半角公式の覚え方｜sin・cos・tanの証明・符号・使い方を例題で解説【数学II】

三角関数の半角公式は、角θのcosから半分の角θ/2のsin・cos・tanを求める公式です。値を求めるだけでなく、sin²xやcos²xの次数を下げる式変形、三角方程式、積分、t=tan(θ/2)による有理式化にもつながります。ただし、公式が直接与えるのは基本的に平方であり、sin(θ/2)やcos(θ/2)そのものを出すときは象限から符号を選ばなければなりません。本記事は名古屋大学・新潟大学・同志社大学の公開教材で公式と導出を照合し、入試答案で再現しやすい形へ組み直しました。最初に、3つの公式とそれぞれの役割を一覧で確認します。

半角公式とは？sin・cos・tanの3公式を一覧で確認

任意の角θについて、sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2、cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2が成り立ちます。この2式を割ると、tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1+cosθ)です。名前に「半角」とあるのは、右辺に角θ、左辺にその半分θ/2が現れるからです。角度が度数法でも弧度法でも関係は同じです。まずは平方形を基本形として覚えると、±を勝手に付ける事故を防げます。

種類	平方形	平方根形	主な用途
sin	sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2	sin(θ/2)=±√{(1−cosθ)/2}	値・次数下げ
cos	cos²(θ/2)=(1＋cosθ)/2	cos(θ/2)=±√{(1＋cosθ)/2}	値・次数下げ
tan	tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1＋cosθ)	tan(θ/2)=±√{(1−cosθ)/(1＋cosθ)}	値・置換
tan別形	—	tan(θ/2)=sinθ/(1＋cosθ)	平方根を避ける
tan別形	—	tan(θ/2)=(1−cosθ)/sinθ	平方根を避ける

半角公式の証明｜倍角公式から3本を導く

半角公式の証明は、cosの倍角公式cos2x=1−2sin²xとcos2x=2cos²x−1を、それぞれsin²x、cos²xについて解くところから始まります。前者からsin²x=(1−cos2x)/2、後者からcos²x=(1＋cos2x)/2です。最後にxをθ/2へ置き換えれば、2xがθになり、2本の半角公式が得られます。

名古屋大学の公開資料では、加法定理とsin²x＋cos²x=1から倍角公式を作り、1＋cos2x=2cos²x、1−cos2x=2sin²xを得てからxをx/2へ置き換える流れが示されています。つまり、半角公式は独立した暗記事項ではなく、加法定理から続く公式の連鎖です。前段階を復習したい人は2倍角の公式の証明と使い分けを確認し、cos2xの3通りの形を自力で書けるようにしてください。

半角公式の±はどう決める？θ/2の象限で符号を選ぶ

平方根形で最も重要なのは、符号をθではなくθ/2の象限から決めることです。たとえばπ<θ<2πなら、半分にしてπ/2<θ/2<πとなり、θ/2は第2象限です。したがってsin(θ/2)>0、cos(θ/2)<0、tan(θ/2)<0となります。元の角θが第3象限か第4象限かだけを見ても、半角の符号は決まりません。

θの範囲	θ/2の範囲	sin(θ/2)	cos(θ/2)	tan(θ/2)
0<θ<π	0<θ/2<π/2	正	正	正
π<θ<2π	π/2<θ/2<π	正	負	負
2π<θ<3π	π<θ/2<3π/2	負	負	正
3π<θ<4π	3π/2<θ/2<2π	負	正	負

半角公式で15°・22.5°・67.5°の値を求める

半角公式を使う代表場面は、2倍すると30°、45°、135°などの既知角になる角の値を求める問題です。たとえば67.5°は135°の半分なので、sin²67.5°=(1−cos135°)/2です。cos135°=−√2/2を代入するとsin²67.5°=(2＋√2)/4となります。67.5°は第1象限だから正の平方根を取り、sin67.5°=√(2＋√2)/2です。

角	2倍した角	使う既知値	結果
15°	30°	cos30°=√3/2	sin15°=√(2−√3)/2
22.5°	45°	cos45°=√2/2	sin22.5°=√(2−√2)/2
67.5°	135°	cos135°=−√2/2	sin67.5°=√(2＋√2)/2
75°	150°	cos150°=−√3/2	cos75°=√(2−√3)/2

15°は加法定理で45°−30°として求める方法もあります。どちらで解いても同じ値になります。半角公式は2倍した角のcosが分かるとき、加法定理は和や差に分けた2角のsin・cosが分かるときに選ぶと効率的です。公式同士のつながりを確認したい人はsin・cos・tanの基礎と単位円での符号も合わせて復習してください。

sinθ・cosθが与えられた半角の値の求め方

sinθまたはcosθの一方とθの範囲が与えられた問題では、最初に不足している三角関数をsin²θ＋cos²θ=1から求めます。次にθ/2の範囲を決め、半角公式へ代入し、最後に符号を選びます。計算の順番を固定すると、元の角の符号と半角の符号を混同しません。

例題：π/2<θ<π、sinθ=12/13のとき

θは第2象限なのでcosθ<0です。sin²θ＋cos²θ=1よりcos²θ=1−144/169=25/169、したがってcosθ=−5/13です。π/2<θ<πの全辺を2で割るとπ/4<θ/2<π/2で、θ/2は第1象限です。よってsin(θ/2)>0、cos(θ/2)>0です。

半角公式へcosθ=−5/13を代入すると、sin²(θ/2)={1−(−5/13)}/2=9/13、cos²(θ/2)={1＋(−5/13)}/2=4/13です。第1象限の正の根を選び、sin(θ/2)=3/√13、cos(θ/2)=2/√13となります。さらにtan(θ/2)は両者の比だから3/2です。

段階	使う条件	得られる結果	注意点
元の値	sinθ=12/13	cos²θ=25/169	まだ±を決めない
元の象限	π/2<θ<π	cosθ=−5/13	第2象限でcosは負
半角の範囲	π/4<θ/2<π/2	sin・cosは正	θの象限とは別判定
半角公式	cosθ=−5/13	sin=3/√13、cos=2/√13	最後に符号を選ぶ
比を取る	tan=sin/cos	tan(θ/2)=3/2	分母0でないことを確認

tanの半角公式｜3つの形と定義域を使い分ける

tanの半角公式には、tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1＋cosθ)という平方形のほか、tan(θ/2)=sinθ/(1＋cosθ)、tan(θ/2)=(1−cosθ)/sinθという平方根を含まない形があります。後ろの2式は、sinθやcosθの値が分数で与えられたときに計算しやすく、符号も式のまま反映されます。ただし、分母が0になる角ではその表現を使えません。

分数形の導出1：分母を1＋cosθにする

sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)、1＋cosθ=2cos²(θ/2)だから、両者の比はsinθ/(1＋cosθ)=tan(θ/2)です。この導出ではcos(θ/2)で割るため、cos(θ/2)≠0、つまりtan(θ/2)が定義されることが必要です。

分数形の導出2：分母をsinθにする

1−cosθ=2sin²(θ/2)をsinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)で割ると、(1−cosθ)/sinθ=tan(θ/2)です。この形はsinθ≠0のときに直接使えます。sinθ=0でもtan(θ/2)が定義される角はありますが、その場合は別の形から求めます。

公式の形	向いている条件	確認する分母	特徴
tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1＋cosθ)	cosθだけが既知	1＋cosθ≠0	最後に符号判断
tan(θ/2)=sinθ/(1＋cosθ)	sinθとcosθが既知	1＋cosθ≠0	±の根を避ける
tan(θ/2)=(1−cosθ)/sinθ	sinθが簡単	sinθ≠0	有理化に便利
tan(θ/2)=sin(θ/2)/cos(θ/2)	半角のsin・cosが既知	cos(θ/2)≠0	定義から計算

半角公式の使い方｜次数下げ・方程式・t置換

半角公式は特殊角の値だけでなく、三角関数の2乗を1次へ下げる変形として使われます。θ=2xと読み替えると、sin²x=(1−cos2x)/2、cos²x=(1＋cos2x)/2です。この形はsin²xやcos²xを含む方程式、最大・最小、積分で有効です。さらにt=tan(θ/2)と置けば、sinθとcosθをtの有理式に変えられます。

使い方1：sin²x・cos²xの次数を下げる

たとえばsin²x＋3cos²xは、(1−cos2x)/2＋3(1＋cos2x)/2=2＋cos2xと変形できます。平方が消えるため、値域は−1≦cos2x≦1から1≦2＋cos2x≦3とすぐ分かります。展開を減らし、三角関数を1種類にそろえられることが利点です。

使い方2：三角方程式を解く

0≦x<2πでsin²x=1/4を解くなら、平方根を取ってsinx=±1/2としてもよいですが、(1−cos2x)/2=1/4からcos2x=1/2として解く方法もあります。後者では2xの範囲が0≦2x<4πになるため、周期内の解を落とさず列挙し、最後に2で割ります。

使い方3：t=tan(θ/2)で有理式にする

t=tan(θ/2)と置くと、sinθ=2t/(1＋t²)、cosθ=(1−t²)/(1＋t²)です。さらにtanθ=2t/(1−t²)と表せます。三角関数をtの分数式へ統一できるため、方程式や積分を代数的に処理しやすくなります。ただし、tが定義されないθ=(2k＋1)πを別途確認し、変形で解を落としたり余分な解を加えたりしていないか照合する必要があります。

目的	変形	得られる利点	最後の確認
次数下げ	sin²x=(1−cos2x)/2	平方を一次化	2xの範囲
値域	a＋bcos2xへ整理	−1≦cos2x≦1を利用	等号を取るx
方程式	cos2x=cへ変換	標準形で解ける	周期と解の個数
積分	sin²x、cos²xを一次化	基本積分へ分解	積分定数
t置換	sinθ、cosθをtで表す	有理式として処理	除外角と元の式

積や和の三角関数を変形するときは、半角公式だけでなく積和・和積公式が適する場合もあります。何を1種類にそろえたいかを見て、積を和へ直す必要があるなら積和・和積の公式の導出と使い分けへ進み、公式を目的別に選べるようにしてください。

半角公式でよくある8つの間違いと直し方

半角公式の誤答は、公式そのものの暗記不足だけでなく、平方の外し方、象限、定義域、角の範囲に分かれます。答えだけを直すと同じ種類のミスが残るため、「どの判断で誤ったか」を分類し、次の問題で確認する項目を一つに絞ることが重要です。以下の8項目を答案診断に使ってください。

誤り	誤った考え方	正しい直し方
1. sinとcosの±を逆にする	sin側を1＋cosθにする	θ=0で検算する
2. 1/2を落とす	倍角公式の2を消す	2sin²x=1−cos2xから書く
3. 平方を残さず公式化	sin(θ/2)=(1−cosθ)/2	左辺はまずsin²(θ/2)
4. ±を書かない	√a²=aと決める	√a²=|a|、象限で符号決定
5. θの象限を見る	元の角の符号を流用	θ/2の範囲を書き直す
6. tanの分母を見ない	どの角でも分数形を使用	分母0の角を除外
7. 2xの解を落とす	xの周期のまま列挙	2xの範囲で全解を出す
8. 根号を和に分配	√(a+b)=√a+√b	和は分配せず保持

半角公式の練習問題7選｜基本・符号・応用まで

半角公式は、一覧を眺めるより「公式を復元する」「符号を選ぶ」「用途を見抜く」の3段階で練習すると定着します。次の7問は、競合記事が扱う67.5°、条件付きの半角、tanの値を含め、次数下げ、値域、定義域まで広げた構成です。先に自力で式を立て、その後で解答を確認してください。

問題1：sinとcosの半角公式を証明する

cos2x=1−2sin²xとcos2x=2cos²x−1を、それぞれ平方について解きます。x=θ/2と置けば、sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2、cos²(θ/2)=(1＋cosθ)/2です。tan²は前者を後者で割って得ます。

問題2：sin67.5°の値を求める

67.5°=135°/2より、sin²67.5°=(1−cos135°)/2=(2＋√2)/4です。67.5°は第1象限なので、sin67.5°=√(2＋√2)/2となります。平方根を取る前に正の根を選ぶ理由を書きます。

問題3：π/2<θ<π、sinθ=12/13の半角を求める

第2象限よりcosθ=−5/13、またπ/4<θ/2<π/2です。したがってsin(θ/2)=3/√13、cos(θ/2)=2/√13、tan(θ/2)=3/2です。元の角と半角で別々に符号を決めることが採点上の要点です。

問題4：5π/3<θ<2π、cosθ=1/2の半角を求める

5π/6<θ/2<πなので半角は第2象限です。sin(θ/2)>0、cos(θ/2)<0です。sin²(θ/2)=(1−1/2)/2=1/4、cos²(θ/2)=(1＋1/2)/2=3/4より、sin(θ/2)=1/2、cos(θ/2)=−√3/2、tan(θ/2)=−1/√3です。

問題5：sin²x＋3cos²xの値域を求める

半角公式を次数下げに使い、sin²x＋3cos²x=2＋cos2xとします。−1≦cos2x≦1だから、値域は1≦2＋cos2x≦3です。最小値1はcos2x=−1、最大値3はcos2x=1のときに実現します。

問題6：0≦x<2πで2sin²x=1を解く

2sin²x=1−cos2xより、1−cos2x=1、したがってcos2x=0です。0≦2x<4πで2x=π/2、3π/2、5π/2、7π/2となるため、x=π/4、3π/4、5π/4、7π/4です。2xの範囲を先に書くことで、後半2つの解を落としません。

問題7：tan(θ/2)の分数形が使えない角を調べる

sinθ/(1＋cosθ)は1＋cosθ=0、つまりθ=(2k＋1)πで分母が0です。この角ではθ/2=π/2＋kπとなり、tan(θ/2)自体も定義されません。一方、(1−cosθ)/sinθはθ=kπで分母が0になるため、tan(θ/2)が定義されるθ=2kπでもこの表現だけは使えません。

問題	中心技能	目標時間	自己採点の基準
1	公式の導出	1分	倍角→整理→置換を説明
2	特殊角	2分	象限と根号整理まで正確
3	2段階の符号	3分	θとθ/2を分けて判定
4	第2象限の半角	3分	cosを負にできる
5	次数下げ・値域	3分	等号成立も示す
6	方程式・周期	4分	4解を落とさない
7	定義域	3分	2つの分数形を区別

半角公式を入試で使うには「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を暗記し、解説を読んで似た例題を一度解くだけの「普通の対策」では、半角公式を初見問題で使い分けて志望大学へ受かるのは厳しいです。この記事だけでも、倍角公式からの導出、平方形と平方根形、θとθ/2の2回の象限判定、tanの3表現と分母条件、次数下げ、周期、t置換という複数の判断があります。入試で問われるのは公式を言えるかではなく、条件に応じた判断を答案上で再現できるかです。

練習問題3では元のθが第2象限でも半角は第1象限、問題4では元のθが第4象限でも半角は第2象限でした。同じ半角公式でも、範囲が変われば符号も処理も変わります。この差を得点へ変えるには、誤答を「公式忘れ」でまとめず、象限・定義域・周期・変形のどこで止まったかを記録し、翌日の課題と週ごとの確認テストへ戻す管理が必要です。代表的な学習手段を「従来塾の3つの限界」で検討します。

選択肢①：独学・参考書のみでは行動修正が続かない

独学や参考書だけでも公式と模範解答は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解説を読んで符号に納得した状態と、何も見ずにθ/2の範囲を書き、分母条件まで確認できる状態は別です。誤答原因を分類せず次章へ進むと、同じ判断ミスが残ります。

選択肢②：映像授業・アプリでは答案行動へ変わりにくい

映像授業やアプリは単位円や公式の導出を視覚的に理解しやすい一方、視聴時間が増えても自力で途中式を書く回数が増えるとは限りません。これは①に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。公式暗記で止まる人と周期で解を落とす人へ同じ復習を出しても、弱点別の量を作れません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の穴が残る

集団授業の大手予備校は体系的に学べますが、②全員同じ指導の限界があります。授業がt置換へ進んでも、ある生徒はsinとcosの1±を逆にし、別の生徒はtanの分母を確認できません。一斉の進度では、個々の穴を翌日の問題数、復習間隔、解き直す問題へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に半角公式の符号を直しても、翌日から範囲を書かない演習へ戻り、次の確認が一週間後なら誤った手順を反復します。三角関数は方程式、最大・最小、微積分へ続くため、小さな穴の放置が後続単元へ連鎖します。

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「理解を答案行動へ変える」「生徒ごとに課題を変える」「誤りを毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、半角公式を含む数学IIを入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、教材や授業を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、半角公式を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

半角公式なら、「公式を覚える」で終わらず、倍角からの証明を何回、符号問題を何題、次数下げを何題解き、誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から答案の再現中心へ学習を移せます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。

数学でも、公式は言えるが象限で止まる生徒と、次数下げ後の方程式で解を落とす生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

例題を一度正しく解けても、1週間後に象限や角が変わって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で公式運用を確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

半角公式の答案では、最終値だけでなく、範囲を2で割る一行、平方根の符号、分母条件に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示すことで、自己採点では見逃す論理の抜けを早く修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、三角関数へどれだけ時間を使い、指数・対数、微積分、数列へいつ進むかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。

半角公式のどこで止まるのか、受験数学を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく現在の学習状況に合うかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜半角公式は倍角・象限・定義域をセットで使う

目的	使う形	必須確認	典型場面
半角の平方	sin²・cos²の公式	右辺全体の1/2	式変形
半角そのもの	±√の形	θ/2の象限	特殊角・条件付き値
tan半角	平方形または分数形	分母が0でないか	値・置換
次数下げ	θ=2xと読む形	2xの範囲と周期	方程式・値域・積分

半角公式の基本は、sin²(θ/2)=(1−cosθ)/2、cos²(θ/2)=(1＋cosθ)/2、tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1＋cosθ)です。sin側はマイナス、cos側はプラス、tan側は両者の比と関連付けます。倍角公式から平方について解き、角をθ/2へ置き換えれば、暗記が曖昧でも復元できます。

sin(θ/2)やcos(θ/2)そのものを求めるときは、問題文の範囲を2で割り、θ/2の象限から符号を選びます。tanの分数形では分母条件、次数下げでは2xの範囲と周期、t置換では除外角を確認します。公式を使った直後に等号・定義域・元の式へ戻る確認まで行い、途中式で根拠を示してください。

よくある質問

Q. 半角公式とは何ですか？

A. 角θのcosを使って、半分の角θ/2のsin²、cos²、tan²を表す公式です。倍角公式を平方について解き、角を置き換えると導けます。

Q. 半角公式の覚え方はありますか？

A. sin側は1−cosθ、cos側は1＋cosθ、どちらも全体を2で割ると覚えます。tan²はsin²をcos²で割り、(1−cosθ)/(1＋cosθ)として作れます。

Q. 半角公式の±はどう決めますか？

A. θではなくθ/2の象限で決めます。問題文のθの範囲をすべて2で割り、半角のsin・cos・tanの符号を単位円から判断します。

Q. 半角公式はなぜ倍角公式から証明できますか？

A. cos2x=1−2sin²xとcos2x=2cos²x−1を平方について解くと、角2xのcosで角xの平方を表せます。x=θ/2と置けば半角公式になります。

Q. tanの半角公式は何種類ありますか？

A. tan²(θ/2)=(1−cosθ)/(1＋cosθ)の平方形と、tan(θ/2)=sinθ/(1＋cosθ)、tan(θ/2)=(1−cosθ)/sinθの分数形があります。各式の分母条件を確認します。

Q. 半角公式と2倍角の公式の違いは何ですか？

A. 2倍角の公式は角xから2xの三角関数を表し、半角公式は角θからθ/2の平方を表します。式変形の向きが違うだけで、半角公式は倍角公式から導けます。

Q. 半角公式はいつ使いますか？

A. 2倍すると既知角になる角の値、sinθ・cosθから半角を求める問題、sin²x・cos²xの次数下げ、三角方程式、積分、t=tan(θ/2)置換などで使います。

Q. √{sin²x}=sinxとしてはいけないのはなぜですか？

A. 平方根√は非負の値を表すため、正しくは√{sin²x}=|sinx|です。sinxが負の象限では|sinx|=−sinxとなるので、角の範囲確認が必要です。