増減表の書き方を完全攻略｜導関数の符号・極大極小・グラフを例題で解説【数学II】

増減表は、関数を微分したあとに、その関数がどの区間で増え、どの区間で減るかを整理する表です。符号を勘で入れる表ではありません。導関数が接線の傾きを表すこと、導関数の符号が変わり得る点で数直線を区切ること、各区間から代表値を一つ選ぶことを順に実行すれば、毎回同じ方法で書けます。本記事では大学公式の数学教材で定義と判定手順を照合し、高校数学の答案として再現しやすい形へ整理します。

増減表とは？まず3行の意味と完成形を理解する

増減表とは、関数y=f(x)について、xの範囲、導関数f′(x)の符号、元の関数f(x)の増減を3行で対応させた表です。金沢工業大学の公式教材でも、導関数の符号を求めて関数の増加・減少を表にまとめ、グラフの概略を描くために使うものと説明されています。上段は区間の境界、中段は傾きの正負、下段は元の関数の動きを記録します。

行	書く内容	読み方	よくある空欄
x	定義域、f′(x)=0の解、未定義点	左から小さい順	区間の中は「…」でもよい
f′(x)	＋、0、−、未定義	接線の傾き	境界の間へ符号を書く
f(x)	↗、関数値、↘	元の関数の動き	境界列へf(a)を書く

なぜ導関数の符号で増加・減少が分かるのか

導関数f′(a)は、グラフy=f(x)上の点(a,f(a))における接線の傾きを表します。ある区間でf′(x)>0なら、その区間では接線が右上がりで、xが増えるにつれてf(x)も増加します。反対にf′(x)<0なら接線は右下がりで、f(x)は減少します。増減表は、この局所的な傾きを区間全体の動きとしてまとめる道具です。

導関数の状態	元の関数	増減表の矢印	極値との関係
f′(x)>0	増加	↗	区間内では山・谷にならない
f′(x)<0	減少	↘	区間内では山・谷にならない
＋→0→−	増加から減少	↗ f(a) ↘	x=aで極大
−→0→＋	減少から増加	↘ f(a) ↗	x=aで極小
＋→0→＋	増加を継続	↗ f(a) ↗	極値ではない

導関数を「その瞬間の傾き」として捉えにくい場合は、先に変化の割合と傾きの違いを確認すると、平均の変化率から微分係数へ進む流れがつながります。公式の暗記ではなく、傾きの符号をグラフの向きへ変換する理解が、増減表の土台です。

増減表の書き方を5ステップで固定する

増減表は、①定義域を確認する、②微分する、③f′(x)=0となる値とf′(x)が定義されない値を探す、④それらを境界に区間を分けて符号を調べる、⑤符号を矢印へ変えて関数値を書く、という順で作ります。先に空の表を描くより、区切りとなるxを確定してから列を作るほうが、解の抜けや順序の逆転を防げます。

導関数の符号の調べ方｜因数分解・符号表・代入を使う

符号判定の基本は、導関数を因数分解し、0になる点で数直線を区切る方法です。積の符号は各因子の符号で決まります。ただし、最初からすべてを頭の中で掛け合わせる必要はありません。各区間に代表値を一つ代入すれば、その区間内で0をまたがない限り符号は変わりません。因数の符号表と代表値代入を併用すると、見直しもしやすくなります。

導関数の形	区切り	速い判定法	注意点
(x-a)(x-b)	a、b	各一次因子の正負	a
(x-a)²(x-b)	a、b	偶数乗は両側で正	aでは符号が変わらない
二次式で因数分解不可	実数解なし	係数・平方完成	常に正か負かを確認
分数式	分子の零点と分母0	分子・分母の符号	分母0は定義域から除く
正の因子を含む	残る因子の零点	正の因子は無視可	正である根拠を書く

例題1｜三次関数の増減表を最初から完成させる

f(x)=x³+3x²−9xを例に、競合記事でも扱われていた三次関数の増減表を一から作ります。微分するとf′(x)=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1)です。したがってf′(x)=0となるのはx=−3、1です。この2点を境界に、実数全体を3区間へ分けます。

xの範囲・値	代表値	f′(x)の符号	f(x)の動き・値
x<−3	x=−4	＋	↗ 増加
x=−3	境界	0	f(−3)=27（極大）
−3	x=0	−	↘ 減少
x=1	境界	0	f(1)=−5（極小）
x>1	x=2	＋	↗ 増加

極大・極小の判定｜f′(x)=0だけでは決まらない

関数がx=aの手前で増加し、通過後に減少へ変わるとき、f(a)を極大値といいます。反対に、手前で減少し、通過後に増加へ変わるときは極小値です。微分可能な関数では、導関数の符号が＋→−なら極大、−→＋なら極小と判定できます。f′(a)=0はよく現れる必要条件ですが、符号が変わらない場合は極値ではありません。

関数	導関数	0の左→右	x=0の判定
f(x)=x²	2x	−→＋	極小値0
f(x)=−x²	−2x	＋→−	極大値0
f(x)=x³	3x²	＋→＋	極値ではない
f(x)=x⁴	4x³	−→＋	極小値0
f(x)=−x⁴	−4x³	＋→−	極大値0

増減表からグラフを描く手順と確認ポイント

増減表が完成したら、極大点・極小点を座標平面へ置き、増加区間は右上がり、減少区間は右下がりにつなぎます。ただし、矢印だけでグラフの位置は決まりません。y切片、x切片、xが大きく正負へ進むときの端の向きも確認します。多項式なら最高次の項から左右の端の方向を予想でき、増減表との矛盾を検出できます。

• 増減表: 上昇・下降と極値を示す

二次関数のグラフなら、微分を使わず平方完成で頂点を求める方法もあります。二次関数の頂点を平方完成で求める手順と見比べると、平方完成で得る頂点と、導関数の符号変化で得る極値が一致することを確認できます。

さらに二階微分まで使うと、増減だけでなくグラフの凹凸や変曲点も整理できます。数学IIIへ進む人は変曲点の定義と二階微分の符号判定も参照し、増減表と凹凸表の役割を混同しないようにしてください。

定義域・重解・微分できない点がある増減表の注意

多項式ではf′(x)=0の解だけを区切りにすることが多い一方、分数関数・根号を含む関数・絶対値を含む関数では、定義域の端や導関数が存在しない点も確認します。増減が切り替わる候補は「f′(x)=0の点」だけではありません。元の関数が定義される範囲を最初に書き、その中で導関数の符号を調べることが先です。

ケース	区切りへ入れるもの	表での扱い	判定の要点
重解	f′(x)=0の重解	0を書く	左右の符号が同じ場合あり
分数関数	分子0と分母0	分母0は未定義	別区間として扱う
根号を含む関数	定義域の端	端点を明示	片側だけの増減も確認
絶対値・角点	微分不能点	f′は未定義	左右の増減で極値判定
閉区間	内部の候補と両端	端点の値も書く	最大・最小は全候補比較

例題2・練習問題｜四次関数まで増減表を仕上げる

最後に、符号変化なし、三次関数、四次関数、閉区間、微分不能点を順に練習します。各問題で、①定義域、②導関数、③区切り、④各区間の符号、⑤関数値と結論を必ず同じ順番で書いてください。特に競合記事でも扱われていた四次関数では、微分後の因数分解でx=0を落とさないことが重要です。

問題1：f(x)=x³の極値を調べる

f′(x)=3x²で、f′(x)=0となるのはx=0です。しかしx<0でもx>0でも3x²>0なので、増減表の符号は＋、0、＋です。f(x)は実数全体で増加を続け、x=0では水平な接線を持ちますが、極大値・極小値はありません。

問題2：f(x)=x³−3xの極値を求める

f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)です。境界は−1、1で、符号は＋、−、＋となります。f(−1)=2、f(1)=−2なので、x=−1で極大値2、x=1で極小値−2です。増減は、増加、減少、増加です。

問題3：y=3x⁴−16x³+18x²+50の増減表

微分するとy′=12x³−48x²+36x=12x(x−1)(x−3)です。y′=0の解は0、1、3で、x=0を落とさないようにします。4区間で符号を調べると、x<0で−、03で＋です。したがって元の関数は減少、増加、減少、増加と動きます。

関数値はy(0)=50、y(1)=55、y(3)=23です。符号が−→＋となるx=0で極小値50、＋→−となるx=1で極大値55、−→＋となるx=3で極小値23を取ります。極小値が複数あっても、それぞれは近くでの谷を表す値です。この関数を実数全体で見た最小値は23であり、「極小値」と「最小値」を分けて読めます。

問題4：閉区間−2≦x≦2でf(x)=x³−3xの最大・最小

内部の極値候補はx=−1、1です。閉区間の最大・最小では端点も比較するため、f(−2)=−2、f(−1)=2、f(1)=−2、f(2)=2を並べます。最大値は2（x=−1、2）、最小値は−2（x=−2、1）です。増減表で内部の候補を見つけ、最後に端点を含む全候補を比較します。

問題5：f(x)=|x|の増減と極小

x<0ではf(x)=−xなのでf′(x)=−1、x>0ではf(x)=xなのでf′(x)=1です。x=0では微分できませんが、左で減少、右で増加するため、x=0で極小値0を取ります。増減表にはx=0を区切りとして置き、導関数の行は−、未定義、＋、元の関数の行は↘、0、↗と書けます。

増減表を入試で使うには「普通の対策」では受からない

結論から言います。微分公式を覚え、授業で完成済みの増減表を見て終える「普通の対策」だけでは、初見の関数から増減表を書き、志望大学の入試問題で得点して受かるのは厳しいです。本記事だけでも、定義域、微分、因数分解、区間分け、符号判定、関数値、極値、端点、微分不能点という連続した判断が必要でした。どこか一つを落とすと、その後の表とグラフがまとめて崩れます。

四次関数の例では、共通因数xを落とせば境界が一つ消え、極小値50も見つかりません。x³の例では、f′(0)=0だけを見て極値と決めれば誤答です。このような誤りを「微分が苦手」で一括りにせず、どの判断工程で止まったかを毎日記録し、翌日の課題と週次の確認へ反映する必要があります。代表的な学習手段を、公式ページが示す従来塾の3つの限界に照らして検討します。

選択肢①：独学・参考書のみでは答案行動を修正しにくい

独学や参考書から、増減表の完成例と解法情報は得られます。しかし、①授業や教材で情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解説を読んで理解した状態と、白紙から区間を分け、代表値を選び、極値まで書ける状態は別です。自己採点が答えの数値だけなら、符号ミスの原因も残ります。

選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が演習へ変わりにくい

映像授業やアプリはグラフの動きを見やすくできますが、視聴時間が増えても、自力で増減表を書く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。重解で止まる人と、定義域で止まる人へ同じ動画を示すだけでは、必要な演習を分けられません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る

集団授業の大手予備校は体系的な進度を持つ一方、②全員同じ指導の限界があります。授業がグラフの応用へ進んでも、ある生徒は因数分解で解を落とし、別の生徒は極値と最大値を混同します。一斉の課題では、生徒ごとの誤答原因を翌日の問題数や復習間隔へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に符号表を直しても、翌日から同じ間違いを繰り返し、確認が次週なら誤った手順が定着しかねません。微分の増減表は最大・最小、方程式の実数解、グラフなどへ連結するため、修正の遅れが後続単元にも波及します。

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「誤答原因を個別化する」「毎日の行動へ変える」「短い周期で再確認する」のどこかが不足します。だから、増減表を含む微分法を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業や教材を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、増減表を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

増減表の対策なら、「微分を復習する」で終わらず、三次関数を何題、重解を含む問題を何題、閉区間を何題解き、どの誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から再現中心の学習へ移せます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、その計画を実際に実行できているかまで確認します。

数学でも、微分公式は使えるが符号判定で止まる生徒と、極値からグラフへ進めない生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、増減表のどの工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析して修正する仕組みが公式ページで示されています。

一度完成できた増減表も、一週間後に係数や定義域が変わって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で答案の再現性を確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

増減表の答案では、最終的な極値だけでなく、区間の区切りや符号の一つに誤りが現れます。専属講師へ途中式と表まで示して確認することで、答えだけの丸付けでは見逃す原因を早く修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲と残り期間を前提に、微分法の増減表へどれだけ時間を使い、積分や数列、ベクトルへいつ進むかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに、資料請求の窓口も用意されています。

増減表のどこで止まるのか、受験数学を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、自分に必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜増減表は区切り・符号・矢印の順で書く

確認するもの	操作	増減表への記入	結論
定義域	除外点・端点を確認	xの行	調べる範囲を固定
導関数	微分して因数分解	f′(x)の行	区切り候補を発見
各区間	代表値を代入	＋・−	増加・減少を判定
境界	元の関数へ代入	f(a)	極大値・極小値を判定
グラフ	切片と端を確認	↗・↘	概形を描く

増減表の書き方は、定義域を確認し、f′(x)=0となる点と微分できない点で区間を分け、各区間の導関数の符号を調べ、＋を上向き、−を下向きの矢印へ変える手順です。境界では元の関数値を計算し、＋→−なら極大、−→＋なら極小と判定します。f′(x)=0でも符号が変わらなければ極値ではありません。

因数分解した導関数の符号に迷ったら、区間ごとに代表値を一つ代入してください。重解、分母が0になる点、定義域の端、絶対値の角点では、f′(x)=0の解だけに頼らず、元の関数が定義される範囲と左右の増減を確認します。最後に切片と端の向きを重ねれば、増減表からグラフの概形まで一貫して描けます。

よくある質問

Q. 増減表は何のために書くのですか？

A. 導関数の符号から、元の関数がどの区間で増加・減少するかを整理し、極大値・極小値を判定してグラフの概形を描くためです。x、f′(x)、f(x)の3行を対応させます。

Q. 増減表の符号はどうやって調べますか？

A. 導関数を因数分解し、f′(x)=0となる点や未定義点で区間を分けます。各区間から計算しやすい代表値を一つ選び、f′(x)へ代入して正なら＋、負なら−とします。

Q. f′(x)=0なら必ず極大・極小になりますか？

A. 必ずではありません。左右の符号が＋→−なら極大、−→＋なら極小です。＋→＋や−→−のように符号が変わらない場合は、水平な接線があっても極値ではありません。

Q. 増減表で上向き・下向きの矢印はどう決めますか？

A. f′(x)>0の区間ではf(x)が増加するので↗、f′(x)<0の区間では減少するので↘です。導関数の符号を先に全区間で確定してから、まとめて矢印へ変えると安全です。

Q. 増減表には端点も書きますか？

A. 定義域が閉区間なら端点を書き、最大値・最小値の候補として関数値を計算します。実数全体の多項式では±∞の列を省略する場合もありますが、端の向きはグラフ確認に役立ちます。

Q. 導関数が定義されない点は増減表に入れますか？

A. 元の関数がその点で定義されるかを確認します。絶対値の角点のように元の関数が存在するなら、区切りに入れて左右の増減を調べます。分母が0で元の関数も未定義なら、別区間として扱います。

Q. 極大値・極小値と最大値・最小値の違いは何ですか？

A. 極大・極小はその点の近くでの山・谷の値です。最大・最小は指定された定義域全体で最も大きい・小さい値です。閉区間では内部の極値候補と両端の関数値を比較します。