接弦定理とは？証明・使い方のコツを図解｜角度・相似・証明問題を例題で解説

接弦定理で難しいのは、公式そのものではなく、図の中から「接点・接線・弦・対応する弧」を正しく拾うことです。角の見た目や図の傾きに頼ると、隣り合う補角を選んだり、別の弦を見込む円周角へつないだりします。そこで本記事では、毎回同じ確認順序を使い、接弦定理を円周角の定理から理解します。定義と証明は、宮城教育大学教員サイトの公開教材、文教大学教育学部紀要、静岡理工科大学の公開教材で相互確認した内容に基づきます。

接弦定理とは？まず結論と角の対応を確認

接弦定理とは、円の接線と、接点を通る弦が作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい、という定理です。円Oの接点をA、Aを通る接線上の点をT、弦のもう一方の端をB、対応する円周上の点をCとすれば、代表的な形は「∠TAB＝∠ACB」です。左辺は接線ATと弦ABの角、右辺は同じ弦ABを見込む円周角です。

確認するもの	図で探す対象	判断の問い
接点	接線が円に触れる点A	円と直線の共有点はどこか
弦	接点Aから円周上Bへ伸びるAB	角の一辺は接点を通る弦か
円周角	弦ABを両端に持つ∠ACB	同じA・Bを見込んでいるか
弧	角の内側にある弧AB	選んだ接線の向きと弧が対応するか

覚え方は「接線の角を、同じ弦の向こう側へ移す」です。例えば接線と弦ABが作る角を見つけたら、円周上でAとBへ線が伸びている頂点Cを探します。Cの位置は固定ではなく、同じ弧ABに対する円周角であれば大きさは同じです。したがって、図の中に候補の点が複数あっても、見込む弦がABなら同じ角度です。

一方で、「接線と円周上の線があるから使える」とだけ考えるのは危険です。角の一辺が接線であること、もう一辺が接点を端点とする弦であること、移した先がその弦を見込む円周角であることの3条件が必要です。この3点を図へ印付けしてから式を書くと、対応の取り違えが減ります。

接弦定理の証明｜直径を引く方法と中心を使う方法

接弦定理は、接線と半径が垂直であること、直径に対する円周角が90度であること、同じ弧に対する円周角が等しいことから証明できます。最も短い証明は、接点Aから直径ADを引く方法です。補助線ADを引く目的は、接線との90度と、半円に対する90度を同時に作ることにあります。

証明1｜接点から直径を引く

円OでAを接点とする接線ATと弦ABを考え、Aを通る直径ADを引きます。接線ATは接点Aを通る半径OAに垂直で、OAとADは同一直線上にあるため、∠TAD＝90度です。したがって ∠TAB＋∠DAB＝90度、つまり∠TAB＝90度－∠DABです。

次に、ADは直径なので、半円ADに対する円周角∠ABDは90度です。三角形ABDの内角和から ∠ADB＝90度－∠DABとなります。よって∠TAB＝∠ADBです。さらに、∠ADBと∠ACBはどちらも弦ABを見込む同じ側の円周角なので等しく、∠TAB＝∠ACBが得られます。これで接弦定理が示せました。

証明の段階	使う性質	得られる式
接線側	接線AT⊥半径OA、A・O・Dは一直線	∠TAB＝90°－∠DAB
三角形側	ADは直径なので∠ABD＝90°	∠ADB＝90°－∠DAB
円周角側	∠ADBと∠ACBは同じ弦ABを見込む	∠ADB＝∠ACB
結論	等しい角をつなぐ	∠TAB＝∠ACB

証明2｜中心角を2倍にして示す

別証明では、中心Oと弦の端点A・Bを結びます。∠TAB＝αと置くと、OA⊥ATより ∠OAB＝90度－αです。OA＝OBは半径なので三角形OABは二等辺三角形となり、∠OBAも90度－αです。よって中心角∠AOBは180度－2（90度－α）＝2αです。

弦ABを見込む円周角∠ACBは、同じ弧ABに対する中心角∠AOBの半分なのでαです。したがって ∠ACB＝α＝∠TABとなります。この証明は「接線と半径の直角」「二等辺三角形」「中心角は円周角の2倍」という三つの性質をつないでおり、中心が図に示されている問題で使いやすい方法です。

宮城教育大学教員サイトの公開教材では直径を引く証明が示され、文教大学教育学部紀要では、接線と半径の垂直、円周角の定理、接弦定理が一連の命題として整理されています。証明を丸暗記するより、どの性質が次の式を作るのかを矢印でつなぐと、補助線を自分で選びやすくなります。

接弦定理の使い方｜角度を求める4ステップ

角度計算では、接弦定理を使うかどうかを先に決めるのではなく、求めたい角を構成する2本の線を確認します。その一辺が接線、もう一辺が接点から出る弦なら接弦定理の候補です。対応する円周角へ移した後は、三角形の内角和、二等辺三角形、平行線、円に内接する四角形など、既習の性質を使います。

例題1｜円周角から接線と弦の角を求める

円Oの接点Aにおける接線ATと弦ABがあり、円周上の点Cについて∠ACB＝58度とします。∠ACBは弦ABを見込む円周角なので、接弦定理より∠TAB＝∠ACB＝58度です。最短の問題ですが、答案には「弦ABを見込む円周角」と書き、角の対応を明確にします。

例題2｜接線の角から三角形の残りの角を求める

接線ATと弦ABの角∠TABが42度なら、弦ABを見込む円周角∠ACBも42度です。さらに三角形ABCで ∠ABC＝71度と分かっているなら、∠BAC＝180度－42度－71度＝67度です。接弦定理が直接求めるのは円周角1つであり、その後に三角形の内角和を使うという二段階です。

与えられた条件	接弦定理で移す角	次に使う性質	答え
∠ACB＝58°	∠TAB＝58°	不要	接線と弦の角58°
∠TAB＝42°、∠ABC＝71°	∠ACB＝42°	三角形の内角和	∠BAC＝67°
∠TAB＝38°、AB＝AC	∠ACB＝38°	二等辺三角形	∠ABC＝38°
∠TAB＝50°、外側の角	内側は50°	一直線の角	外側は130°

例題3｜二等辺三角形と組み合わせる

∠TAB＝38度で、弦ABと弦ACの長さが等しい、つまりAB＝ACとします。接弦定理より ∠ACB＝38度です。AB＝ACの二等辺三角形ABCでは、ABの向かいの∠ACBとACの向かいの∠ABCが等しいため、∠ABC＝38度、∠BAC＝104度となります。等しい辺の向かいの角を取り違えないようにします。

式を書く前の30秒チェック

角度問題で途中式を一行に詰めると、どこで接弦定理を使ったのか分からなくなります。まず 「接弦定理より∠TAB＝∠ACB」と角の等式だけを書き、その次の行で「三角形ABCの内角和より」と続けます。根拠を分けると、採点者にも自分にも誤りの位置が見えます。

図形全体の中で接弦定理が見えにくいときは、円・接線・使う弦だけを別に小さく描き直すのも有効です。元の図の向きを保つ必要はありません。点名と接続関係さえ同じなら、接点を下へ置き、接線を水平にして描くことで、対応する円周角を見つけやすくなります。

相似・平行・接線の証明に接弦定理を使うコツ

接弦定理は角度を求めるだけでなく、等しい角を作って三角形の相似を示したり、錯角・同位角をそろえて平行を示したりするために使えます。また、接弦定理の逆を使えば、ある直線が円の接線であることも証明できます。証明問題では「最終的に何を示したいか」から、必要な角の等式を逆算します。

相似を示す｜外部の点と接線・割線

円外の点Tから接線TAを引き、Tを通る割線が円とB、Cの順に交わるとします。三角形TABと三角形TCAを比べると、接弦定理より、接線TAと弦ABの角∠TABは、弦ABを見込む円周角∠ACBに等しいです。T・B・Cは一直線上なので、∠ACBは三角形TCAの∠TCAと同じ角として読めます。

また、∠ATBと∠CTAは、どちらも直線TAと直線TBCが作る角です。よって2組の角がそれぞれ等しく、三角形TABと三角形TCAは相似です。対応する辺の比からTA／TC＝TB／TA、したがって TA²＝TB×TCも得られます。これは接線と割線に関する方べきの関係へつながる代表的な流れです。

示したい結論	接弦定理で作る角	追加で見る角・性質
三角形の相似	接線と弦の角＝円周角	共通角または一直線上の角
2直線の平行	接線と弦の角＝円周角	錯角または同位角
直線が接線	候補の直線と弦の角＝円周角	接弦定理の逆
二等辺三角形	接線側の2角を円内へ移す	等しい角の対辺は等しい

相似条件を使うときは、角の等しさだけでなく、どの頂点がどの頂点へ対応するかを並べます。相似の基礎を復習したい場合は、既存記事の三角形の相似条件と証明問題の解き方で、2組の角が等しい場合の書き方を確認してから戻ると、接弦定理との接続が明確になります。

平行を示す｜錯角を作る

ある接線と別の辺が平行だと示したいなら、その2直線を横切る線を1本決めます。例えば弦ABを横切る線と見れば、接線とABの角を接弦定理で円周角へ移し、その円周角がもう一方の直線とABの作る角に等しいことを示します。錯角または同位角が等しいので、2直線は平行だと結論できます。

平行の証明でありがちな失敗は、等しい角を2組見つけても、それらが同じ横切る線に対する錯角・同位角になっていないことです。最後に「どの2直線を、どの直線が横切っているか」を言葉にし、平行の判定条件へ接続できる角かを確認してください。

接弦定理の逆｜接線であることを示す

円周上の点Aを通る直線ℓと弦ABについて、ℓとABが作る角が、弦ABを見込む円周角に等しいとします。このときℓは点Aにおける円の接線です。これを接弦定理の逆として使います。問題文に「接線」と書かれていなくても、角の等しさが与えられている場合は、逆の利用を疑います。

答案では、いきなり「逆より接線」と書くのではなく、「∠（ℓとAB）＝∠ACBであり、∠ACBは弦ABを見込む円周角である。したがって接弦定理の逆より、ℓはAにおける円の接線である」と、接点候補Aと対象の弦ABを明記します。これで逆の条件を満たしていることが伝わります。

円の中心や外接円の半径まで扱う問題では、正弦定理と組み合わさることもあります。辺と角から外接円半径を求める流れは、三角形の外接円の半径の求め方で整理しています。接弦定理で得た角を、その後の正弦定理へ渡す場合に参照してください。

図の向き・鈍角側で迷わないための注意点

接弦定理では、同じ接線と弦でも、接線のどちら側の半直線を使うかによって、角がθと180度－θに分かれます。円周上でも、弦ABの一方の弧に頂点を取った円周角と、反対側の弧に頂点を取った円周角は補角になります。「接線と弦の角は全部同じ」と覚えるのではなく、角の内部にある弧を対応させます。

注意1｜鋭角と鈍角を取り違えない

例えば一方の接線半直線と弦ABが作る角が50度なら、反対向きの半直線と弦ABが作る隣の角は130度です。問題がどちらをαとしているかは、角印の弧が描かれた位置で確認します。図の見た目だけで「小さい方」と決めず、角の2辺を指でたどると安全です。

円周角側でも、弦ABに対して頂点がどちらの弧にあるかを見ます。同じ側の弧に頂点を取る円周角どうしは等しく、反対側の弧に頂点を取る円周角とは和が180度になります。接線側で選んだ角が鈍角なら、対応する円周角も鈍角になる配置を探します。

注意2｜接点を通らない弦には直接使えない

円に接線があり、近くに弦CDが見えても、接点がAで弦CDがAを通らないなら、接線と弦CDへ接弦定理を直接適用できません。必要ならAとC、またはAとDを結び、接点を端点とする弦を作る必要があります。「接線がある」だけで条件を満たしたと思わないことが重要です。

注意3｜円周角の両端を確認する

接線と弦ABの角を移す先は、必ずAとBを両端に持つ円周角です。∠ACDのように、頂点Cが円周上でも、両辺がAとDへ伸びている角は弦ADを見込むため対象外です。点名を読まずに角の形だけを見ると、この取り違えが起こります。

誤りやすい判断	なぜ誤りか	修正する確認
小さい角をいつも選ぶ	問題が鈍角側を指定する場合がある	角印と2本の半直線を確認
円周上の角ならどれでもよい	見込む弦が一致しない	円周角の両端を読む
接線の近くの弦へ使う	弦の端点が接点ではない	接点から弦が出ているか確認
図が似ているから等しい	図は正確な縮尺とは限らない	定理と条件を式で書く
外角を内角として使う	180°の補角を落としている	一直線の角を一度書く

迷ったら、求める角をθと置き、隣の角を180度－θと書きます。次に弦ABを見込む円周角を2か所探し、それぞれがどの弧側にあるかを確認します。角の候補を数式で並べると、鋭角・鈍角の対応を視覚だけに頼らず整理できます。

例題・練習問題で接弦定理を定着させる

ここでは、基本の角度移動、補角、二等辺三角形、相似、接弦定理の逆を順に練習します。答えを見る前に、図へ①接点、②使う弦、③対応する円周角の3つを必ず書き込んでください。計算が合っても、角の対応を説明できなければ、図が変わったときに再現できません。

基本問題1｜接線と弦の角を求める

円Oの接点Aにおける接線AT、弦AB、円周上の点Cがあり、∠ACB＝64度です。∠ACBは弦ABを見込む円周角なので、接弦定理より∠TAB＝64度です。反対向きの接線半直線とABが作る隣の角を問われたなら、180度－64度＝116度となります。

基本問題2｜三角形の内角を求める

接線ATと弦ABの角が47度、三角形ABCの∠BACが68度であるとします。接弦定理より ∠ACB＝47度です。三角形ABCの内角和から、∠ABC＝180度－68度－47度＝65度です。接弦定理で47度を円の内部へ移してから内角和を使います。

標準問題1｜二等辺三角形を証明する

接点Aで接線ATと弦ABが作る角を弦ACが二等分し、円周上にB、Cがあるとします。二等分より、接線とACの角と∠CABが等しい、という形の条件を得ます。接弦定理で接線と弦の角を円周角へ移すと、三角形ABC内に等しい2角を作れます。等しい角の向かいの辺も等しいため、二等辺三角形を示せます。

このタイプでは、どの辺が等しくなるかを最初に決め付けず、最後に「等しい角の向かい側」を確認します。宮城教育大学教員サイトの公開教材にも、接線と弦の角を弦が二等分する条件から、円内の三角形が二等辺であることを示す練習が掲載されています。

標準問題2｜相似から長さの関係を得る

円外の点Tから接線TAと割線TBCを引き、TA＝6、TB＝4とします。接弦定理を使うと三角形TABと三角形TCAが相似になり、TA²＝TB×TCが得られます。したがって36＝4×TCより、TC＝9です。数値を代入する前に、相似な三角形と対応辺を示すことが重要です。

応用問題｜直線が接線であることを証明する

円周上のA、B、Cと、Aを通る直線ℓについて、ℓとABの作る角が∠ACBに等しいとします。∠ACBは弦ABを見込む円周角であり、直線ℓと弦ABの角がこれに等しいので、接弦定理の逆より、ℓは点Aにおける円の接線です。接点候補Aと対象の弦ABを答案に明記します。

発展問題｜平行線を証明する

接線ATと弦ABの角が、別の直線mとABの作る角に等しいことを示せたとします。この2角が、直線ABを横切る線として見たときの錯角または同位角に当たるなら、AT∥mです。接弦定理は一方の角を円周角へ変換するために使い、もう一方も同じ円周角へ等しいことを円周角の定理や二等辺三角形で示します。

問題	最初の一手	仕上げの性質
角度64°	弦ABを見込む円周角を確認	接弦定理
三角形の内角	接線の角を円内へ移す	内角和180°
二等辺の証明	二等分された角を移す	等角の対辺は等しい
長さTC	2組の角をそろえる	相似比・TA²＝TB×TC
接線の証明	弦ABを見込む角を確認	接弦定理の逆
平行の証明	同じ円周角へそろえる	錯角・同位角

復習では、同じ図をそのまま解き直すだけでなく、上下反転・左右反転した図や、点名を変えた図を混ぜます。最初は角度計算だけ、次に二等辺・相似、最後に逆や平行の証明へ進むと、定理の適用条件と目的を分けて身に付けられます。

誤答は「接線を確認しなかった」「弦の両端を取り違えた」「補角を落とした」「接弦定理の後の内角和で計算ミスをした」「相似の対応順を誤った」に分類します。単に正解を写すのではなく、次の演習で確認する項目を1つに絞ると、同じ原因の失点を減らせます。

接弦定理を含む図形証明は「普通の対策」では受からない

結論から言います。接弦定理の公式を覚え、同じ向きの例題を数問解くだけという「普通の対策」では、接弦定理を含む大学入試の図形証明で安定して得点するのは厳しいです。定理を知っていることと、反転図から接点・弦・対応する円周角を見つけ、相似や平行へつなげられることは別の力だからです。

この記事だけでも、基本角度では弦ABの確認、証明では直径または半径の補助線、鈍角側では補角、相似では頂点対応、接線の証明では定理の逆が必要でした。同じ「接弦定理」という単元でも、失点原因は生徒ごとに違います。必要なのは解説をもう一度聞くことだけでなく、誤答の型に応じて翌日の問題と確認基準を変えることです。

そこで、接弦定理を含む図形対策として検討されやすい方法を、鬼管理専門塾の公式ページが示す「従来塾の3つの限界」——①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い——に照らし、順番に検討します。

選択肢① 独学・参考書だけでは再現の確認が抜ける

独学や参考書は、接弦定理の定義と証明を読み、自分の速度で例題を確認するには有効です。しかし、解説を読んで分かったことと、翌日に反転図から弦を選べることは同じではありません。①の限界により、演習日・正答率・誤答原因・解き直し日を管理しなければ、知識が行動へ変わらないまま終わります。

さらに、市販教材の順番をそのまま全員が進めるだけでは、補角で誤る生徒と、相似の対応で誤る生徒へ同じ問題数が割り当てられます。②の限界を越えるには、自分の答案を分析し、弱点に合わせて類題を選び直す作業まで独力で続けなければなりません。

選択肢② 映像授業・アプリだけでは答案の修正が本人任せになる

映像授業や学習アプリは、直径を引く証明を繰り返し視聴し、図の動きを確認するのに便利です。ただし、動画を見た時間が増えても、自分の答案へ「弦ABを見込む円周角」と書ける保証はありません。①の限界どおり、視聴後に白紙から証明を再現し、誤りを直す行動は別に管理する必要があります。

おすすめ問題が共通の順序で提示されるだけでは、角度計算はできるが接弦定理の逆が使えない、といった個別の穴へ十分な演習を割り振れない場合があります。②の限界に対し、正誤だけでなく、どの条件確認が抜けたかまで見て翌日の課題を変える仕組みが必要です。

選択肢③ 集団授業の大手予備校では全員同じ進度になる

集団授業の大手予備校では、質の高い証明解説を受けられても、扱う例題と進度はクラス単位です。円周角から復習すべき生徒と、相似・方べきへの応用だけを増やすべき生徒が、同じ授業を受けます。これは②の「全員同じ指導」の限界に当たり、個人の誤答だけを集中的に修正しにくい方法です。

授業後の数日間に、どの反転図を何題解き、いつ白紙証明を再テストするかが本人任せなら、①と③の問題も残ります。授業が分かりやすいことと、毎日の演習が志望校の要求水準へ達することは、分けて管理しなければなりません。

選択肢④ 一般的な個別指導塾では週外の修正が遅れる

一般的な個別指導塾は、その場で図へ補助線を書き込み、疑問を質問できる点に強みがあります。しかし、週1〜2回の授業時間だけを管理する形では、翌日の演習で生じた「弦の両端を違えた」「鈍角側を落とした」という誤りが、次回指導まで残りやすくなります。これは③の限界です。

接弦定理は短い角度問題を毎日少量配置し、誤答の翌日に向きを変えた類題を出すと修正しやすい単元です。週単位でしか計画を見直さない体制では、その短い確認周期と、相似・証明へ進むタイミングを個別に保つのが難しくなります。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を消去法で検討すると、接弦定理を入試得点へ変えるための「個別計画」「毎日の実行」「短い周期での答案確認」を同時には満たしません。だから、最後に残るのが、1日単位で個別の行動まで管理する鬼管理専門塾です。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を受けて終わるのではなく、志望校と現在地から逆算した学習行動を1日単位で設計し、実行結果を毎日・毎週確認する仕組みを整えています。ここでは公式サイトで確認できる確定6特徴だけを、接弦定理を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと併せて整理します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材名・ページ・問題数・確認方法を1日単位で数値化して指示します。いつ、どこで、何を、なぜ、どのように行うかまで具体化する方針です。

接弦定理なら、「基本角度3題、補角2題、白紙証明1題を解き、翌日に反転図を再テストする」のように行動へ落とせます。定理を読んだだけの状態を避け、初見図で再現するための量を毎日確保できます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師が、志望校、現在の成績、科目ごとの得意不得意に合わせて、生徒ごとの個別行動プランを設計します。全員へ同じ教材を同じ速度で進めるのではなく、合格に必要な行動から逆算する方式です。

接弦定理の角度計算はできても、相似の対応や定理の逆で失点するなら、必要な演習は同じではありません。誤答の型に応じて問題比率を変えることで、既にできる基本問題へ時間を使い過ぎることを防げます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗を確認するだけでなく、毎週の確認テストで定着度を数値化します。合格ラインに届かなければ追加課題を出し、計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

接弦定理のように「解説直後は分かったが、数日後に対応する弦を選べない」内容も、確認テストで再現性を測れます。条件発見と計算・証明を分け、必要な類題だけを追加して復習の精度を上げます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

公式サイトによると、鬼管理専門塾の講師採用率は0.6%です。採用後も研修段階で基準に届かなければ不採用とする選考を行い、専属講師として指導します。講師満足度アンケートは回答1,524件を公開しています。

大学受験数学では、答えだけでなく「なぜその弦と円周角を選んだか」を答案から確認する必要があります。思考過程を見て、次の行動へ直せる講師が専属で付くことは、図形証明の再現性を高める支えになります。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学受験の大学特化・学部特化コース、総合型選抜・推薦対策、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格対策、高校受験対策まで、目的別の専門コースを展開しています。

この記事の接弦定理対策は、大学受験コースの数学全体の計画に組み込みます。円だけを孤立させず、三角形の相似、方べき、正弦定理など関連分野とともに、志望校の出題傾向へ合わせて演習順を設計できます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前には無料説明会を利用でき、資料請求も用意されているため、指導方法やコース内容を事前に確認できます。公式FAQではLINEでの質問対応が案内されています。

接弦定理でつまずいている場合も、無料説明会では単元1つだけでなく、現在の数学力と志望校までの距離から、毎日の学習量をどう組むかを相談できます。質問対応や確認テストの進め方も入会前に確かめてください。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。詳細条件は無料説明会で確認してください。これは大学受験コースのみが対象で、英検・TOEIC・TOEFL・IELTSなどの英語資格対策コースは対象外です。まずは無料説明会で、接弦定理の誤答を1日単位の課題へどう変えるかを確認できます。

指導方針と「従来塾の3つの限界」の詳細は「鬼管理」とは？で、これまでの実例は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜接弦定理は「接点→弦→円周角」で見抜く

要点	確認する内容	使う根拠
定義	接線と接点を通る弦の角	同じ弧に対する円周角と等しい
証明	接点から直径または半径を引く	直角・二等辺・円周角
角度計算	同じ弦の円周角へ移す	内角和・二等辺三角形
鈍角側	隣り合う角と弧の側を確認	補角180°
相似・平行	結論に必要な角を逆算	AA・錯角・同位角
接線の証明	候補直線と弦の角を確認	接弦定理の逆

接弦定理は、「円の接線と弦の角が、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」という定理です。使うときは、角の見た目ではなく、接点A、弦AB、同じ弦ABを見込む円周角という順に確認します。この順番を守れば、図が回転・反転しても対応を再現できます。

証明では、接点から直径を引いて2つの「90度－同じ角」を作るか、中心と弦の両端を結んで二等辺三角形と中心角2倍を使います。角度計算の後は、三角形の内角和、二等辺三角形、相似、平行、接弦定理の逆へつなぎます。接弦定理だけで終わらず、その後の一手まで分けて練習してください。

まず基本問題で点名入りの等式を書き、翌日は鋭角・鈍角を入れ替えた反転図、1週間後は相似・接線の証明を解きましょう。誤答を「接線確認」「弦の両端」「補角」「相似の対応」「逆の条件」に分類すれば、次に何を直すべきかが具体的になります。

よくある質問

Q. 接弦定理とは何ですか？

A. 円の接線と、その接点を通る弦が作る角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい、という定理です。接点A、接線AT、弦AB、円周上の点Cを取る代表的な配置では、∠TAB＝∠ACBと表せます。

Q. 接弦定理はどうやって証明しますか？

A. 接点Aから直径ADを引きます。接線と半径が垂直なので∠TAB＝90°－∠DABです。またADは直径なので∠ABD＝90°となり、∠ADB＝90°－∠DABです。よって∠TAB＝∠ADBで、同じ弦ABを見込む円周角へつなげれば証明できます。

Q. 接弦定理でどの円周角を選べばよいですか？

A. 接線と一緒に角を作っている弦の両端を見ます。弦ABなら、円周上の別の点CからAとBへ線を引いてできる∠ACBが候補です。角の内部にある弧と、頂点Cがある側も確認してください。

Q. 接弦定理の鋭角と鈍角はどう区別しますか？

A. 接線のどちら向きの半直線と弦が作る角かを、角印で確認します。隣り合う2角は和が180°です。円周角側でも弦のどちらの弧に頂点があるかを確認し、角の内部にある弧と対応させます。

Q. 接弦定理の逆は何を示せますか？

A. 円周上の点Aを通る直線と弦ABの角が、弦ABを見込む円周角に等しいとき、その直線がAにおける円の接線であることを示せます。答案では接点候補Aと対象の弦ABを明記します。

Q. 接弦定理は相似の証明にどう使いますか？

A. 接線と弦の角を円周角へ移すことで、2つの三角形に等しい角を1組作れます。もう1組を共通角や一直線上の角から示し、2組の角がそれぞれ等しいことを使って相似を証明します。