6/(2×√2/2)=6/√2=3√2です。分母に√2が残る形は有理化して3√2とします。一方、b=12、B=120°ならsin120°=sin60°=√3/2なので、R=12/(2×√3/2)=12/√3=4√3です。鈍角120°でも正弦定理の形は変わりません。三角比の符号を単位円で確認すると、0° 検算には「弦の長さは直径を超えない」という性質が使えます。どの辺も外接円の弦なので、辺aは直径2R以下、つまりRはa/2以上です。a=10、A=30°の例でR=10は条件を満たします。もしR=3など、対辺aの半分より小さい答えが出たなら、2RとRの取り違え、sinの値、計算途中の約分を見直してください。 角が120°でもsin120°=sin60°として同じ公式を使えるんですね。答えが辺の半分より小さくないかを見る検算も、電卓なしでできそうです。 そうだね。直接代入の問題では計算自体が短いぶん、対辺の選択と2Rの扱いが採点ポイントになりやすい。途中式にR=a/(2sin A)を一度書き、最後に弦a≤2Rで検算する習慣をつけよう。 角Aの両脇にある辺はbとcであり、対辺はaです。R=b/(2sin A)のように、辺と角の対応がずれた式は正弦定理ではありません。図へ向かい合う組を矢印で示してから代入してください。 3辺a・b・cだけが分かり、角が一つも分からないときは、正弦定理へ直接代入できません。そこで解法は2つに分かれます。1つ目は余弦定理でcosを求め、sinへ直して正弦定理を使う方法。2つ目はヘロンの公式で面積Sを求め、R=abc/(4S)へ代入する方法です。答えは一致するため、計算しやすい方を選び、余裕があればもう一方で検算できます。 3辺がa=5、b=5、c=6の三角形を考えます。まず余弦定理のルートです。角Cは辺c=6の対角なので、c²=a²+b²-2ab cos Cへ代入すると、36=25+25-50cos Cです。したがってcos C=14/50=7/25。三角形の内角ではsin C>0なので、sin C=√(1-cos²C)=√(1-49/625)=24/25です。正弦定理からR=c/(2sin C)=6/(48/25)=25/8となります。 次に面積のルートで確かめます。半周長をs=(5+5+6)/2=8とすると、ヘロンの公式よりS=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}=√(8×3×3×2)=√144=12です。R=abc/(4S)へ代入すれば、R=(5×5×6)/(4×12)=150/48=25/8となり、余弦定理を使った答えと一致します。 📚 用語解説 半周長s：三角形の3辺の和の半分。s=(a+b+c)/2で表す。ヘロンの公式S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}で面積を求めるときに使う。 📚 用語解説 ヘロンの公式：3辺a・b・cが分かる三角形の面積を、半周長s=(a+b+c)/2を用いてS=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}と求める公式。角度が分からなくても面積を計算できる。 R=abc/(4S)は別の独立した暗記公式に見えますが、正弦定理と面積公式を組み合わせたものです。面積公式S=(1/2)bc sin Aからsin A=2S/(bc)。これをR=a/(2sin A)へ代入すると、R=a÷{2×2S/(bc)}=abc/(4S)になります。つまり、正弦定理のsin Aを面積Sで置き換えた形です。由来まで分かれば、4Sの4を忘れたときにも自力で復元できます。 3辺しかなくても、余弦定理で角を作るか、ヘロンの公式で面積を作ればいいんですね。同じ例題が25/8で一致すると、公式どうしのつながりも分かります。 入試では途中式の短さも大事だ。ヘロンの平方根がきれいに外れるなら面積ルートが速く、一つの角や三角比まで求める設問が続くなら余弦定理ルートが自然だよ。後続設問まで見て選ぶと、計算の重複を減らせる。 面積も問われる・ヘロンの中身が平方数になるならR=abc/(4S)、角やsin・cosも問われるなら余弦定理→正弦定理を優先すると効率的です。 2辺b・cと、その間の角Aが分かる場合、正弦定理に必要な対辺aがまだありません。先に余弦定理a²=b²+c²-2bc cos Aでaを求めると、aとAが向かい合う一組になります。その後、R=a/(2sin A)へ進みます。「余弦定理で対辺を作る→正弦定理で半径を出す」という連携は、競合記事の練習問題でも扱われる基本パターンであり、数学Iの図形問題で頻出の考え方です。 余弦定理へ代入すると、a²=6²+8²-2×6×8×cos60°=36+64-96×1/2=52です。長さaは正なのでa=√52=2√13。これでaとAがそろいました。正弦定理よりR=a/(2sin A)=2√13/(2×√3/2)=2√13/√3=2√39/3です。 この例も面積公式で検算できます。S=(1/2)bc sin A=(1/2)×6×8×√3/2=12√3。3辺の積はabc=(2√13)×6×8=96√13なので、R=abc/(4S)=96√13/(48√3)=2√13/√3=2√39/3となり、一致します。計算の途中で平方根が多くても、2つのルートが同じ形に整理されれば信頼度の高い検算になります。 注意したいのは、与えられた角が「2辺の間の角」ではない場合です。余弦定理へそのまま代入できるのは、b・cとその間のAのような組です。2辺と間でない角が与えられた場合は、すでに分かる辺と対角の組がないかを探し、正弦定理で別の辺や角を求める方が自然です。公式名から選ぶのではなく、式へ代入できる対応関係がそろっているかで判断してください。 2辺と間の角があると、すぐ正弦定理ではなく、余弦定理でその角の向かいの辺を作るんですね。「対辺を作る」と考えると、公式の順番を覚えやすいです。 良い捉え方だ。図形問題は、公式を当てるより「次の公式に必要な材料を一つ前の公式で作る」と考えると整理できる。余弦定理と正弦定理の連携は、その代表例だよ。 余弦定理の役割は3辺目、または角のcosを作ること。正弦定理の役割は、対辺と対角から外接円の直径2Rへつなぐことです。それぞれの役割を分けて覚えましょう。 直角三角形では、斜辺が外接円の直径になります。直角A=90°の対辺aが斜辺なら、正弦定理からR=a/(2sin90°)=a/2です。これは、直角三角形の外心が斜辺の中点にあることとも一致します。例えば辺の長さが6、8、10の直角三角形なら、斜辺10が直径なのでR=5と即答できます。ほかの2辺から面積や角を求め直す必要はありません。 正三角形では、1辺をaとすると各角は60°です。R=a/(2sin60°)=a/(√3)=a√3/3。例えば1辺が6ならR=6/√3=2√3です。正三角形では外心・内心・重心・垂心が同じ点に重なりますが、外接円の半径と内接円の半径は同じではありません。正三角形の内接円の半径はa√3/6で、外接円の半径a√3/3の半分です。 30°の角が与えられ、その対辺がaならR=a/(2sin30°)=aです。60°の対辺ならR=a/√3、45°の対辺ならR=a/√2です。特殊角では、正弦定理へ代入した結果を小さな対応表として覚えておくと、計算時間を短縮できます。ただし角と対辺の組を間違えると即答公式も意味を失うため、図への書き込みは省略しないでください。 直角三角形なら斜辺の半分、正三角形なら辺の√3分の1。正弦定理から出せるので、丸暗記が曖昧になっても復元できますね。 そのとおり。特殊公式は一般公式の代わりではなく、一般公式を条件に合わせて短くした形だ。だからまず図の特殊性に気づき、必要ならR=a/(2sin A)に戻って確認すればよい。 正三角形では中心が同じでも、外接円の半径はa√3/3、内接円の半径はa√3/6です。「中心が一致する」ことと「半径が一致する」ことは別です。 ここまでの内容を定着させるには、答えを見る前に「どの条件が与えられ、何が足りないか」を言葉にする練習が必要です。計算を始める前に、①対辺と対角がある、②2辺と間の角がある、③3辺だけ、④直角や正三角形などの特殊条件がある、のどれに当たるか分類してください。分類できれば、使う公式はほぼ自動的に決まります。 問題1はR=8/(2×1/2)=8です。問題2は正三角形なのでR=6√3/3=2√3。問題3は直角三角形で最長辺10が斜辺、かつ6²+8²=10²を満たすためR=10/2=5です。この3題は計算量より、条件から最短公式を選べるかを確認する問題です。 b=4、c=6、A=60°なので、余弦定理よりa²=4²+6²-2×4×6×1/2=16+36-24=28。a=2√7です。正弦定理からR=2√7/(2×√3/2)=2√7/√3=2√21/3。途中でa=√28を2√7に簡約し、最後に分母を有理化するところまで確認してください。 3辺が5、5、8なので半周長s=9。ヘロンの公式からS=√(9×4×4×1)=12です。R=abc/(4S)=(5×5×8)/(48)=200/48=25/6となります。二等辺三角形なので底辺8の半分4と斜辺5から高さ3を求め、S=8×3/2=12と確認することもできます。 よくある誤答は、①対辺でない辺を使う、②2Rで計算を止める、③余弦定理の-2bc cos Aの符号を誤る、④sin²A=1-cos²Aで正の平方根を選ばない、⑤ヘロンの半周長sを周長そのものにする、⑥R=abc/(4S)の4を落とす、の6つです。正解だけを写すのではなく、誤答をこの6分類のどれかへ記録すると、次に見直す箇所が具体的になります。 数学の答案では、途中式を整理して残すことも得点の安定につながります。問題演習の記録方法に迷う場合は、数学ノートの取り方と間違い直しの方法も参考にし、左側に条件と図、中央に計算、右側に誤答原因と検算をまとめてください。公式名だけでなく、なぜその公式を選んだかを1行書くと、解法判断の復習になります。 答え合わせで丸かバツだけを付けるのではなく、条件の分類と誤答原因まで残すんですね。同じ外接円の問題でも、最初の一手が違う理由を説明できそうです。 そこが定着の分かれ目だ。1題ごとに「直接正弦定理」「余弦定理で対辺」「ヘロンで面積」「特殊三角形」とタグを付けよう。1週間後にタグだけ見て解法を再現できれば、初見問題でも判断が速くなる。 結論から言います。外接円の半径を含む数学Iの図形問題を、公式の暗記と週末のまとめ解きだけで済ませる「普通の対策」では、大学受験で安定して得点し、志望校に受かるのは厳しいです。公式を知っていることと、問題文の条件から正しい順番で公式を選び、計算ミスを修正できることは別の能力だからです。 この記事だけでも、外接円の半径には、対辺と対角から直接求めるルート、2辺と間の角から余弦定理を経由するルート、3辺からヘロンの公式と面積を経由するルート、直角三角形や正三角形の特殊性を使うルートがありました。さらに誤答原因は、辺と角の対応、2R、余弦定理の符号、平方根、半周長、4Sと複数あります。1回の授業で理解しても、条件の違う問題を毎日解き、誤答を分類して修正しなければ、試験時間内の判断には変わりません。 解説を読めば分かるのに、模試では公式を選べないことがあります。参考書を増やしたり、映像授業を見直したりすれば解決すると思っていたのですが、それだけでは足りませんか？ 教材を増やす前に、毎日の行動を変えられる仕組みがあるかを見よう。独学、映像授業やアプリ、集団授業、一般的な個別指導には、それぞれ図形問題の定着を止める限界がある。順に検証すると、必要な条件がはっきりするよ。 ①授業で情報を得ても行動が変わらなければ成績は上がらない ②全員同じ指導は偏差値50に収束する ③週1回の指導では変化が遅い（出典：鬼管理専門塾「鬼管理」とは） 独学や参考書だけでも、正弦定理の公式と例題は学べます。しかし、自分が「3辺なら毎回余弦定理を選んで計算が長くなる」「直角三角形なのに一般公式から始める」「2Rを落とす」といった癖を客観的に集計するのは簡単ではありません。情報を得ても、翌日から解く問題数や復習の順番が変わらなければ行動は変わらず、限界①に当たります。管理者がいないため、間違えた類題をいつ解き直すかも本人任せになり、限界③も残ります。 映像授業や学習アプリは、円周角から正弦定理を導く過程を視覚的に理解する助けになります。一方で、動画を見終えたことと、条件の異なる5題を自力で分類できることは同じではありません。標準化された解説は、あなた固有の「辺と角の対応ミス」や「ヘロンの半周長ミス」を毎日追跡し、翌日の課題量へ反映するわけではないため限界①と②が残ります。 集団授業の大手予備校は、正弦定理・余弦定理・面積公式を体系的に教えます。しかし授業はクラス全体の進度で進むため、ある生徒には直接代入の演習が多すぎ、別の生徒には3辺問題の反復が不足することがあります。全員同じ課題では個別の誤答分布に合わせにくく限界②に、授業外の解き直しを本人へ委ねれば限界③に当たります。 一般的な個別指導塾は質問しやすくても、面談や授業が週1回だけなら、月曜日に起きた2Rのミスを次の授業まで持ち越す可能性があります。その間に同じ誤りを別の問題へ広げれば、修正のコストは高くなります。教材や進度が定型なら個別の解法選択に十分合わせられず限界②、確認の間隔が長ければ限界③を超えられません。 したがって、必要なのは新しい公式の説明だけではありません。生徒ごとの誤答を基に、その日に解く問題の種類と数を決め、毎日の実行を確認し、毎週のテストで定着を測って計画を修正する仕組みです。独学・映像授業・集団授業・一般的な個別指導を消去法で外すと、この条件を一体で満たす選択肢は、だから鬼管理専門塾しかない、という結論になります。 鬼管理専門塾は、授業を受けた時間ではなく、志望校合格に必要な勉強を毎日実行し、定着まで確認できたかを管理します。外接円の半径のように、理解・解法判断・計算・解き直しが連続する単元へ、公式サイトで確認できる次の6つの特徴を接続します。 「今日やるべきこと」を英単語○語・問題○題のように数値で指示する 得点データをもとに、専属講師が生徒ごとの行動プランを設計する 進捗を毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を検証する 厳格な基準で選考した専属講師陣。講師満足度アンケートは回答1,524件 大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースを展開する LINEで質問でき、Zoomの無料説明会や資料請求で入会前に相談できる 鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。 外接円の半径なら、「対辺と対角の直接代入を5題、3辺からヘロンを使う問題を3題、誤答の解き直しを2題」のように、その日にやる問題の種類と数まで明確にします。何となく数学を勉強する状態をなくし、手を動かす量へ変えます。 全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。 同じ不正解でも、辺と角の対応を誤る生徒、余弦定理の符号で崩れる生徒、平方根の整理が遅い生徒では必要な課題が違います。答案と得点状況から原因を分け、生徒ごとに直接代入・公式連携・計算練習の比率を変えた行動プランを設計します。 日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。 毎日の進捗で予定した問題を解けたかを確認し、毎週の確認テストで、条件を見て解法を選べるかまで測ります。Rの値だけでなく途中式と誤答原因も確認し、基準に届かなければ追加課題と翌週の計画修正につなげます。 講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。 採用率0.6%の専属講師陣が、公式の説明だけで終わらず、答案のどの行で判断がずれたかを具体的に切り分けます。講師満足度アンケート回答1,524件を公開している体制の下で、数学Iの基礎から入試問題への接続まで支援します。 大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。 大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースがあるため、外接円の半径を学ぶ高校1年の基礎固めから、共通テストや個別試験を見据えた大学受験まで、目標と現在地に合う計画へ位置付けられます。 授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。 学習中に「3辺ならどちらのルートを選ぶべきか」「この検算でよいか」と迷ったときはLINEで質問できます。入会前はZoomで保護者同席もできる無料説明会や資料請求を利用し、現在の答案と学習時間から必要な管理内容を相談できます。 鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象と詳細条件は無料説明会で案内しています。まずは無料説明会で、外接円の半径だけでなく、数学Iのどの単元で解法判断や計算が止まるのか、日々の演習へどう落とし込むかを相談してください。指導の考え方は「鬼管理」とは、実際の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。 数学Iの図形問題を得点源にする学習計画を無料説明会で相談しませんか？ 外接円の半径を求める中心公式は、正弦定理a/sin A=b/sin B=c/sin C=2Rです。ただし得点を安定させる鍵は、式を丸暗記することではなく、問題文の条件から向かい合う辺と角の一組を見つける、または余弦定理・面積でその一組を作ることにあります。 最初は条件の分類に時間がかかっても構いません。直接代入、余弦定理との連携、面積ルート、特殊三角形の4種類を混ぜて解き、毎回答案の冒頭に選んだルートを書いてください。公式を思い出す速さではなく、必要な情報を補って検算まで完了する再現性を高めることが、定期テストから大学受験まで通用する対策になります。 A. 三角形の3つの頂点をすべて通る円です。中心は外心といい、3辺の垂直二等分線の交点になります。外心から3頂点までの距離が外接円の半径Rです。 A. 正弦定理a/sin A=b/sin B=c/sin C=2Rを使います。辺aと対角Aが分かるなら、R=a/(2sin A)です。辺と角は必ず向かい合う組を使います。 A. 余弦定理で1つの角のcosを求め、sinへ直して正弦定理を使う方法と、ヘロンの公式で面積Sを求め、R=abc/(4S)へ代入する方法があります。 A. 余弦定理で、その角の向かいの辺を求めます。対辺が求まったら、角と対辺の組を使ってR=a/(2sin A)へ代入します。 A. 斜辺が外接円の直径になるため、半径Rは斜辺の長さの半分です。正弦定理でも、直角の対辺をaとすればR=a/(2sin90°)=a/2と確認できます。 A. 1辺をaとすると各角は60°なので、R=a/(2sin60°)=a/√3=a√3/3です。内接円の半径a√3/6とは異なるので注意してください。 A. 面積公式S=(1/2)bc sin Aからsin A=2S/(bc)を作り、正弦定理のR=a/(2sin A)へ代入するとR=abc/(4S)が得られます。 A. 三角形の各辺は外接円の弦なので、どの辺も直径2R以下になることを確認します。3辺問題なら、余弦定理ルートと面積ルートの2通りで同じ値になるかも確認できます。 本記事監修者 菅澤孝平 シンゲキ株式会社 代表取締役社長 出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
角度 sinの値 R=a/(2sin A)の分母 半径の特徴 30° 1/2 1 R=a 45° √2/2 √2 R=a/√2=a√2/2 60° √3/2 √3 R=a/√3=a√3/3 90° 1 2 R=a/2 120° √3/2 √3 R=a/√3=a√3/3 3辺だけが分かるときの求め方｜余弦定理と面積公式の2ルート
例題：3辺が5、5、6の二等辺三角形
2辺とその間の角が分かるとき｜余弦定理で対辺を作る
例題：b=6、c=8、A=60°の外接円の半径
与えられた条件 最初に使うもの 作る情報 最後の式 1辺とその対角 正弦定理 追加情報なし R=a/(2sin A) 2辺とその間の角 余弦定理 角の対辺 R=a/(2sin A) 3辺 余弦定理 1つの角のsin R=a/(2sin A) 3辺 ヘロンの公式 面積S R=abc/(4S) 直角三角形 直径の性質 斜辺=直径 R=斜辺/2 直角三角形・正三角形なら外接円の半径を即答できる
三角形・角の条件 使う性質 半径R 確認ポイント 直角三角形 斜辺=外接円の直径 斜辺/2 直角の対辺が斜辺 正三角形 各角60° a√3/3 aはどの辺でもよい 角30°と対辺a sin30°=1/2 a Rと対辺が同じ 角45°と対辺a sin45°=√2/2 a√2/2 分母を有理化 角60°と対辺a sin60°=√3/2 a√3/3 分母を有理化 外接円の半径を求める練習問題と解法の見分け方
問題 条件 解法 答え 1 a=8、A=30° R=a/(2sin A) R=8 2 正三角形の1辺が6 R=a√3/3 R=2√3 3 直角三角形の3辺が6、8、10 R=斜辺/2 R=5 4 b=4、c=6、A=60° 余弦定理→正弦定理 R=2√21/3 5 3辺が5、5、8 ヘロン→R=abc/(4S) R=25/6 練習問題1〜3の解説
練習問題4の解説
練習問題5の解説
数学Iの図形問題は「普通の対策」では受からない
独学・参考書のみでは解法選択の偏りを自分で見抜きにくい
映像授業・アプリだけでは答案ごとの誤答原因を追跡できない
集団授業の大手予備校では個人の弱点に合わせた反復量になりにくい
一般的な個別指導塾でも週1回では誤答修正の周期が遅い
鬼管理専門塾の特徴
❶ 1日単位の数値化した学習指示
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開
❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求
まとめ｜外接円の半径は「対辺と対角」を作れば求められる
よくある質問
質問の種類 確認するポイント 定義・基本公式 Q1・Q2 条件別の解法 Q3・Q4 特殊な三角形 Q5・Q6 公式の導出・検算 Q7・Q8 Q. 三角形の外接円とは何ですか？
Q. 外接円の半径を求める公式は何ですか？
Q. 3辺しか分からないとき、外接円の半径はどう求めますか？
Q. 2辺とその間の角が分かるときは何から始めますか？
Q. 直角三角形の外接円の半径はどう求めますか？
Q. 正三角形の外接円の半径はどう求めますか？
Q. R=abc/(4S)はどこから出てくる公式ですか？
Q. 外接円の半径の答えを検算する方法はありますか？
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映
