万有引力の法則とは？公式・位置エネルギー・重力との違いを例題で解説【高校物理】

万有引力の問題は、公式の文字だけを暗記すると、距離の取り方と位置エネルギーの符号でつまずきやすい分野です。先に結論を言えば、力の大きさはF=GMm/r²、無限遠を基準にした位置エネルギーはU=-GMm/rです。本記事では、NISTの現行CODATAとNASAの教材・技術資料で数値と関係式を確認し、高校物理の答案でどの式をいつ使うかまで段階的に解説します。

万有引力の法則とは？公式を最初に確認

質量M[kg]とm[kg]の2物体が、中心間距離r[m]だけ離れているとき、互いに及ぼす万有引力の大きさF[N]はF=GMm/r²です。Gは万有引力定数で、NISTが公開する2022 CODATA推奨値は6.67430×10^-11 m³ kg^-1 s^-2です。高校の計算問題では、問題文で6.67×10^-11などの丸め値が与えられたら、その指定値を使います。

NASAの宇宙用語集も、すべての質量が他の質量を引き、力が質量の積に比例し、距離の2乗に反比例すると説明しています。「万有」は天体だけに限るという意味ではありません。机の上の物体同士にも万有引力はあります。ただしGが約10^-11という小さな値なので、日用品同士の力は通常きわめて小さく、地球のような巨大な質量が相手になって初めて身近な大きさとして現れます。

量	記号・単位	答案での確認
万有引力	F [N]	大きさは正の値、向きは相手側
2物体の質量	M, m [kg]	gをkgへ直す
中心間距離	r [m]	表面間距離や高度と混同しない
万有引力定数	G [m³ kg⁻¹ s⁻²]	問題指定の丸め値を優先

公式F=GMm/r²の記号・単位・中心間距離

公式で最も多いミスは、rに「物体の表面から表面までの距離」や「地表からの高さ」をそのまま代入することです。球対称な天体の外側では、その質量が中心に集まった点質量のように扱えるため、rは必ず中心から中心までです。地球の半径をR、地表からの高度をhとすれば、地球中心から物体までの距離はr=R+hになります。地表にあるときもr=0ではなく、ほぼRです。

単位から公式を検算する

Gの単位をm³ kg^-1 s^-2として、GMm/r²へ代入すると、(m³ kg^-1 s^-2)×kg×kg÷m²=kg·m·s^-2=Nです。最後がNになれば、質量と距離の単位は整っています。半径をkmのまま入れたり、質量をgのまま入れたりすると、この単位がそろいません。

ベクトルでは向きも必要になる

F=GMm/r²は力の「大きさ」を表す式です。座標軸を使う問題では、力は相手の物体へ向かいます。例えば地球中心から外向きを正に取ると、物体が受ける力の動径方向成分はF_r=-GMm/r²です。負号は力の大きさが負という意味ではなく、実際の向きが正方向と逆、つまり中心向きであることを示します。

万有引力は質量に比例・距離の2乗に反比例する

F=GMm/r²から、片方の質量Mを2倍にすればFは2倍、両方の質量を2倍にすればFは4倍です。一方、距離rを2倍にすると分母が4倍になるためFは1/4、3倍なら1/9になります。NASAの教育資料でも、距離が2倍になると重力の強さは4分の1になる逆二乗則として説明されています。

変更	新しい力	考え方
Mだけ2倍	2F	質量に比例
Mとmを各2倍	4F	質量の積が4倍
rを2倍	F/4	分母r²が4倍
rを半分	4F	分母r²が1/4
Mを3倍、rを3倍	F/3	3÷3²=1/3

比の問題はG・質量・距離を全部代入しない

条件変更の前後を比べるだけなら、定数Gを数値代入する必要はありません。変更前をF₁=GMm/r²、変更後をF₂=G(αM)(βm)/(γr)²と置けば、F₂/F₁=αβ/γ²です。共通部分が消えるので、指数の扱いに集中できます。

逆二乗則は、地表から離れるにつれて重力加速度が小さくなる理由にも直結します。ただし地表付近で高さhが地球半径Rに比べて非常に小さいときは、R+hとRの差が相対的に小さいため、重力加速度を一定とみなす近似が使えます。この近似が位置エネルギーmghにつながります。

万有引力と重力の違い｜g=GM/R²の導出

地球の質量をM、地球中心から物体までの距離をr、物体の質量をmとします。地球が物体に及ぼす万有引力はF=GMm/r²です。これを運動方程式ma=Fへ代入すると、ma=GMm/r²となり、両辺のmを消してa=GM/r²を得ます。この加速度をgと書けば、g=GM/r²です。地表付近ではrを地球半径Rとみなし、g≈GM/R²になります。

試験物体の質量mが消えるため、空気抵抗を無視すれば、重い物体も軽い物体も同じ場所では同じ加速度で落下します。力F自体はmに比例して重い物体ほど大きくなりますが、運動の変わりにくさを表す慣性質量もmに比例するため、加速度F/mは同じになります。これは「受ける力が同じ」なのではなく、「受ける加速度が同じ」という意味です。

地球の回転を考えると「重力=万有引力」は近似

高校物理の多くの問題では地球の自転を無視し、地表物体に働く重力を万有引力と同一視します。一方、地球と一緒に回転する座標系で実際の見かけの重さを厳密に扱うと、緯度によって遠心力の効果や地球形状の影響が加わります。したがって、問題文に「地球の自転を無視する」とあればF=mg=GMm/R²を使い、自転や緯度を扱う問題では遠心力も別に考えます。

NASA/JPLの地球データでは、地球の質量は約5.9722×10²⁴ kg、平均半径は6371.000 kmです。NISTのGを使ってGM/R²を計算すると約9.82 m/s²となり、NASA Earth Fact Sheetの平均表面重力9.820 m/s²と整合します。数値例では有効数字を問題文に合わせてください。

万有引力による位置エネルギーU=-GMm/r

質量Mの天体から中心間距離rにある質量mの物体について、無限遠を位置エネルギーの基準U=0とすると、万有引力による位置エネルギーはU=-GMm/rです。単位はJです。NASAの技術資料も、衛星の位置エネルギーをU=-GMm/Rとし、無限遠をゼロに選んだため有限距離で負になると説明しています。

位置エネルギーがマイナスになる理由

位置エネルギーの絶対値は、どこをゼロと決めるかで変わります。万有引力では、2物体を無限に遠ざけた状態を0とするのが便利です。有限距離では2物体が引き合って結び付いた状態にあり、無限遠まで引き離すには外力が正の仕事をしなければなりません。つまり有限距離の状態は、無限遠の0より低いエネルギーを持つため、Uは負になります。

距離が大きくなるとUは増える

rが大きくなると-GMm/rの絶対値は小さくなり、例えば-100 Jから-50 Jへ変わります。数値は「大きくなる」ものの、まだ負です。r→∞で初めて0へ近づきます。逆に落下してrが小さくなると、Uはより負になって減少し、その減少分が運動エネルギーへ変わります。

量	公式	距離rが2倍になると
万有引力の大きさ	F=GMm/r²	1/4倍
位置エネルギー	U=-GMm/r	負の値の絶対値が1/2
重力加速度	g=GM/r²	1/4倍

位置エネルギーの求め方｜積分と仕事の関係

外向きを正とすると、万有引力の動径方向成分はF_r=-GMm/r²です。保存力と位置エネルギーの関係F_r=-dU/drを使えば、dU/dr=GMm/r²です。これを無限遠でU(∞)=0という条件のもとで積分すると、U(r)=-GMm/rを得ます。

重力が物体にする仕事W_gは位置エネルギー変化の負で、W_g=-ΔUです。物体を外へゆっくり運ぶとΔU>0なので、重力の仕事は負、外力の仕事は正になります。反対に物体が内側へ落下するとΔU<0で、重力は正の仕事をし、運動エネルギーを増やします。

積分を使わない高校答案の考え方

積分の途中式を求められない問題では、U=-GMm/rを使って始点と終点をそれぞれ計算し、必ず「終点−始点」でΔUを取れば十分です。先にr₁とr₂を中心間距離として図へ書き、U₁、U₂を別行に置くと、分数の順序と負号を間違えにくくなります。

U=-GMm/rとmghの違い・使い分け

U=mghとU=-GMm/rは矛盾する別の公式ではありません。U=-GMm/rは球対称な天体の外側で広い距離範囲に使える式です。一方、mghは地表付近でgを一定とみなしたときの「位置エネルギーの差」を表す近似式です。基準を地表h=0に選べば、その基準から高さhまで上げたときの増加量をmghと書けます。

地球半径をR、地表からの高さをhとすると、正確な増加量はΔU=GMm(1/R-1/(R+h))=GMmh/{R(R+h)}です。hがRより十分小さければR+h≈Rなので、ΔU≈GMmh/R²となります。地表でg=GM/R²だから、ΔU≈mghが得られます。

場面	使う式	基準・条件
教室・建物など地表付近	ΔU=mgh	h≪R、gを一定とみなす
人工衛星・惑星間	U=-GMm/r	無限遠をU=0、rは中心間距離
地表から高い軌道への移動	ΔU=GMm(1/R-1/(R+h))	gの変化を含める
基準を任意の高さに置く	ΔUを使う	絶対値でなく差を比較

どちらを使うか判断する3つの質問

位置エネルギー全般の3公式と基準の選び方は、既存記事の位置エネルギーとは？公式3つと使い分けでも整理しています。ばねの弾性力による位置エネルギーと比較すると、保存力ごとにUの形が変わる一方、仕事が-ΔUになる原則は共通だと分かります。

力学的エネルギー保存・円運動・脱出速度への応用

空気抵抗や推進力がなく、万有引力だけが仕事をするなら、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和E=K+U=(1/2)mv²-GMm/rは保存されます。内側へ落下してUが減ればKが増え、外側へ上がってUが増えればKが減ります。速度と距離を別々の公式として覚えるより、このエネルギー保存を軸にすると応用へつながります。

円軌道の速さ

半径rの円軌道では、万有引力が向心力になります。GMm/r²=mv²/rより、v=√(GM/r)です。衛星の質量mが消えるため、同じ中心天体の同じ軌道半径なら、理想化した円軌道の速さは衛星の質量によらず同じです。円軌道ではK=GMm/(2r)となり、U=-GMm/rなので、全エネルギーはE=-GMm/(2r)です。

脱出速度

地表半径Rから打ち上げ、無限遠で速度がちょうど0になる最小条件は、初めの全エネルギーが0になることです。(1/2)mv²-GMm/R=0を解くと、v=√(2GM/R)を得ます。大気抵抗や天体の自転を無視した理想式であり、円軌道速度√(GM/R)の√2倍です。

地球近くの円軌道速度の具体的な導出は第一宇宙速度7.9km/sの求め方で詳しく解説しています。また、gを使う自由落下や鉛直投射の整理は重力加速度の求め方を参照すると、地表近似と宇宙規模の式の境界がつかみやすくなります。

万有引力の計算例題と入試問題の解き方

例題1：2物体間の万有引力

質量5.0 kgと8.0 kgの物体が中心間距離2.0 mで離れているとします。G=6.67430×10^-11 m³ kg^-1 s^-2を使うと、F=G×5.0×8.0/(2.0)²=6.67430×10^-10 Nです。2物体が受ける力の大きさは同じで、向きは互いに相手へ向かいます。

例題2：距離と質量が同時に変わる

一方の質量を3倍、もう一方を2倍、中心間距離を4倍にしたとき、新しい力F′と元の力Fの比を求めます。F′/F=(3×2)/4²=6/16=3/8です。Gや元の質量を代入する必要はありません。分子は質量倍率の積、分母は距離倍率の2乗、と分けるのがポイントです。

例題3：地表から半径と同じ高さまで上げる仕事

天体半径をR、質量をM、物体の質量をmとし、地表r₁=Rから高さR、つまりr₂=2Rまでゆっくり上げます。位置エネルギーの増加はΔU=GMm(1/R-1/2R)=GMm/(2R)です。外力がゆっくり運ぶなら外力の仕事は+GMm/(2R)、重力の仕事は-GMm/(2R)です。高さがRと同程度なのでmghは使いません。

例題4：落下前後の速度

質量mの物体を中心間距離r₁で静かに放し、r₂(<r₁)まで落下させるとします。エネルギー保存より-GMm/r₁=(1/2)mv²-GMm/r₂です。mを消して整理するとv=√{2GM(1/r₂-1/r₁)}となります。内側ほど1/rが大きくなるので根号内は正です。

典型的な5つの誤答

誤答	なぜ誤りか	修正
rに高度hだけを入れる	中心間距離ではない	r=R+h
距離2倍で力1/2	逆二乗を忘れている	Fは1/4
U=+GMm/r	無限遠基準の負号を落としている	U=-GMm/r
力も加速度も質量によらない	Fはmに比例する	a=F/mだけがmに依存しない
宇宙規模でmgh	g一定近似が崩れる	U=-GMm/rで差を取る

大学受験物理は「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を一覧で覚え、授業を聞き、問題集の答えを読むという「普通の対策」だけでは、大学受験物理で安定して合格点を取るのは厳しいです。万有引力だけでも、中心間距離、逆二乗、位置エネルギーの負号、mgh近似、向心力、エネルギー保存を問題条件に応じて接続する必要があります。

この記事で扱った4つの例題でも、同じGMmという文字が、F=GMm/r²、U=-GMm/r、g=GM/r²、v=√(GM/r)と役割を変えました。得点を分けるのは公式を見た回数ではなく、問題を読んで距離を定義し、式を選び、誤答を修正する行動を毎日反復できるかどうかです。

ここで、鬼管理専門塾が公式ページで示す「従来塾の3つの限界」——①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い——に沿って、受験生が選びやすい対策を消去法で確認します。

選択肢①：独学・参考書だけでは弱点の発見と修正が遅れる

独学や参考書は知識を得るには有効ですが、①の「情報を得ても行動は変わらない」という限界に当たります。万有引力の式を読んだだけでは、r=R+hを書く、Uの負号を確認する、翌日に類題を解き直すという行動は自動化されません。さらに誤答原因を自分だけで分類すると、理解不足と計算ミスを取り違えたまま進む危険があります。

選択肢②：映像授業・アプリだけでは演習の実行量を保証できない

映像授業やアプリも①の限界を抱えます。導出を見て分かった感覚になっても、自分の手で図を描き、中心間距離を置き、符号を検算する演習まで実行しなければ得点には変わりません。全員が同じ動画と標準問題を同じ順に進めるだけなら、②の「全員同じ指導」の限界も残ります。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る

集団授業の大手予備校では、同じ時間に同じ説明を受けるため②の限界に当たります。ある生徒は単位換算、別の生徒はエネルギー保存、別の生徒は円運動との接続で止まっていても、授業の進度は個々の弱点だけに合わせてはくれません。理解の穴が異なる物理では、この差が累積します。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1回の修正では遅い

一般的な個別指導塾で授業中に質問できても、授業外の6日間が本人任せなら③の「週1指導では変化が遅い」限界に当たります。月曜に万有引力の負号を間違え、次の指導日まで同じ考え方で類題を解き続ければ、誤った手順が習慣になります。受験物理では、誤答した当日か翌日に原因を特定して計画を直す速度が必要です。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、どれにも「毎日何を解き、誤答をいつ直すか」を生徒別に管理する仕組みが不足します。だから、大学受験物理を合格点まで引き上げる選択肢として最後に残るのは、1日単位の個別行動を管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を増やすだけでなく、受験生が毎日実行する学習を数値化し、個別計画と確認テストで修正する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる6つの特徴を、万有引力を含む大学受験物理の学習へどう接続できるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

万有引力なら、公式を読むだけで終わらせず、中心間距離を置く問題、位置エネルギーの符号を判定する問題などを、その日の題数まで決めて実行できます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

現在の模試や答案から、単位換算、力学的エネルギー、円運動のどこで失点しているかを分け、本人だけの物理の行動プランへ反映できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

万有引力の類題を解いた翌日と週末に確認し、rの置き方や負号を再び誤った場合は、その週のうちに追加演習と計画修正へつなげられます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

導出と典型解法の両方が必要な大学受験物理では、難関大学入試を理解する専属講師へ答案の式選択や途中過程まで相談できることが計画精度を高めます。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部・入試方式ごとの専門コースを選べるため、志望校の物理の配点や出題傾向に合わせ、力学の優先度と他科目の時間配分を設計できます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

万有引力の問題で式の選択に迷った時もLINEで質問でき、入会前はZoomの無料説明会に保護者同席で参加し、学習管理の進め方を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。英語資格コースなど全コース共通の制度ではないため、対象条件は無料説明会で確認してください。無料説明会ではZoomで保護者同席もでき、現在の物理の答案や学習時間をもとに相談できます。

毎日の学習を数値化する考え方は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、実際の進学例は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜中心間距離とエネルギーの基準を固定する

要点	結論
万有引力の大きさ	F=GMm/r²
距離r	物体・天体の中心間距離
重力加速度	g=GM/r²。試験物体の質量によらない
位置エネルギー	無限遠基準でU=-GMm/r
位置エネルギー差	ΔU=GMm(1/r1-1/r2)
地表近似	h≪RならΔU≈mgh
円軌道速度	v=√(GM/r)
脱出速度	v=√(2GM/R)

万有引力で最優先すべきことは、rを中心間距離として図に置くことです。次に、力を求めるなら1/r²、位置エネルギーなら無限遠を0として-1/r、速度なら運動方程式か力学的エネルギー保存を選びます。mghは地表付近でgを一定とみなせるときの近似であり、人工衛星のように高さが天体半径と同程度なら使いません。

答案では、①中心と距離を図示、②求める量を分類、③文字式を整理、④SI単位へ変換、⑤符号・次元・極限を検算、の順を固定してください。公式を単独で暗記するのではなく、F→g、F→U、U+K→軌道という接続を毎回自力で再現できれば、条件が変わる入試問題にも対応できます。

よくある質問

Q. 万有引力の公式は何ですか？

A. 質量Mとmの2物体が中心間距離rだけ離れているとき、力の大きさはF=GMm/r²です。Gは万有引力定数で、2022 CODATA推奨値は6.67430×10^-11 m³ kg^-1 s^-2です。

Q. 万有引力の距離rは地表からの高さですか？

A. いいえ。rは2物体の中心間距離です。地球半径をR、地表からの高度をhとすればr=R+hです。地表にある物体でもr=0ではなく、ほぼRになります。

Q. 万有引力と重力は同じですか？

A. 地球の自転を無視する高校物理の問題では、地表物体の重力を万有引力と同一視してF=mg=GMm/R²とします。自転する地球上の見かけの重さを厳密に扱う場合は、遠心力や地球形状の影響も考えます。

Q. 万有引力による位置エネルギーが負なのはなぜですか？

A. 無限遠でU=0と基準を選ぶからです。有限距離の2物体を無限遠まで引き離すには外力が正の仕事をするため、有限距離の状態は基準より低く、U=-GMm/rという負の値になります。

Q. U=-GMm/rとmghはどう使い分けますか？

A. 人工衛星など広い距離範囲ではU=-GMm/rを使います。高さhが天体半径Rより十分小さく、gを一定とみなせる地表付近では、位置エネルギーの増加量をΔU≈mghと近似できます。

Q. 万有引力定数Gと重力加速度gの違いは何ですか？

A. Gはどこでも共通の比例定数です。gは場所ごとの重力加速度で、中心天体の質量Mと中心からの距離rによりg=GM/r²と変化します。記号の大文字・小文字と単位を区別してください。

Q. 万有引力から円軌道の速さをどう求めますか？

A. 円軌道では万有引力を向心力としてGMm/r²=mv²/rと置きます。mを消して整理するとv=√(GM/r)です。脱出速度はエネルギー保存からv=√(2GM/R)となります。