Claude Code 
第一宇宙速度が7.9km/sになると暗記しましたが、なぜその速さで人工衛星になれるのか分かりません。万有引力、向心力、重力加速度の式が出てくると、どれを使えばよいか迷います。
第一宇宙速度は丸暗記する数値ではない。地表すれすれの円軌道で、万有引力が円運動に必要な向心力をちょうど担う条件から求められる。この記事では、落ち続ける人工衛星のイメージから公式を導き、v=sqrt(GM/R)とv=sqrt(gR)のつながり、7.9km/sの計算、第二宇宙速度との違いまで順に整理するよ。
第一宇宙速度とは、空気抵抗を無視した理想条件で、物体が地表すれすれの円軌道を回るために必要な速さです。JAXAはおよそ7.9km/s、時速では約28,000kmと説明しています。大切なのは「重力を振り切る速さ」ではなく、重力で落下しながら地球の丸みに沿って周回する速さだという点です。まず定義と数値の意味を押さえ、その後で万有引力と円運動から公式を一本ずつ組み立てます。
目次
第一宇宙速度とは？地表すれすれを回る速さ
地球の質量をM、半径をR、人工衛星の質量をmとします。第一宇宙速度は、地球の中心から距離R、つまり地表すれすれの位置で円軌道を保つ理想的な速さです。JAXAの教材ではV1=sqrt(GM/R)=7.9km/sと示され、別のJAXA解説では人工衛星が地球に落ちないで周回できる速さと説明されています。現実の地表には大気と地形があるため、実際に地表すれすれを回るという意味ではなく、円軌道速度の基準を示すモデルです。
7.9km/sは「宇宙へ上がるための鉛直方向の速さ」ですか？ロケットは上向きに飛ぶので、そう見えます。
第一宇宙速度で重要なのは地球中心に対して接線方向、つまり横向きの速さだ。円軌道では速度は接線方向、万有引力は中心方向を向く。ロケットは大気圏を抜けながら進行方向を徐々に横へ変え、必要な軌道速度を得る。単に真上へ7.9km/sで投げる条件とは別物だと区別しよう。
| 確認項目 | 第一宇宙速度での意味 | 誤解しやすい意味 |
|---|---|---|
| 速さ | 地表基準で約7.9km/s | どの高度でも常に7.9km/s |
| 向き | 円軌道の接線方向 | 鉛直上向き |
| 重力 | 向心力として働く | 重力が消える |
| 軌道 | 理想的な地表すれすれの円 | 地球から無限遠へ脱出 |
| 前提 | 空気抵抗を無視 | 地表でそのまま実現可能 |
📚 用語解説
第一宇宙速度：中心天体の表面すれすれを円運動するための速さです。地球では約7.9km/sで、v1=sqrt(GM/R)=sqrt(gR)と表せます。天体の質量Mと半径Rによって値は変わります。
1秒に7.9km進むので、1時間では7.9×3600=28,440kmです。JAXAの一般向け解説では丸めて約28,000km/hと示されています。単位換算ではkm/sをm/sに直す必要がある場面も確認してください。
なぜ人工衛星は落ちない？「落ち続ける円運動」で理解
人工衛星にも地球の重力は働いています。重力がなくなるから浮いているのではありません。物体を水平に投げると、重力によって下へ落ちながら前へ進みます。初速を大きくすると、落ちるまでに進む水平距離が伸びます。地球は球形なので、十分に速ければ物体が落ちる分だけ地表も下へ曲がり、物体は地表へ近づききらないまま地球の周りを回ります。これが「落ち続ける」という説明の中身です。
円運動なら外向きの遠心力と内向きの万有引力がつり合う、と書いてもよいのでしょうか？
地上の慣性系から運動方程式を立てるなら、実在する万有引力が内向きの向心力を担うと書くのが明確だ。衛星と一緒に回る回転座標系では遠心力を導入してつり合いとして説明できるが、二つの立場を同じ式の中で混ぜてはいけない。高校物理の導出ではGMm/r²=mv²/rと置こう。
| 見る立場 | 使う力・考え方 | 円軌道の説明 |
|---|---|---|
| 地上の慣性系 | 万有引力 | 万有引力が向心力を担う |
| 衛星と回る座標系 | 万有引力と遠心力 | 見かけ上つり合う |
| 混同した式 | 向心力と遠心力を同時加算 | 同じ役割を二重に数える危険 |
向心力とは、円運動に必要な中心向きの合力につけた役割名です。人工衛星では万有引力がその役割を担います。糸で回す物体なら張力、カーブを曲がる車なら摩擦力が向心力を担うことがあります。
📚 用語解説
向心力：物体の速度の向きを変え、円軌道の中心へ向かわせる合力です。大きさはmv²/rで表されます。人工衛星の円運動では、地球から受ける万有引力が向心力です。
軌道上の衛星は重力を受けて自由落下しています。衛星と内部の物体が一緒に落ちるため、内部では浮いて見えます。第一宇宙速度の計算で重力を0とすると、円運動を曲げる力まで失われてしまいます。
第一宇宙速度の公式を万有引力と向心力から導く
国立天文台の解説どおり、質量Mとmの物体が距離rだけ離れたとき、万有引力の大きさはF=GMm/r²です。一方、質量mの物体が半径r、速さvで等速円運動するために必要な向心力はmv²/rです。円軌道では万有引力が向心力をすべて担うので、GMm/r²=mv²/rと置けます。地表すれすれならr=Rです。
GMm/R²=mv²/Rから、どのように平方根の公式へ変形するのか途中式を確認したいです。
両辺にある衛星の質量mを消し、さらに両辺へRを掛けるとGM/R=v²になる。速さは負でないので、平方根を取ってv=sqrt(GM/R)だ。mが消えるため、同じ半径の円軌道なら重い衛星も軽い衛星も同じ軌道速度になる。質量が大きいほど万有引力も必要な向心力も同じ割合で大きくなるからだ。
| 記号 | 意味 | SI単位 |
|---|---|---|
| G | 万有引力定数 | m³/(kg・s²) |
| M | 中心天体の質量 | kg |
| m | 人工衛星の質量 | kg |
| R | 中心天体の半径 | m |
| v | 第一宇宙速度 | m/s |
📚 用語解説
万有引力：質量を持つ二つの物体が互いに引き合う力です。大きさはF=GMm/r²で、二物体の質量に比例し、中心間距離rの2乗に反比例します。地球と人工衛星の間でもこの力が働きます。
mを2倍にすると万有引力GMm/R²も、同じ円運動に必要な向心力mv²/Rも2倍になります。両方が同じ割合で変わるため、必要な速さvはmに依存しません。式変形だけでなく比例関係も確認しましょう。
v=sqrt(gR)で7.9km/sを求める計算
地表で質量mの物体に働く重力mgは、万有引力GMm/R²と同じです。mg=GMm/R²からmを消すとg=GM/R²、したがってGM=gR²です。これをv=sqrt(GM/R)へ代入すると、v=sqrt(gR²/R)=sqrt(gR)になります。地球の質量Mや万有引力定数Gを直接使わず、地表の重力加速度gと地球半径Rだけで計算できる形です。
地球半径6378kmをそのまま9.8m/s²に掛けてもよいですか？数字は計算できそうです。
単位がkmとmで混ざるので、そのままではいけない。6378km=6.378×10⁶mへ直し、gR=9.8×6.378×10⁶=6.25044×10⁷m²/s²とする。平方根を取ると約7.91×10³m/s、つまり約7.91km/sだ。平方根を取る前後で10の指数も確認しよう。
| 計算段階 | 式 | 値・単位 |
|---|---|---|
| 半径を換算 | 6378km×1000 | 6.378×10⁶m |
| 積を計算 | 9.8×6.378×10⁶ | 6.25044×10⁷m²/s² |
| 平方根 | sqrt(6.25044×10⁷) | 約7.91×10³m/s |
| km/sへ換算 | 7.91×10³÷1000 | 約7.91km/s |
| 時速の目安 | 7.91×3600 | 約2.85×10⁴km/h |
gRの単位は(m/s²)×m=m²/s²です。その平方根はm/sとなり、速さの単位に一致します。答えがm²/s²のままなら平方根を取り忘れ、m/s²なら半径を掛け忘れた可能性があります。
g=9.8m/s²、R=6.4×10⁶mを使えば約7.9×10³m/sです。より細かな値を使って桁を増やしても、与えられた値の精度を超えた正確さにはなりません。入試では指定値の有効数字に合わせて答えます。
高度が上がると軌道速度はどう変わる？周期との関係
地表から高度hの円軌道では、地球中心からの距離はr=R+hです。万有引力と向心力を等置すると、軌道速度はv=sqrt(GM/r)=sqrt{GM/(R+h)}になります。分母のrが大きくなるほどvは小さくなるため、JAXAも円軌道では高度が高いほど周回速度は遅いと説明しています。第一宇宙速度7.9km/sはr=Rにおける基準値で、すべての人工衛星が同じ速さという意味ではありません。
- 中心距離2R: 第一宇宙速度の1/sqrt2
高い軌道ほど速度が遅いなら、一周する時間も短くなるのでしょうか？進む距離との関係が混乱します。
逆で、高い軌道ほど一周の距離2πrは長く、しかも速度vは小さいから周期Tは長くなる。T=2πr/vへv=sqrt(GM/r)を入れると、T=2πsqrt(r³/GM)だ。地表モデルでは計算上約84分だが、JAXAの一般向け説明のように低い地球周回軌道を含めた目安では約90分と捉えるとよい。
| 中心からの距離r | 軌道速度v | 周期T | 理由 |
|---|---|---|---|
| 小さい | 大きい | 短い | 重力が強く周回距離も短い |
| 大きい | 小さい | 長い | 重力が弱く周回距離も長い |
| r=R | 第一宇宙速度 | 理想地表モデルの最短側 | 空気抵抗を無視した基準 |
JAXA教材のGM=3.986×10⁵km³/s²、R=6378kmを使うと、r=6778kmです。v=sqrt(3.986×10⁵/6778)≈7.67km/s、T=2πr/v≈5550s≈92.5分となります。これは数式上の円軌道モデルによる計算値です。
📚 用語解説
軌道周期：人工衛星が中心天体の周りを一周する時間です。円軌道ではT=2πr/vで、v=sqrt(GM/r)を代入するとT=2πsqrt(r³/GM)になります。
万有引力の距離rは地表からの高度ではなく、地球中心から衛星までの距離です。高度hが与えられたらr=R+hへ直してから公式へ代入します。高度400kmをr=400kmとしてはいけません。
第一宇宙速度と第二宇宙速度の違い
第一宇宙速度は地表すれすれの円軌道へ入る速さで、v1=sqrt(GM/R)≈7.9km/sです。第二宇宙速度は地表から出発した物体が、追加の推進なしで地球の重力から脱出できる最小の初速で、v2=sqrt(2GM/R)=sqrt2・v1≈11.2km/sです。JAXA教材にも両式と数値が掲載されています。一方は円運動の力の条件、もう一方は無限遠まで届く力学的エネルギーの条件から求めます。
第一宇宙速度を超えたら、すぐ地球から脱出するのですか？7.9km/sより速ければ十分に見えます。
第一と第二の間なら、地表で水平に与える理想モデルでは円より外へ膨らんだ楕円軌道になり得るが、無限遠へ脱出するエネルギーには届かない。第一宇宙速度は「周回の基準」、第二宇宙速度は「脱出の基準」だ。速さの大小だけでなく、何を達成する条件かを式とセットで覚えよう。
| 比較項目 | 第一宇宙速度 | 第二宇宙速度 |
|---|---|---|
| 目的 | 地表すれすれの円軌道 | 地球の重力から脱出 |
| 公式 | sqrt(GM/R) | sqrt(2GM/R) |
| 地球での値 | 約7.9km/s | 約11.2km/s |
| 導出の中心 | 万有引力=向心力 | 力学的エネルギー |
| 比 | 1 | sqrt2 |
📚 用語解説
第二宇宙速度：物体が中心天体の重力から脱出するために必要な最小の初速で、脱出速度とも呼ばれます。地球表面では約11.2km/sで、第一宇宙速度のsqrt2倍です。
第二宇宙速度のエネルギーによる導出や、なぜsqrt2倍になるかを詳しく確認したい人は、第二宇宙速度11.2km/sの求め方と第一宇宙速度との違いへ進んでください。本記事の円運動による条件と並べると、二つの公式を混同しにくくなります。
第一宇宙速度の計算例題4選
公式を覚えた後は、与えられた量に応じてsqrt(GM/r)とsqrt(gR)を選びます。地表のgとRが与えられたらsqrt(gR)、中心天体のMと軌道半径rが与えられたらsqrt(GM/r)が直接です。高度hが出たらr=R+hへ直し、周期を問われたらT=2πr/vまでつなげます。以下の4題は、式を選ぶ根拠も含めて解いてください。
sqrt(gR)とsqrt(GM/R)のどちらを使うか、問題文を読んだ時点で決めるコツはありますか？
与えられた量を丸で囲もう。gとRがあればsqrt(gR)、G・M・rがあればsqrt(GM/r)だ。どちらも同じ円軌道条件を別の形で書いただけなので、使わない数値があっても問題はない。ただし高度hだけでは中心からの距離にならないため、必ずRを足してrを作る。
例題1：g=9.8m/s²、R=6.4×10⁶mの地球
地表のgとRが与えられているのでv=sqrt(gR)を使います。v=sqrt(9.8×6.4×10⁶)=sqrt(6.272×10⁷)≈7.9×10³m/sです。1000で割ると約7.9km/sです。答えの単位がm/sかkm/sかを最後に確認し、JAXAの示す目安7.9km/sと一致することも検算になります。
例題2：g=3.7m/s²、R=3.4×10⁶mの仮想天体
同じくv=sqrt(gR)を使い、v=sqrt(3.7×3.4×10⁶)=sqrt(1.258×10⁷)≈3.55×10³m/sです。したがって第一宇宙速度は約3.55km/sです。地球よりgもRも小さい条件なので、地球の約7.9km/sより小さくなるという大小関係とも一致します。この問題は計算練習用の仮想条件です。
例題3：地球の高度400kmを回る円軌道
地球半径R=6378km、高度h=400kmなら、中心からの距離はr=6778kmです。GM=3.986×10⁵km³/s²を用い、v=sqrt(GM/r)=sqrt(3.986×10⁵/6778)≈7.67km/sです。第一宇宙速度7.91km/sより少し小さいのは、高度が上がるほど重力が弱くなるためです。
例題4：高度400kmの円軌道の周期
一周の長さは2πrなので、T=2πr/vです。r=6778km、v≈7.67km/sを代入すると、T≈2π×6778÷7.67≈5550sです。60で割ると約92.5分になります。kmとkm/sを組み合わせたため、結果の単位は秒です。周期では円周2πrを半径rだけで済ませないよう注意します。
GMm/r²=mv²/rへ最初から数字を入れると、mやrの約分を見落としやすくなります。まずv=sqrt(GM/r)まで文字で整理し、その後に単位をそろえた数値を代入すると、計算過程を検算しやすくなります。
第一宇宙速度でよくある8つの間違い
第一宇宙速度の失点は、公式暗記よりも前提と単位の混同から生じます。特に「重力がなくなる」「向心力という別の力を加える」「高度hをそのままrにする」の3つは、途中の数値がもっともらしくても考え方が崩れています。誤答を定義、力、距離、単位、目的の5種類へ分類し、同じ原因の問題を解き直してください。
答えが7.9になったら正解と思ってよいですか？同じ数字でも単位や式が違うことがあります。
数字だけでは判定できない。7.9m/sと7.9km/sは1000倍違い、v²=GM/Rで止めれば速さではなく速さの二乗だ。さらに、第二宇宙速度を問われているのに7.9km/sなら目的を取り違えている。式、単位、物理的な意味の3点がそろって初めて正解になる。
| よくある間違い | 誤りの理由 | 修正方法 |
|---|---|---|
| 第一宇宙速度を上向きの速さとする | 円軌道では接線方向が重要 | 速度と重力の向きを図示 |
| 軌道上では重力が0とする | 重力が向心力を担う | GMm/r²を残す |
| 向心力を万有引力に追加する | 向心力は合力の役割名 | GMm/r²=mv²/rと等置 |
| 衛星質量mを答えに残す | 両辺に共通して約分される | 文字式を先に整理 |
| 高度hをrとして代入する | 距離は地球中心から測る | r=R+hへ直す |
| kmとmを混在させる | 単位系が一致しない | 代入前に単位統一 |
| 平方根を取り忘れる | 整理後はv²=GM/R | 次元がm/sか確認 |
| 第二宇宙速度と混同する | 周回と脱出は別条件 | 目的と公式を対にする |
回転座標系では遠心力と万有引力のつり合いとして説明できますが、地上の慣性系では万有引力が向心力を担うと考えます。一つの導出の途中で二つの立場を切り替えないでください。
「計算ミス」ではなく、「R+h」「km→m」「sqrt忘れ」「第一と第二」のように原因を具体化します。翌日に同じ原因を含む数値違いの問題を解くと、手順が直ったかを確認できます。
第一宇宙速度の問題を解く5ステップ
入試では「第一宇宙速度を求めよ」と直接聞かれるだけでなく、人工衛星の速さ、周期、別天体での比、第二宇宙速度との関係として出題されます。問題文から目的と既知量を抽出し、観測者の立場、中心からの距離、単位を固定すれば、式は自然に決まります。次の5ステップを毎回同じ順序で書き、判断を再現できるようにします。
公式は分かっても、比を求める問題や別天体の問題になると数字を全部代入してしまいます。
比の問題では文字式のまま割る方が速い。v=sqrt(GM/R)だから、同じ質量Mで半径が4倍なら速度は1/2倍、同じ半径Rで質量が9倍なら3倍だ。周期ならTがsqrt(r³/M)に比例する。数値代入の前に比例関係を読み、共通因子を消せば計算量と転記ミスを減らせる。
| 問題文の手掛かり | 最初に書く式 | 検算ポイント |
|---|---|---|
| 地表のgとR | v=sqrt(gR) | gRの単位がm²/s² |
| G、M、軌道半径r | v=sqrt(GM/r) | rが大きいほどvは小さい |
| 高度h | r=R+h | 中心からの距離か |
| 一周する時間 | T=2πr/v | 円周を速さで割ったか |
| 脱出・第二宇宙速度 | v2=sqrt2・v1 | 周回条件と混同していないか |
| 二つの天体の比 | v∝sqrt(M/R) | 共通定数Gを消したか |
円運動のv=rωや周期T=2π/ωとのつながりを復習したい場合は、角速度の求め方とω・v・rの関係も確認してください。第一宇宙速度の式を、向心加速度rω²や周期の式へ変形する問題に対応しやすくなります。
v∝sqrt(M/r)なので、中心天体の質量Mが増えれば速く、軌道半径rが増えれば遅くなります。計算前に増減を予測しておくと、分子と分母の取り違えや高度の足し忘れを検出できます。
第一宇宙速度は「普通の対策」では受からない
結論から言います。7.9km/sという答えとv=sqrt(gR)だけを覚える「普通の対策」では、第一宇宙速度を含む入試物理で得点し、志望大学へ受かるのは厳しいです。本記事だけでも、円軌道の定義、万有引力と向心力、二つの公式、高度による変化、周期、第二宇宙速度との区別が連結しています。必要なのは、条件が変わっても中心からの距離を決め、文字式を導き、単位と大小で検算する行動の再現です。
実際に、本記事で整理した8つの典型ミスは、公式を知っているだけでは防げません。高度hをrへ直接入れる、重力と向心力を別々に足す、第一と第二の目的を混同する誤りは、答案の途中を日々確認して初めて修正できます。ここからは、代表的な学習手段を「従来塾の3つの限界」に当てはめ、第一宇宙速度を入試で使える力へ変えられるか一つずつ検討します。
選択肢①：独学・参考書のみでは行動修正が続かない
独学や参考書だけでも公式の情報は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解説を読んで納得した状態と、白紙からGMm/r²=mv²/rを再現できる状態は別です。誤答原因をR+h、単位、平方根まで分類しなければ、次の演習も同じ読み方になります。
選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が立式へ変わりにくい
映像授業やアプリは人工衛星の動きを視覚的に理解しやすい一方、見た時間が増えても、自力で力の向きを図示し文字式を導く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。単位で止まる生徒と力の等置で止まる生徒には、別々の復習が必要です。
選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る
集団授業の大手予備校は体系的な説明を受けられますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が次の単元へ進んでも、ある生徒は向心力を二重に数え、別の生徒は高度を中心距離と誤読します。一斉の進度だけでは、生徒ごとの誤答原因を翌日の問題数や解き直し範囲へ細かく反映しきれません。
選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い
一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日にr=R+hを直しても、翌日から同じ誤りを繰り返し、次の確認が一週間後なら間違った手順が定着しかねません。第一宇宙速度は万有引力・円運動・エネルギーへつながるため、修正の遅れが複数単元へ広がります。
独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「情報を立式行動へ変える」「弱点別に課題を変える」「誤りを毎日すぐ直す」のどこかが不足します。だから、第一宇宙速度を含む力学を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。
鬼管理専門塾の特徴
鬼管理専門塾は、授業や教材を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、第一宇宙速度を含む大学受験物理の対策へどうつながるかと合わせて説明します。
教材名・問題数・復習範囲まで、今日の学習を具体的な数値で示す
現在地・志望校・誤答原因に合わせ、個別の行動プランを設計する
日々の進捗と毎週の確認テストで、理解と定着を検証する
厳格な選考を通過した講師が伴走し、満足度アンケート1,524件も公開する
大学受験・総合型選抜/推薦・英語資格・高校受験に対応する
LINEの質問窓口とZoomの無料説明会、資料請求を用意する
❶ 1日単位で数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、「物理を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。
第一宇宙速度なら、「公式を読む」で終わらず、導出を白紙で何回再現し、高度問題を何題解き、単位ミスをいつ解き直すかまで行動にできます。知っている公式を答案で使える手順へ変える助けになります。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。
物理でも、万有引力の式は書けるが円運動へつなげられない生徒と、導出はできるがkmとmを混ぜる生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断を重点的に直すかを分けて時間を配分できます。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。
第一宇宙速度の基本問題を一度解けても、1週間後に高度や周期、第二宇宙速度と組み合わさって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストで、理解直後と時間が経った後の両方を確認できます。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。
第一宇宙速度の答案では、最終数値より前の力の向き、r=R+h、式変形に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示して確認することで、答え合わせだけでは見逃す考え方の癖を早く修正できます。
❺ 大学受験から英語資格までの専門コース
専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。
本記事の読者が大学受験コースで物理を使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、円運動、万有引力、力学的エネルギーをどの順で仕上げるか逆算できます。
❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求
学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。
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まとめ｜第一宇宙速度は万有引力と円運動を結ぶ
| 確認すること | 要点 |
|---|---|
| 定義 | 地表すれすれの円軌道を保つ理想的な速さ |
| 地球での値 | 約7.9km/s、約28,000km/h |
| 基本公式 | v=sqrt(GM/R) |
| gを使う公式 | v=sqrt(gR) |
| 高度hの円軌道 | r=R+h、v=sqrt(GM/r) |
| 第二宇宙速度 | sqrt2倍の約11.2km/sで目的は脱出 |
第一宇宙速度は、重力を振り切る速さではありません。人工衛星は万有引力を受けて地球へ落下し続けますが、接線方向へ十分速く進むため、地表の丸みに沿って周回します。地上の慣性系では万有引力が円運動に必要な向心力を担うと考え、GMm/R²=mv²/Rからv=sqrt(GM/R)を導きます。地表の関係GM=gR²を使えばv=sqrt(gR)となり、地球では約7.9km/sです。
問題では、最初に目的が周回か脱出かを確認し、中心からの距離rを決めます。高度hがあるならr=R+h、周期ならT=2πr/vです。文字式を完成させてから単位をそろえ、rが大きいほどvが小さくなる比例関係で検算してください。導出、単位、第一と第二の区別を自力で説明できれば、人工衛星の複合問題にも対応できます。
第一宇宙速度から万有引力を得点源にする学習計画を相談できます
よくある質問
Q. 第一宇宙速度とは簡単にいうと何ですか？
A. 空気抵抗を無視した理想条件で、物体が地表すれすれの円軌道を回るための速さです。地球では約7.9km/sです。重力がなくなるのではなく、重力が向心力を担います。
Q. 第一宇宙速度の公式は何ですか？
A. 地球の質量をM、半径をR、万有引力定数をGとするとv=sqrt(GM/R)です。地表の重力加速度gを使えばGM=gR²なので、v=sqrt(gR)とも表せます。
Q. なぜ人工衛星の質量は公式に入らないのですか？
A. 万有引力GMm/R²と必要な向心力mv²/Rの両方が衛星質量mに比例し、式を等置するとmが約分されるからです。同じ軌道半径なら必要な円軌道速度は衛星質量に依存しません。
Q. 高度が高い人工衛星ほど速くなりますか？
A. 円軌道では遅くなります。中心からの距離をrとするとv=sqrt(GM/r)なので、rが大きいほど速度は小さくなります。一方、一周の距離は長くなるため周期は長くなります。
Q. 第一宇宙速度と第二宇宙速度の違いは何ですか？
A. 第一宇宙速度は地表すれすれの円軌道へ入る条件で約7.9km/s、第二宇宙速度は地球の重力から脱出する条件で約11.2km/sです。第二宇宙速度は第一宇宙速度のsqrt2倍です。
Q. 第一宇宙速度はロケットを真上に打ち上げる速さですか？
A. 違います。第一宇宙速度は円軌道の接線方向の速さです。実際の打上げでは大気や重力による損失を受けながら高度を上げ、進行方向を横へ変えて目的の軌道速度を得ます。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映
