三角形の五心とは？垂心・重心・外心・内心・傍心と位置ベクトルを証明つきで解説【数学A・C】

三角形の五心は、数学Aの「図形の性質」と数学Cの「平面上のベクトル」をつなぐ重要テーマです。本記事では、三角形ABCの辺BC・CA・ABの長さをそれぞれa・b・c、頂点A・B・Cの位置ベクトルをそれぞれa・b・cと書き分けます。文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編が示す図形の論理的な考察に沿い、定義だけでなく「なぜ1点で交わるか」「なぜその公式になるか」まで確認します。それでは、五心の全体像から始めます。

三角形の五心とは？まず5種類を一覧で整理

三角形の五心とは、重心・外心・内心・垂心・傍心という5種類の中心の総称です。ここで「5つの点」と覚えると、傍心が3個あることと矛盾して見えます。正確には「5種類の中心」で、一般の三角形には重心・外心・内心・垂心が各1個、傍心が3個あります。正三角形では重心・外心・内心・垂心が同じ点に重なりますが、傍心は外部の別の位置にあります。

中心	交わる3直線	代表的な距離・比	一般的な位置
重心G	各頂点と対辺の中点を結ぶ中線	中線を頂点側から2:1	必ず内部
外心O	3辺の垂直二等分線	OA=OB=OC	鋭角は内部、直角は辺上、鈍角は外部
内心I	3つの内角の二等分線	3辺までの距離が等しい	必ず内部
垂心H	各頂点から対辺または延長へ下ろす高さ	AH⊥BCなど	鋭角は内部、直角は頂点、鈍角は外部
傍心I_A等	1内角と2外角の二等分線	3辺の直線までの距離が等しい	三角形の外部に3個

見分ける最短ルートは、問題文の動詞に注目することです。「中点と結ぶ」なら重心、「辺を垂直に二等分」なら外心、「角を二等分」なら内心または傍心、「頂点から対辺へ垂直」なら垂心です。円が出た場合は、3頂点を通る外接円の中心が外心、3辺に接する内接円の中心が内心、1辺と他の2辺の延長に接する傍接円の中心が傍心です。線の名前と円の役割を往復できるようにしましょう。

垂心とは？高さの交点と鋭角・直角・鈍角での位置

垂心Hは、三角形の各頂点から向かい合う辺へ下ろした3本の高さの交点です。高さとは頂点から対辺を含む直線へ垂直に引いた線分または直線を指します。鋭角三角形では垂線の足がすべて辺上にあるためHは内部にあり、直角三角形では2辺そのものが高さになるためHは直角の頂点と一致します。鈍角三角形では2本の高さを辺の延長上へ引くので、Hは外部に出ます。

作図では、3本すべてを最初から引く必要はありません。AからBCへ下ろす垂線と、BからCAへ下ろす垂線を引き、その交点をHとします。3本目のCからABへの垂線もHを通ることが証明できれば、Hが垂心です。これは「3直線が1点で交わる」証明の基本形で、2直線の交点を先に決め、残りの1直線がその点を通ることを示します。

図を描くときは「辺に向かって短く線を引く」のではなく、対辺を含む直線まで延ばしてください。特に鈍角三角形では、辺の線分だけを見ていると高さを引けず、垂心が存在しないように錯覚します。また、垂直二等分線と高さは別物です。高さは頂点を通りますが、辺の中点を通るとは限りません。垂直二等分線は辺の中点を通りますが、頂点を通るとは限らず、その交点は外心です。

垂心の証明｜3本の高さが1点で交わることを内積で示す

三角形ABCの外心Oを原点とし、A・B・Cの位置ベクトルをa・b・cとします。外心から3頂点までの距離は外接円の半径Rに等しいため、|a|=|b|=|c|=Rです。ここで、位置ベクトルh=a+b+cをもつ点Hを取ります。このHが垂心であることを示すには、AH⊥BC、BH⊥CA、CH⊥ABの3つを内積で確認すれば十分です。

まずAHの方向ベクトルはh-a=b+c、BCの方向ベクトルはc-bです。したがって、(b+c)・(c-b)=b・c-|b|²+|c|²-c・b=|c|²-|b|²=R²-R²=0となります。よってAH⊥BCです。途中のb・cとc・bは内積の交換法則で等しいため打ち消し合い、残る2つの長さの二乗も外心を原点にしたことで等しくなります。

同じ計算を文字だけ循環させれば、BHの方向はa+c、CAの方向はa-cなので、(a+c)・(a-c)=|a|²-|c|²=0です。またCHの方向はa+b、ABの方向はb-aなので、(a+b)・(b-a)=|b|²-|a|²=0です。したがってHは3本すべての高さ上にあり、3本の高さはHで交わります。これは垂心の存在を示すと同時に、外心原点ならh=a+b+cという公式も与えます。

原点が外心でない一般の位置ベクトルでは、外心の位置ベクトルをoとすると、垂心はh=a+b+c-2oと表せます。座標問題で外心Oを先に求められるなら、この式は2本の高さの連立方程式を解く代わりになります。ただし公式だけを使う前に、なぜ「-2o」が必要かを、原点をOへ平行移動したときのa-o、b-o、c-oの和から説明できるようにしてください。

重心とは？中線を2:1に分ける性質と位置ベクトル

重心Gは、各頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ3本の中線の交点です。Aから辺BCの中点Mへ引いた中線AM上で、AG:GM=2:1となります。比の向きを逆にしてGM:GA=2:1と書く誤りが多いため、「頂点から重心までが長い」と図で確認してください。重心は三角形の形にかかわらず必ず内部にあり、三角形を一様な板とみなしたときのつり合いの中心にも対応します。

位置ベクトルでは、A・B・Cの位置ベクトルをa・b・cとすると、重心Gの位置ベクトルはg=(a+b+c)/3です。例えば辺BCの中点Mはm=(b+c)/2です。GがAMを2:1に内分するので、内分点の公式からg=(1×a+2×m)/3=(a+b+c)/3となります。3頂点の座標を成分ごとに平均すれば重心の座標が出るのも、この式の成分表示です。

さらに、中線AMは三角形ABCを同じ高さ・同じ底辺長BM=CMの2つへ分けるため、△ABMと△ACMの面積は等しくなります。3本の中線をすべて引くと三角形は6つの等面積の小三角形に分かれ、Gと3頂点を結べば△GBC、△GCA、△GABの面積も等しくなります。面積比から位置ベクトルを求める問題では、この等面積が係数1:1:1につながると理解できます。

重心の見方	覚える内容	問題での使い方
作図	3本の中線の交点	辺の中点を先に取る
線分比	AG:GM=2:1	内分点の公式に入れる
位置ベクトル	g=(a+b+c)/3	3頂点の平均を取る
面積	△GBC=△GCA=△GAB	面積比と係数を対応させる

重心と外心・垂心には、後で扱うオイラー線の関係があります。外心Oを原点にすると垂心Hはh=a+b+cであり、重心Gはg=(a+b+c)/3=h/3です。つまりOからHへ進む線分上の3分の1の位置にGがあり、OG:GH=1:2です。重心の平均公式と垂心の和の公式が、別々の暗記事項ではなく同じ式の倍率違いだと分かります。

内心とは？角の二等分線・内接円・位置ベクトル

内心Iは、三角形の3つの内角の二等分線の交点です。内心から3辺へ下ろした垂線の長さはすべて等しく、その共通の長さを半径とする円が内接円です。2直線から等距離にある点はその2直線が作る角の二等分線上にあるため、内心が各辺まで等距離であることと、内角の二等分線の交点であることは同じ構造を表しています。内心はどの三角形でも必ず内部にあります。

辺BC、CA、ABの長さをa、b、cとすると、内心の位置ベクトルはi=(a・a+b・b+c・c)/(a+b+c)です。太字で表す頂点ベクトルa、b、cと、通常の文字で表す辺長a、b、cを混同しないでください。頂点Aに掛かる係数はAに接する辺b、cではなく、Aの向かいの辺BCの長さaです。角の二等分線の定理でBD:DC=c:bとなることから、この「対辺を重みにする」対応が導けます。

別の見方では、点Iが三角形を△IBC、△ICA、△IABの3つに分けます。内心から各辺への高さはすべて内接円の半径rなので、3つの面積比は底辺の比a:b:cになります。一般に、点Pが作る△PBC:△PCA:△PABの面積比がα:β:γなら、p=(αa+βb+γc)/(α+β+γ)です。ここへα:β:γ=a:b:cを入れれば内心の公式になります。

接点の性質も頻出です。内接円が辺BC、CA、ABに接する点をD、E、Fとすると、同じ点から円へ引いた2本の接線の長さは等しいため、BD=BF、CD=CE、AE=AFです。辺の長さや内接円の接点から未知の線分を求める問題では、この等長関係を図へ書き込んでください。角の二等分線だけでなく、接線の長さも内心問題の合図になります。

外心とは？垂直二等分線・外接円・三角形別の位置

外心Oは、三角形の3辺の垂直二等分線の交点で、外接円の中心です。線分ABの垂直二等分線上の点はAとBから等距離にあり、線分BCの垂直二等分線上の点はBとCから等距離にあります。2本の交点OではOA=OBかつOB=OCなので、OA=OB=OCです。Oを中心に半径OAの円を描けばA・B・Cを通り、三角形の外接円になります。

外心の位置は垂心と同じく、鋭角・直角・鈍角で変わります。鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では外部です。直角三角形で斜辺の中点が外心になるのは、その点から3頂点までの距離が斜辺の半分で等しいからです。これは「直径に対する円周角は90°」の逆向きの見方でもあり、外接円の半径は斜辺の半分になります。

外心と外接円の半径を数式で扱う方法は、関連記事の三角形の外接円の半径の求め方で正弦定理、3辺、面積公式まで詳しく解説しています。五心の問題では、半径を求める前に「外心は垂直二等分線の交点」「3頂点までの距離が等しい」という定義を使う場合が多いため、まず等距離の印を図へ入れてください。

三角形	外心O	垂心H	すぐ使える特徴
鋭角三角形	内部	内部	OとHは一般に別の点
直角三角形	斜辺の中点	直角の頂点	外接円の半径=斜辺/2
鈍角三角形	外部	外部	辺を直線として延長する
正三角形	重心等と一致	重心等と一致	G=O=I=H

作図では3辺すべての垂直二等分線を引かず、2辺分で交点Oを決めれば足ります。3本目もOを通ることはOA=OB=OCの推移律から分かります。定規とコンパスなら、辺ABの両端から同じ半径の弧を描き、その2交点を結んで垂直二等分線を作ります。座標ならAとBからの距離の二乗を等置すると、二次項が消えて一次方程式になるため、2本を連立してOを求められます。

傍心とは？外角の二等分線と3つの傍接円

傍心は、三角形の1つの内角の二等分線と、残り2頂点の外角の二等分線の交点です。頂点Aの内角二等分線を使って得る傍心をA傍心I_Aと呼び、同様にI_B、I_Cがあるため、一般の三角形には傍心が3個あります。各傍心は1辺と、残り2辺の延長を含む3直線から等距離にあり、その距離を半径とする円が傍接円です。

なぜ外角の二等分線が現れるのでしょうか。交わる2直線から等距離にある点の軌跡は、内角と外角の2本の二等分線です。三角形内部で3辺から等距離になる組み合わせが内心、外部で符号の異なる距離を組み合わせる3通りが傍心です。「角の二等分線=内心」と即断せず、その二等分線が内角か外角か、交点が内部か外部かを確認してください。

位置ベクトルでは、A傍心はAに対応する重みだけ符号を反転し、i_A=(-a・a+b・b+c・c)/(-a+b+c)と表せます。B傍心、C傍心も同様に、対応する頂点の係数を負にします。分母-b+a+cや-c+a+bは三角不等式により正です。試験ではこの公式をいきなり暗記するより、内心のa:b:cに対して「外側へ出す頂点側の符号を変える」という構造を理解するほうが安全です。

傍心と傍接円の作図・半径公式・接線長まで深めたい場合は、三角形の傍心と内心の違いも参照してください。五心を横断する本記事では、①傍心は3個、②外角の二等分線を使う、③傍接円は1辺と2辺の延長に接する、という3点を優先して定着させます。

項目	内心I	A傍心I_A
使う二等分線	3つの内角	Aの内角、B・Cの外角
位置	三角形の内部	三角形の外部
円	内接円	A傍接円
接する対象	3辺の線分	辺BCと辺AB・ACの延長
ベクトルの重み	a:b:c	-a:b:c

五心の位置ベクトルまとめ｜外心・垂心・重心のオイラー線

位置ベクトルを一覧にすると、公式の共通構造が見えます。頂点A・B・Cの位置ベクトルをa・b・c、対辺長をa・b・c、外心の位置ベクトルをoとします。重心はg=(a+b+c)/3、内心はi=(a・a+b・b+c・c)/(a+b+c)、A傍心はi_A=(-a・a+b・b+c・c)/(-a+b+c)です。垂心はh=a+b+c-2oで、特に外心を原点にすればh=a+b+cへ簡単になります。

中心	位置ベクトル	式の意味・条件
重心G	g=(a+b+c)/3	3頂点の単純平均
内心I	i=(a・a+b・b+c・c)/(a+b+c)	対辺長を重みにする
A傍心I_A	i_A=(-a・a+b・b+c・c)/(-a+b+c)	A側の面積比を負にする
垂心H	h=a+b+c-2o	外心原点ならh=a+b+c
外心O	OA=OB=OCを満たすo	距離の二乗または垂直二等分線で求める

外心Oを原点にすると、g=(a+b+c)/3、h=a+b+cなので、g=h/3です。したがってO、G、Hは同一直線上にあり、Gは線分OHをO側から1:2に内分します。つまりOG:GH=1:2です。この直線をオイラー線と呼びます。正三角形ではO=G=Hとなるため、3点を通る直線は一意に定まりませんが、それ以外の三角形では外心・重心・垂心を一直線上に確認できます。

埼玉大学の公開講義資料では、外心原点のベクトルによって垂心とオイラー線が連続して導かれています。さらに外心Oと垂心Hの中点を中心とし、各辺の中点、各頂点とHの中点、3本の高さの足を通る円が九点円です。九点円まで入試で直接問われない場合でも、OとHの中点という構造を知ると、五心の点が孤立した暗記事項ではなく、互いに関連する配置だと理解できます。

なお、外心の重心座標はsin2A:sin2B:sin2Cと表せますが、角度や三角形の形によって係数の符号が変わるため、初学者はまずOA=OB=OCを距離の二乗で解く方法を優先してください。位置ベクトルの公式は、問題の条件に合う原点や係数を選んだときに計算を短くする道具です。公式を全部同じ場面で使おうとせず、重心・内心は加重平均、垂心は内積、外心は等距離と役割を分けます。

五心の例題｜座標で外心・垂心・重心を求めて検算する

例としてA(0,0)、B(6,0)、C(2,4)の三角形を考え、重心G、外心O、垂心Hを求めます。重心は3頂点の平均なので、G=((0+6+2)/3,(0+0+4)/3)=(8/3,4/3)です。最初に重心を出すと、最後にオイラー線の比を使って外心・垂心を検算できます。

外心はOA=OBより、辺ABの垂直二等分線x=3上にあります。辺ACの中点は(1,2)、ACの傾きは2なので、その垂直二等分線の傾きは-1/2です。方程式はy-2=-(1/2)(x-1)となり、x=3を代入するとy=1。よってO=(3,1)です。実際にOA²=10、OB²=10、OC²=10となり、3頂点までの距離が等しいことを確認できます。

垂心は高さから求めます。ABは水平なので、CからABへ下ろす高さはx=2です。BCの傾きは(4-0)/(2-6)=-1なので、AからBCへ下ろす高さの傾きは1、方程式はy=xです。x=2との交点はH=(2,2)です。もう1本についても、ACの傾き2に垂直な傾き-1/2の直線がBを通り、H=(2,2)を通ることを代入で確認できます。

最後に、OからHへのベクトルはH-O=(-1,1)です。Oからその3分の1だけ進むと(3,1)+(-1/3,1/3)=(8/3,4/3)となり、重心Gと一致します。したがってO、G、Hは一直線上で、OG:GH=1:2も成立します。別々に求めた3点をオイラー線で検算することで、途中の傾きや座標の符号ミスを見つけられます。

内心まで求めるなら、辺長a=|BC|=4√2、b=|CA|=2√5、c=|AB|=6を計算し、I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)へ代入します。ここでは答えを無理に小数化せず、根号のまま保つほうが正確です。ベクトルの基礎計算や内積に不安がある場合は、ベクトルの基本・成分表示・内積を先に復習し、位置ベクトルと方向ベクトルの違いを確認してください。

三角形の五心は「普通の対策」では受からない

結論から言います。五心の名称と公式を授業で一度聞き、試験前にまとめて覚えるだけの「普通の対策」では、大学受験の図形・ベクトル問題で安定して得点し、志望校に受かるのは厳しいです。五心は定義を答える単発問題だけでなく、作図、証明、座標、内積、面積比、円、オイラー線を横断して出題され、条件を見て使う中心と解法を選ぶ必要があるからです。

この記事だけでも、5種類の作図線、外心と垂心の3つの位置、重心の2:1、内心と傍心の符号付き面積比、垂心の内積証明、O・G・Hのオイラー線を扱いました。知識を読んで理解した直後でも、翌日に白紙から図と証明を再現できなければ入試の得点にはなりません。必要なのは教材を増やすことではなく、中心ごとの弱点を分け、毎日の演習量と解き直し日を決める仕組みです。

独学・参考書のみでは自分の混同パターンを追跡しにくい

独学や参考書でも、五心の定義と標準例題は学べます。しかし自分が「高さと垂直二等分線を混同」「鈍角三角形で辺を延長し忘れる」「内心の係数を接する辺と取り違える」のどれを何回起こしたかを集計し、翌日の課題へ反映するのは簡単ではありません。情報を得ても問題数や復習日が変わらなければ限界①に、修正を先延ばしにすれば限界③に当たります。

映像授業・アプリだけでは答案固有の誤りを日々修正できない

映像授業やアプリは、五心の点が動く様子やベクトル証明を視覚的に理解する助けになります。一方で視聴完了と、白紙へ3種類の三角形を描き、垂心と外心を再現できることは別です。標準化された解説は、あなた固有の符号ミスや作図ミスを毎日追跡して課題量を変えるわけではないため、限界①と限界②が残ります。

集団授業の大手予備校では弱点別の反復量になりにくい

集団授業の大手予備校は、図形の性質やベクトルを体系的に説明します。しかし授業はクラス共通の進度で進むため、ある生徒には作図練習が不足し、別の生徒には内積証明の反復が不足しても、同じ課題が出されがちです。全員同じ指導では個別の誤答分布へ合わせにくいという限界②が働き、授業外の復習が本人任せなら限界①も残ります。

一般的な個別指導塾でも週1回では修正が遅い

一般的な個別指導塾はその場で質問できても、確認が週1回だけなら、月曜日に起きた「垂心の高さを辺の中点へ引く」という誤りを翌週まで持ち越す可能性があります。同じ誤概念で複数題を解けば、後から直す量は増えます。授業のない6日間の行動が管理されず、確認周期が長いままなら、限界③を超えられません。

したがって、五心を得点源にするには、生徒ごとの誤答を分類し、その日に描く図、証明する定理、解く座標問題の数を決め、毎日の実行と毎週の定着を確認する必要があります。独学・映像授業やアプリ・集団授業の大手予備校・一般的な個別指導塾を消去法で外すと、この条件を一体で満たす選択肢は、だから鬼管理専門塾しかない、という結論になります。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を受けた事実ではなく、志望校合格に必要な学習を毎日実行し、説明・作図・計算を自力で再現できたかまで管理します。三角形の五心のように複数単元が結び付くテーマへ、公式サイトで確認できる固定6特徴を次のように接続します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

五心なら「定義カードを5枚再現、鋭角・直角・鈍角の作図を各2図、垂心の内積証明を1回、座標例題を3題」のように、その日に行う種類と量まで数値化します。何となく図形を眺める時間を減らし、手を動かして説明する学習へ変えます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

高さと垂直二等分線を混同する生徒、内心の係数順で崩れる生徒、内積展開で止まる生徒では、必要な課題が異なります。答案と口頭説明から原因を分け、作図・定義・証明・座標計算の比率を生徒ごとに変えた行動プランを設計します。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

毎日の進捗で予定した図と問題を終えたか確認し、毎週の確認テストで、中心名を隠しても定義から判別できるか、垂心の証明を白紙から書けるかまで測ります。基準に届かなければ追加課題を出し、次週の計画をその場で修正します。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

採用率0.6%の専属講師陣が、答えの正誤だけでなく、定義・図・式のどこで認識がずれたかを具体的に切り分けます。講師満足度アンケート回答1,524件を公開する体制の下で、数学Aの図形から数学Cのベクトル、志望校の入試問題までを接続します。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースがあるため、高校数学の基礎として五心を学ぶ段階から、共通テストや個別試験の図形・ベクトル対策まで、現在地と志望校の出題範囲に合わせて計画へ位置付けられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

学習中に「鈍角三角形の高さはどこへ引くか」「この内積証明で十分か」と迷ったときはLINEで質問できます。入会前はZoomで保護者同席もできる無料説明会や資料請求を利用し、現在の答案と学習時間から必要な管理内容を相談できます。

鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象と詳細条件は無料説明会で案内しています。まずは無料説明会で、五心だけでなく数学のどの単元で定義理解・解法選択・計算が止まるのか、日々の演習へどう落とし込むかを相談してください。指導の全体像は「鬼管理」とは、実際の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜三角形の五心は「交わる線・等距離・位置」で見分ける

三角形の五心は、重心・外心・内心・垂心・傍心の5種類です。重心は中線、外心は垂直二等分線、内心は内角の二等分線、垂心は高さ、傍心は内角1本と外角2本の二等分線の交点です。まずこの作図線を言えるようにし、その後で等距離、線分比、円、位置の変化を重ねると混同を防げます。

五心	最重要ポイント	ベクトル・座標の入口
重心G	中線を頂点側から2:1	g=(a+b+c)/3
外心O	3頂点から等距離	OA²=OB²=OC²
内心I	3辺から等距離	対辺長a:b:cで加重平均
垂心H	3本の高さの交点	外心原点でh=a+b+c
傍心I_A等	1内角・2外角、外部に3個	内心の1係数を負にする

垂心の証明では、外心を原点にすると|a|=|b|=|c|となり、h=a+b+cと置いたときにAH・BC=|c|²-|b|²=0を示せました。同じ原点で重心はg=(a+b+c)/3=h/3なので、外心O・重心G・垂心Hはオイラー線上に並び、OG:GH=1:2です。このように原点選びと内積を使うと、複数の図形的性質を一つの式から説明できます。

学習では、五心一覧を読むだけで終わらせず、中心名を伏せて作図線から判別する問題、鋭角・直角・鈍角を描き分ける問題、公式を白紙から導く問題を混ぜてください。翌日、3日後、1週間後に同じ証明を再現し、誤答を定義・作図・計算へ分類して次の課題量を変えると、図形の知識が入試で使える判断力へ変わります。

よくある質問

Q. 三角形の五心とは何ですか？

A. 重心・外心・内心・垂心・傍心という5種類の中心です。一般の三角形には重心、外心、内心、垂心が各1個、傍心が3個あります。「5個の点」ではなく「5種類」と捉えます。

Q. 垂心とはどのような点ですか？

A. 三角形の各頂点から対辺を含む直線へ下ろした3本の高さの交点です。鋭角三角形では内部、直角三角形では直角の頂点、鈍角三角形では外部にあります。

Q. 垂心と外心の違いは何ですか？

A. 垂心は頂点を通る高さの交点、外心は辺の中点を通る垂直二等分線の交点です。外心は3頂点から等距離で外接円の中心ですが、垂心にその等距離条件はありません。

Q. 重心の位置ベクトルはどう求めますか？

A. 頂点A・B・Cの位置ベクトルをa・b・cとすると、g=(a+b+c)/3です。3頂点の座標を成分ごとに平均しても求められます。重心は各中線を頂点側から2:1に内分します。

Q. 内心の位置ベクトルで掛ける係数は何ですか？

A. 辺BC、CA、ABの長さをa、b、cとすると、i=(a・a+b・b+c・c)/(a+b+c)です。各頂点にはその向かいの辺の長さを掛けます。3つの小三角形の面積比a:b:cから導けます。

Q. 3本の高さが1点で交わることはどう証明しますか？

A. 外心を原点にして|a|=|b|=|c|とし、h=a+b+cの点Hを置きます。するとAH・BC=(b+c)・(c-b)=|c|²-|b|²=0です。他の2本も同様に内積0となるためHが垂心です。

Q. オイラー線とは何ですか？

A. 正三角形でない三角形の外心O、重心G、垂心Hを通る直線です。外心を原点にするとg=h/3となるため3点は一直線上にあり、OG:GH=1:2です。

Q. 傍心はなぜ3個あるのですか？

A. どの頂点の内角二等分線を使うかがA・B・Cの3通りあるためです。各傍心は1つの内角と残る2つの外角の二等分線の交点で、三角形の外部にあります。