Claude Code 
3次式の因数分解で、最初にどの数を代入すればよいのか分かりません。たまたま解を当てても、そのあと2次式へどう下げるのか、組立除法で何を書けばよいのか迷います。
3次式は「候補を作る→P(a)=0となるaを一つ見つける→(x−a)で割る→残った2次式を仕上げる」の4段階で解ける。勘で無限に試す必要はない。この記事では、整数解・分数解の候補、因数定理、組立除法、重解、因数分解できない場合まで、例題を使って同じ手順に固定するよ。
3乗を含む多項式、つまり3次式の因数分解は、公式が一目で見えないと難しく感じます。しかし、最初の解を一つ見つければ、その解に対応する1次因子を取り出せるため、残りは慣れた2次式です。大切なのは、適当な数を無作為に代入するのではなく、定数項と最高次係数から候補を有限個に絞り、余りが0になる値を確認することです。公式教材で定理を照合し、答案にそのまま使える順序で解説します。
目次
3次式の因数分解とは？最初に全体像をつかむ
3次式P(x)=ax³+bx²+cx+dを因数分解するとは、P(x)を次数の低い式の積へ書き換えることです。高校数学で典型的なのは、まずP(α)=0となる解αを見つけ、因数定理によって(x−α)を取り出し、P(x)=(x−α)(2次式)とする方法です。3次を直接見抜く問題から、2次式の因数分解へ変換するのが核心です。
「3乗の因数分解」と聞くと、a³+b³やa³−b³の公式もあります。3次多項式の問題とは同じですか？
重なる部分はあるが、最初に見分けよう。A³+B³=(A+B)(A²−AB+B²)、A³−B³=(A−B)(A²+AB+B²)の形がそのまま見えるなら公式を使う。一方、x³−3x²−6x+8のように複数の次数が混ざる式では、解を探して因数定理を使うのが基本だ。共通因数や公式を先に確認してから解探しへ進む。
| 式の見た目 | 最初に試す方法 | 例 | 次の確認 |
|---|---|---|---|
| 全項に共通因数 | 共通因数でくくる | 2x³+4x²=2x²(x+2) | 残りをさらに分解 |
| 立方和・立方差 | 3乗公式を使う | x³−8=(x−2)(x²+2x+4) | 公式の符号を確認 |
| 3次の一般形 | 最初の解を探す | x³−3x²−6x+8 | 因数定理で1次因子化 |
| まとまりがある | グループ分け | x³+x²−4x−4 | (x+1)でまとめる |
📚 用語解説
因数分解：一つの多項式を、次数が1以上の多項式どうしの積で表す変形です。展開が積を和へ直す操作なら、因数分解は和を積へ戻す操作です。
いきなり値を代入せず、まず共通因数とa³±b³の公式を確認します。それで分解できない3次式に対して、因数定理を使うための最初の解を探します。この順番なら、簡単な式に遠回りをしません。
因数定理｜P(a)=0ならなぜ(x−a)を取り出せるのか
多項式P(x)をx−aで割った余りはP(a)です。これが剰余の定理です。もしP(a)=0なら余りが0なので、P(x)はx−aで割り切れます。したがってP(x)=(x−a)Q(x)と書けます。鈴鹿工業高等専門学校の公式教材でも、この対応が因数定理として示されています。3次式なら商Q(x)は2次式になるため、次数が一つ下がります。
P(2)=0を見つけたとき、因数はx+2とx−2のどちらですか？符号をいつも逆にしてしまいます。
解がaなら因数はx−aだ。a=2ならx−2、a=−2ならx−(−2)=x+2になる。因数を0と置いて確認すると安全だ。x−2=0の解は2、x+2=0の解は−2。代入した値と因数の符号が反対に見えるのは、因数を0にしたとき元の値へ戻るからだよ。
| 見つけた値 | 代入結果 | 取り出せる因数 | 確認 |
|---|---|---|---|
| a=1 | P(1)=0 | x−1 | x−1=0ならx=1 |
| a=−1 | P(−1)=0 | x+1 | x+1=0ならx=−1 |
| a=3/2 | P(3/2)=0 | 2x−3 | 定数倍を除けばx−3/2 |
| a=−3/2 | P(−3/2)=0 | 2x+3 | 定数倍を除けばx+3/2 |
📚 用語解説
根・解：P(a)=0を満たす数aを、方程式P(x)=0の解、または多項式P(x)の根と呼びます。根aと1次因子x−aは、因数定理によって一対一に対応します。
📚 用語解説
因数定理：P(a)=0であることと、P(x)がx−aで割り切れることは同値である、という定理です。値の代入を、因数分解の確かな根拠へ変える役割があります。
最初の解の見つけ方｜定数項と最高次係数から候補を絞る
整数係数の多項式に有理数解p/q（既約分数）があるなら、pは定数項の約数、qは最高次係数の約数です。熊本大学理学部の公式講義メモでも、有理数解候補は「定数項の約数／最高次係数の約数」に限られ、その有限個を代入すれば判定できると説明されています。候補には正負の両方を含めます。
x³−3x²−6x+8なら定数項は8なので、±1、±2、±4、±8を全部順番どおり試すのですか？
候補はその8個だが、順番は固定ではない。計算が軽い1、−1、2、−2から試し、次に4、−4、8、−8へ進めばよい。この式はP(1)=1−3−6+8=0なので最初で見つかる。係数の和が0ならP(1)=0、交互符号の和が0ならP(−1)=0という見方も、候補の優先順位を決める助けになる。
| 多項式 | pの候補 | qの候補 | 有理数解候補 |
|---|---|---|---|
| x³−3x²−6x+8 | ±1,±2,±4,±8 | ±1 | ±1,±2,±4,±8 |
| 2x³−3x²−7x+3 | ±1,±3 | ±1,±2 | ±1,±3,±1/2,±3/2 |
| 3x³+5x²−2 | ±1,±2 | ±1,±3 | ±1,±2,±1/3,±2/3 |
| x³−5x | 定数項0 | 先にxでくくる | x(x²−5) |
📚 用語解説
有理数解候補：整数係数多項式の有理数解p/qを探すとき、分子pを定数項の約数、分母qを最高次係数の約数から選んで作る有限個の候補です。候補であるだけなので、P(p/q)=0かを必ず確かめます。
P(1)は全係数の和、P(−1)は次数に応じて符号を交互にした和です。どちらかが0なら、x−1またはx+1をすぐ取り出せます。ただし0でなければ、残りの約数候補へ進みます。
3次式を因数分解する5ステップ
答案では、①共通因数・公式を確認、②有理数解候補を作る、③P(a)=0となるaを見つける、④P(x)をx−aで割って2次式を得る、⑤残りの2次式を因数分解して展開で検算、の順に固定します。候補探しと割り算を混ぜず、まず根を確定してから商を計算すると、符号ミスを切り分けられます。
解を見つけたあと、係数比較と組立除法のどちらを使えばよいのか迷って手が止まります。
入試で速く処理するなら組立除法、仕組みを確かめたいなら筆算、未知係数を含む問題なら係数比較が使いやすい。どの方法でも商は同じになる。まず一つを標準手順に決め、別の方法は検算に回そう。この記事では組立除法を主役にし、係数比較と筆算も後で同じ例に適用する。
「P(1)=0よりx−1を因数にもつ」「組立除法より商はx²−2x−8」「x²−2x−8=(x−4)(x+2)」の3行を残せば、根拠・割り算・仕上げを採点者が追えます。
例題1｜x³−3x²−6x+8を最初から因数分解する
P(x)=x³−3x²−6x+8を因数分解します。最高次係数が1、定数項が8なので、整数解候補は±1、±2、±4、±8です。まずP(1)=1−3−6+8=0となるため、因数定理よりP(x)はx−1で割り切れます。この時点で、3次式を(x−1)(2次式)へ下げられることが確定します。
組立除法で1、−3、−6、8を並べるところまではできます。途中の数と商の係数をどう読めばよいですか？
左に根1を書く。先頭の1を下ろし、1倍して−3へ足すと−2、1倍して−6へ足すと−8、1倍して8へ足すと0だ。最後の0は余り、手前の1、−2、−8が商x²−2x−8の係数になる。この2次式は積が−8、和が−2となる−4と2を使い、(x−4)(x+2)と分解できる。
| 段階 | 計算 | 得られるもの | 意味 |
|---|---|---|---|
| 候補 | P(1)=1−3−6+8=0 | 根1 | x−1が因数 |
| 組立除法1列目 | 先頭係数1を下ろす | 1 | 商のx²係数 |
| 2列目 | −3+1=−2 | −2 | 商のx係数 |
| 3列目 | −6+(−2)=−8 | −8 | 商の定数項 |
| 余り | 8+(−8)=0 | 0 | x−1で割り切れる |
以上からP(x)=(x−1)(x²−2x−8)=(x−1)(x−4)(x+2)です。検算では、まず(x−4)(x+2)=x²−2x−8を確認し、さらに(x−1)を掛けてx³−3x²−6x+8へ戻ることを確かめます。根は1、4、−2で、各因子を0と置いた値と一致します。
たとえばx³−7x+6なら、係数は1、0、−7、6です。x²項を飛ばして1、−7、6と並べると、次数の位置がずれて誤った商になります。すべての次数の係数を左から並べてください。
組立除法・筆算・係数比較の使い分け
P(a)=0を見つけた後の目的は、P(x)をx−aで割った2次の商を正しく得ることです。組立除法は係数だけを使うため速く、筆算は通常の割り算との対応が見えやすく、係数比較はP(x)=(x−a)(Ax²+Bx+C)と置いて展開した係数を一致させます。方法は違っても、同じ商と余りにならなければ計算ミスです。
組立除法は便利ですが、左に書く数が因数x−aのaなのか、−aなのか混乱します。
左に書くのは因数を0にした解aだ。x−1なら1、x+2なら−2を書く。これはP(a)を計算して余りを出す仕組みだからだ。迷ったら因数x+2=0を解いてa=−2と書く。組立除法の最後が0にならなければ、根の符号、係数の転記、掛け足しのどこかを見直そう。
| 方法 | 書き始め | 向いている場面 | 注意 |
|---|---|---|---|
| 組立除法 | 係数と根aを並べる | 数値係数を速く処理 | 欠項の0と根の符号 |
| 筆算 | P(x)÷(x−a) | 仕組みを確認したい | 同じ次数を縦にそろえる |
| 係数比較 | (x−a)(Ax²+Bx+C) | 文字係数を含む問題 | 展開後の全係数を比較 |
| 展開検算 | 得た因数を掛ける | 最終確認 | 定数項だけで済ませない |
組立除法そのものを図と例題で復習したい場合は、組立除法のやり方と高次方程式の解法も参照してください。本記事では根探しから因数分解全体を扱い、リンク先では組立除法の表の作り方と証明を詳しく確認できます。
本番では組立除法で商を出し、最後に因数の積を展開して元の各係数と一致するか確認する組み合わせが効率的です。途中で0余り、最後に全係数一致という二重確認を置けます。
残った2次式を仕上げる方法｜因数分解・判別式・解の公式
1次因子を取り出したら、残った2次式Q(x)=Ax²+Bx+Cをさらに因数分解できるか調べます。整数係数で積と和が見つかればたすき掛けを使い、見つからなければ判別式D=B²−4ACを確認します。Dが平方数なら有理数の範囲で1次因子へ分けやすく、平方数でなければ無理数を含む因数になることがあります。
3次式から1次因子を取り出せたのに、残った2次式が整数で因数分解できません。そこで失敗ですか？
失敗とは限らない。問題が「整数係数の範囲で因数分解せよ」なら、取り出せた1次因子と既約な2次式で止める場合がある。実数の範囲で完全に1次因子へ分けるなら、2次式へ解の公式を使う。どの数の範囲で因数分解するかを問題文から確認しよう。
| 2次式の状態 | Dの状態 | 実数解 | 因数分解の扱い |
|---|---|---|---|
| 積と和が整数で見つかる | 平方数 | 異なる有理数が多い | 整数係数の1次因子へ |
| D=0 | 0 | 同じ解が2個 | (x−a)²の重解 |
| D>0で平方数でない | 正 | 異なる無理数 | 実数範囲では分解可能 |
| D<0 | 負 | 実数解なし | 実数係数では1次因子化不可 |
判別式の符号と解の個数を整理したい場合は、判別式D・D/4の使い分けと2次方程式で確認できます。3次式の問題でも、最初の1次因子を取り出した後は、2次方程式の知識がそのまま最後の因数分解と根の個数の判定に使われます。
📚 用語解説
既約：考えている数の範囲で、それ以上、次数の低い多項式の積へ分けられないことです。整数係数では既約でも、実数や複素数まで範囲を広げると分解できる場合があります。
高校の通常の因数分解では整数係数・有理数係数での形を求めることが多い一方、「実数の範囲で」「複素数の範囲で」と指定される場合があります。残った2次式をどこまで分けるかは範囲で決まります。
重解・有理数解なし・よくある失敗を見分ける
候補を代入して一つの根を見つけても、同じ根が繰り返される重解を見落としてはいけません。P(x)をx−aで割った商Q(x)にもQ(a)=0が成り立つなら、(x−a)²を因数に持ちます。明治大学の公式ノートでも、(x−a)が何回因数として現れるかを重複度として定義しています。商をもう一度確認するのが確実です。
候補を全部代入しても0になりません。計算を続ければ、どこかで必ず解が見つかるのでしょうか？
必ずではない。有理数解候補を正しく全て調べて0がなければ、その多項式は有理数解を持たない。熊本大学の講義メモも、その場合は高校でよく使う因数定理の方法では解けないと説明している。候補を増やして勘で探し続けず、問題の範囲、式の転記、別の公式や置換がないかを確認する。
| 失敗の症状 | 主な原因 | 確認方法 | 修正 |
|---|---|---|---|
| 因数の符号が逆 | 根aとx−aを混同 | 因数=0を解く | a=−2ならx+2 |
| 組立除法の余りが0でない | 根・係数・欠項の誤り | P(a)を直接再計算 | 係数0を補う |
| 根を一つで終了 | 商の分解忘れ | 2次式を確認 | たすき掛け・解の公式 |
| 重解を一回だけ数える | 商へ同じ値を未代入 | Q(a)を計算 | (x−a)²と書く |
| 候補を無限に試す | 有理数解定理の未使用 | p/qを全列挙 | 全滅なら方針変更 |
重解を、判別式D=0やグラフとの関係まで学び直すなら、重解の意味・求め方と高次方程式の頻出問題も確認してください。3次式では「最初の根を取り出した後の2次式に同じ根が残る」という形で、重解を具体的に見つけられます。
📚 用語解説
重解：同じ解が複数回現れることです。P(x)が(x−a)²を因数に持つならaは少なくとも2重解で、(x−a)³を因数に持つなら3重解です。
有理数解候補を正しく列挙し、全てでP(a)≠0なら、有理数解がないと判断できます。問題が因数分解を要求しているなら、共通因数・公式・置換・問題文の数の範囲を再確認してください。
練習問題｜基本・分数解・重解まで解いて確認する
最後に、立方公式、モニック3次式、最高次係数が1でない式、重解、有理数解を持たない式を順に練習します。答えだけでなく、①候補、②P(a)=0、③取り出した因数、④商、⑤最終結果の5項目を書いてください。競合記事で扱われていたx³+6x²+11x+6も、同じ手順で最初の解から仕上げます。
練習では最終結果が合っていても、毎回どこまで途中式を書けば身につくのか分かりません。
最初は5項目を全て書こう。特に「候補」と「P(a)=0」を省かない。慣れたら候補列挙を短くしてもよいが、組立除法の係数と余り0、残った2次式は残す。翌日に答えを見ず、根探しからもう一度再現できれば、解説を読んだだけでなく自力で因数分解できる状態だ。
問題1：x³−27を因数分解する
これは立方差A³−B³=(A−B)(A²+AB+B²)をそのまま使えます。A=x、B=3として、x³−27=(x−3)(x²+3x+9)です。最初の解を候補から探してもP(3)=0ですが、公式が見える場合は公式のほうが速いです。残る2次式の判別式は9−36<0なので、実数係数の1次因子には分けません。
問題2：x³+6x²+11x+6を因数分解する
整数解候補は±1、±2、±3、±6です。P(1)=24で0ではなく、P(−1)=−1+6−11+6=0なので、x+1を因数に持ちます。−1で組立除法をすると商はx²+5x+6です。これを(x+2)(x+3)と因数分解し、答えは(x+1)(x+2)(x+3)です。最初の不正解候補も、計算過程として正常です。
問題3：2x³−3x²−7x+3を因数分解する
候補は±1、±3、±1/2、±3/2です。P(−3/2)=0なので2x+3を因数に持ちます。実際、2x³−3x²−7x+3=(2x+3)(x²−3x+1)です。残る2次式の判別式は9−4=5で平方数ではありません。有理数係数ではここまで、実数の範囲なら解の公式を使ってさらに分けられます。
問題4：x³−3x+2を因数分解する
x²項がないため係数は1、0、−3、2と並べます。P(1)=1−3+2=0なのでx−1で割ると、商はx²+x−2=(x−1)(x+2)です。したがってP(x)=(x−1)²(x+2)となり、1は2重解、−2は1重解です。商へ再び1を代入すると0になるため、重解を機械的に確認できます。
問題5：x³−x+1の有理数解を調べる
最高次係数と定数項がともに1なので、有理数解候補は±1だけです。P(1)=1、P(−1)=1で、どちらも0ではありません。よってこの式は有理数解を持たず、有理数係数の1次式と2次式の積には分けられません。候補を2、3へ勝手に広げる必要はなく、「候補を全て調べた」という事実が結論になります。
候補を作れなかった、代入計算を誤った、組立除法で欠項を落とした、2次式を分解し忘れた、という4種類に分類します。翌日は同じ種類の問題を一題選び、5ステップを白紙から再現してください。
3次式の因数分解は「普通の対策」では受からない
結論から言います。公式を眺め、完成済みの組立除法を写すだけの「普通の対策」では、初見の3次式を因数分解し、志望大学の入試で得点して受かるのは厳しいです。本記事だけでも、式の型の判別、候補列挙、代入、因数定理、組立除法、2次式の処理、重解、数の範囲という連続した判断が必要でした。
x³+6x²+11x+6ではP(1)が0でなくてもP(−1)へ進み、2x³−3x²−7x+3では整数だけでなく−3/2を候補に入れる必要があります。x³−3x+2では欠けたx²項へ0を置き、商に同じ根が残ることまで確かめます。一つの知識ではなく、誤答した工程を日々特定して修正する学習管理が要ります。
選択肢①：独学・参考書のみでは答案行動まで変えにくい
独学や参考書から因数定理と組立除法の情報は得られます。しかし、①授業や教材で情報を得ても行動は変わらないという従来塾の限界に当たりやすくなります。解説を読んで納得することと、白紙から候補を列挙し、余り0と最終検算まで書けることは別です。誤答工程を自分だけで特定できない場合もあります。
選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が反復演習へ変わりにくい
映像授業やアプリは組立除法の動きを見やすくしますが、視聴時間が増えても、自力で根を探す回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。分数候補で止まる生徒と、2次式の判別式で止まる生徒へ同じ動画だけを示しても課題は分かれません。
選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る
集団授業の大手予備校は体系的な授業を提供しますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が高次方程式の応用へ進んでも、ある生徒は候補に負の数を入れ忘れ、別の生徒は欠項の0を落とします。一斉の宿題だけでは、一人ひとりの誤答工程を翌日の問題数や復習間隔へ細かく反映しきれません。
選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い
一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に根の符号を直しても、翌日から同じ間違いを繰り返し、確認が次週なら誤った手順が定着しかねません。3次式の因数分解は高次方程式、不等式、微分の増減問題にもつながるため、修正の遅れが後の単元へ波及します。
独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「弱点工程を個別化する」「毎日の答案行動へ変える」「短い周期で再確認する」のどこかが不足します。だから、3次式の因数分解を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。
鬼管理専門塾の特徴
鬼管理専門塾は、授業や教材を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、3次式の因数分解を含む大学受験数学の対策へどう接続できるかと合わせて説明します。
教材名・問題数・復習範囲まで、今日の学習を具体的な数値で示す
現在地・志望校・誤答工程に合わせ、個別の行動プランを設計する
日々の進捗と毎週の確認テストで、理解と定着を検証する
厳格な選考を通過した講師が伴走し、満足度アンケート1,524件も公開する
大学受験・総合型選抜/推薦・英語資格・高校受験に対応する
LINEの質問窓口とZoomの無料説明会、資料請求を用意する
❶ 1日単位で数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。
3次式の対策なら、「因数分解を復習する」で終わらず、整数解の問題を何題、分数解を何題、重解を何題解き、組立除法のどの誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から答案の再現中心へ移せます。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、その計画を実際に実行できているかまで確認します。
数学でも、根の候補を作れない生徒と、候補は作れるが2次式の仕上げで止まる生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、因数分解のどの工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析して修正する仕組みが公式ページで示されています。
一度できた組立除法も、一週間後に係数や根の種類が変わって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で因数分解の再現性を確認できます。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。
3次式の答案では、最終結果だけでなく、候補列挙や組立除法の一つの係数に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示して確認することで、答えだけの丸付けでは見逃す原因を早く修正できます。
❺ 大学受験から英語資格までの専門コース
専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。
本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲と残り期間を前提に、因数定理へどれだけ時間を使い、方程式・微分・数列などの関連単元へいつ進むかを逆算できます。
❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求
学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに、資料請求の窓口も用意されています。
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まとめ｜最初の解を見つけて3次式を2次式へ下げる
| 段階 | すること | 確認する数式 | ミス防止 |
|---|---|---|---|
| 形の確認 | 共通因数・立方公式 | A³±B³ | 代入前に見る |
| 候補作り | ±p/qを列挙 | p|定数項、q|最高次係数 | 正負と分数 |
| 根の確認 | 候補を代入 | P(a)=0 | 簡単な値から |
| 次数を下げる | x−aで割る | P=(x−a)Q | 欠項に0 |
| 仕上げ | Qを分解・展開 | 元の全係数と一致 | 重解も確認 |
3次式の因数分解は、最初の解aを一つ見つけ、因数定理でx−aを取り出し、残った2次式を因数分解する手順です。整数係数多項式の有理数解候補は、分子が定数項の約数、分母が最高次係数の約数に限られます。最高次係数が1なら、まず定数項の正負の約数を1、−1のような軽い値から試します。
根を見つけたら、組立除法では欠けた次数に係数0を置き、最後の余りが0になることを確認します。商の2次式はたすき掛け、判別式、解の公式で処理し、同じ根が残れば重解です。候補が全滅したら有理数解なしと判断し、無作為な代入を続けません。最後に因数の積を展開し、元の3次式の全係数へ戻ることまで確認してください。
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よくある質問
Q. 3次式の因数分解は何から始めればよいですか？
A. 共通因数、立方和・立方差、グループ分けを先に確認します。それで分解できなければ、定数項と最高次係数から有理数解候補を作り、P(a)=0となる最初の解を探します。
Q. 最初に代入する数字はどうやって決めますか？
A. 有理数解p/qがあるなら、pは定数項の約数、qは最高次係数の約数です。候補に正負を付け、1、−1など計算しやすい値からP(a)を調べます。
Q. P(a)=0だとなぜx−aが因数になるのですか？
A. P(x)をx−aで割った余りはP(a)です。P(a)=0なら余りが0で割り切れるため、因数定理によりP(x)=(x−a)Q(x)と書けます。
Q. 解が−2なら因数はx−2とx+2のどちらですか？
A. 因数はx−(−2)=x+2です。一般に解aに対応する因数はx−aです。因数を0と置き、元の解へ戻るかを確認すると符号ミスを防げます。
Q. 組立除法でx²項がないときはどうしますか？
A. 欠けた次数の係数に0を置きます。たとえばx³−3x+2なら係数は1、0、−3、2です。0を省くと列がずれ、誤った商になります。
Q. 有理数解候補を全部試しても0にならない場合は？
A. 候補を正しく全て調べたなら、その多項式は有理数解を持ちません。無作為に別の整数を試さず、共通因数・公式・置換・問題が指定する数の範囲を再確認します。
Q. 3次式の重解はどう見つけますか？
A. 根aを見つけてx−aで割った後、商Q(x)にもaを代入します。Q(a)=0ならx−aがもう一度因数として現れ、P(x)は(x−a)²を因数に持ちます。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映
