虚数・複素数の計算を完全攻略｜iの累乗・四則演算・方程式を例題で解説【数学II】

虚数・複素数は、実数だけでは解けない二次方程式を扱うために数の範囲を広げたものです。見慣れないiが入るため特別な計算に見えますが、加法・減法・乗法は整式と同じ規則を使い、i²=-1で整理します。除法は分母を実数にし、等式は実部どうし・虚部どうしを比較します。本記事では筑波大学、北海道大学、京都教育大学、金沢工業大学の公開教材と文部科学省資料で定義と計算法を照合し、入試答案で迷わない手順へ整理しました。最初に、実数・虚数・複素数の関係から確認します。

虚数・複素数とは？実部・虚部と数の集合を整理

二乗すると-1になる数を虚数単位iと定め、i²=-1と書きます。実数a、bを使ってa+biと表せる数が複素数です。aを実部、bを虚部と呼びます。虚部はbi全体ではなく、iの係数bです。たとえば3-5iの実部は3、虚部は-5です。b=0ならa+0i=aとなるので、すべての実数も複素数に含まれます。

数	a+biでの表示	分類	実部・虚部
7	7+0i	実数・複素数	実部7、虚部0
-√2	-√2+0i	実数・複素数	実部-√2、虚部0
3+2i	3+2i	虚数・複素数	実部3、虚部2
-4i	0-4i	純虚数・複素数	実部0、虚部-4
0	0+0i	実数・複素数	実部0、虚部0

iの累乗の計算｜i²・i³・i⁴を4周期で処理する

iの累乗は、i¹=i、i²=-1、i³=i²×i=-i、i⁴=i²×i²=1となり、その後は4個ごとに同じ並びを繰り返します。したがってiの指数を4で割った余りだけ見れば計算できます。余りが0なら1、1ならi、2なら-1、3なら-iです。i⁰=1も余り0の組に含めます。大きな指数を一つずつ掛ける必要はありません。

指数nを4で割った余り	iⁿ	例	計算
0	1	i²⁰	20=4×5より1
1	i	i²¹	21=4×5+1よりi
2	-1	i²⁰²⁶	2026=4×506+2より-1
3	-i	i⁹⁹	99=4×24+3より-i

複素数の足し算・引き算｜実部と虚部を別々にまとめる

複素数の加法・減法では、実部どうし、虚部どうしをそれぞれ計算します。a+biとc+diの和は(a+c)+(b+d)i、差は(a-c)+(b-d)iです。iを文字xと見て同類項をまとめる感覚で構いません。ただし引き算では、後ろの括弧全体の符号が変わります。最も多い誤りは、虚部のマイナスだけを配り忘れることです。

問題	実部の計算	虚部の計算	答え
(2+3i)+(5-i)	2+5=7	3-1=2	7+2i
(3+2i)-(8-4i)	3-8=-5	2-(-4)=6	-5+6i
(-4+i)+(4-6i)	-4+4=0	1-6=-5	-5i
7-(2+3i)	7-2=5	0-3=-3	5-3i

複素数の掛け算｜展開してi²=-1を代入する

複素数の乗法は、二項式の展開と同じです。(a+bi)(c+di)を分配法則で展開するとac+adi+bci+bdi²です。i²=-1を代入すると、実部はac-bd、虚部はad+bcとなり、(ac-bd)+(ad+bc)iを得ます。一般式を覚えてもよいですが、符号に迷う人は毎回4項へ展開し、i²を処理してから実部・虚部をまとめるほうが安全です。

問題	展開	i²の処理	答え
(2+i)(3+4i)	6+8i+3i+4i²	4i²=-4	2+11i
(3+2i)(8-4i)	24-12i+16i-8i²	-8i²=+8	32+4i
(1+3i)²	1+6i+9i²	9i²=-9	-8+6i
(5+2i)(5-2i)	25-4i²	-4i²=+4	29

複素数の2乗は中項を忘れない

(a+bi)²=a²+2abi+b²i²=(a²-b²)+2abiです。a²と(bi)²だけを足して中項2abiを落とす誤りが多いため、(A+B)²=A²+2AB+B²をそのまま当てはめます。たとえば(2-3i)²=4-12i+9i²=-5-12iです。

共役複素数の積は実数になる

a+biに対してa-biを共役複素数といいます。この2つの積は(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²で、虚部が消えて0以上の実数になります。この性質は複素数の割り算で分母を実数化するときに使います。

複素数の割り算｜共役複素数で分母を実数化する

複素数の除法では、答えをa+biの形にするため、分母の共役複素数を分母・分子の両方へ掛けます。(a+bi)/(c+di)ならc-diを掛け、分母を(c+di)(c-di)=c²+d²という実数にします。分子を展開し、実部と虚部をそれぞれc²+d²で割れば完成です。分母が0でないこと、つまりcとdが同時に0ではないことが前提です。

問題	掛ける共役	分母	答え
1/(1+i)	1-i	2	(1-i)/2
(3+4i)/(1-2i)	1+2i	5	-1+2i
(2-i)/(3+i)	3-i	10	(5-5i)/10=(1-i)/2
5/(2i)	-2i	4	-5i/2

複素数の相等と方程式｜実部・虚部を比較して解く

2つの複素数a+biとc+diが等しいのは、実部a=cかつ虚部b=dのときです。特にa+bi=0なら、0=0+0iなのでa=0かつb=0です。この性質を使えば、複素数を含む等式を実数の連立方程式へ変換できます。ただし、比較する係数が実数であることを確認し、両辺をa+biの標準形へ整理してから比べます。

等式	実部の比較	虚部の比較	結論
a+bi=3-2i	a=3	b=-2	a=3,b=-2
(x+1)+(2x-y)i=0	x+1=0	2x-y=0	x=-1,y=-2
(2+i)z=5（z=a+bi）	2a-b=5	a+2b=0	a=2,b=-1
a+bi=c+di	a=c	b=d	両方の一致が必要

例題：(2+i)z=5を満たす複素数z

z=a+biと置くと、(2+i)(a+bi)=(2a-b)+(a+2b)iです。これが5+0iに等しいため、2a-b=5、a+2b=0です。連立するとa=2、b=-1なのでz=2-iです。割り算を使ってz=5/(2+i)=5(2-i)/5=2-iとしても同じ答えになります。

比較法を使えない書き方に注意

実部・虚部の比較は、係数が実数だと確定しているときに使います。たとえばx+yi=1+iからx=1、y=1とするには、x、yが実数という条件が必要です。また、左辺が展開途中のままでは係数を読み違えるため、i²を処理し、iの係数を一つにまとめてから比較します。

連立方程式へ変換した後の消去や代入に不安がある場合は、連立方程式を式の本数を減らして解く手順と同じ考え方で、まず2本の実数方程式を整理してください。

複素数と二次方程式｜判別式が負でも解ける

実数の範囲では、判別式D=b²-4acが負の二次方程式は実数解を持ちません。しかし数の範囲を複素数まで広げれば、√(-k)=√k i（k>0）として解の公式を使えます。たとえばx²-4x+13=0ではD=16-52=-36です。x={4±√(-36)}/2={4±6i}/2=2±3iとなります。虚数解も元の式へ代入して検算できます。

方程式	判別式D	解	分類
x²+1=0	-4	x=±i	純虚数の2解
x²-4x+13=0	-36	x=2±3i	共役な虚数解
x²+6x+10=0	-4	x=-3±i	共役な虚数解
x²-6x+9=0	0	x=3	実数の重解

判別式の符号と実数解の個数を整理したい人は、判別式D・D/4の使い分けと二次方程式の解き方も確認してください。複素数まで広げると、D<0は「解なし」ではなく「実数解なし」と表現するのが正確です。

複素数の平方根｜z²=iのような問題を解く

「2乗するとiになる複素数」を求めるときは、z=a+bi（a、bは実数）と置きます。z²=(a²-b²)+2abiなので、これが0+1iに等しいことからa²-b²=0、2ab=1を得ます。前者よりa=±bです。後者2ab=1はab>0を示すためaとbは同符号で、a=bの枝だけが残ります。2a²=1よりa=b=±1/√2（複合同順）です。

求める条件	実部の式	虚部の式	結果
z²=i	a²-b²=0	2ab=1	z=±(1+i)/√2
z²=-i	a²-b²=0	2ab=-1	z=±(1-i)/√2
z²=4	a²-b²=4	2ab=0	z=±2
z²=-4	a²-b²=-4	2ab=0	z=±2i

一般のa+biの平方根を求める流れ

w=x+yiと置いてw²=a+biとすると、x²-y²=a、2xy=bです。さらに|w²|=|w|²よりx²+y²=√(a²+b²)を組み合わせれば、x²とy²を求められます。高校の基本問題では、係数比較で解けるように数値が選ばれていることが多いため、まず実部・虚部の連立へ落とします。

答えが2個あることを検算する

z²=wでzが解なら、(-z)²=z²=wなので-zも解です。0でない複素数の平方根は基本的に符号が反対の2個です。z²=iでは(1+i)/√2と-(1+i)/√2をそれぞれ2乗し、iになることを確認します。「複合同順」の書き方では、実部と虚部の符号を同時に選びます。

虚数・複素数の練習問題8選｜計算ミスまで総点検

ここまでの型を、分類、iの累乗、加減、乗法、除法、相等、二次方程式、平方根の順に練習します。解答を見る前に、①a+biへ整理する、②i²=-1を代入する位置を示す、③実部・虚部を別々に確認する、④分母や等号など問題固有の追加操作を選ぶ、という4点をメモしてください。答えだけ合っていても、途中で符号を偶然打ち消した場合は再現できたことになりません。

問題1：3-5iの実部・虚部と分類

3-5iはa+biのa=3、b=-5に対応します。実部は3、虚部は-5です。虚部が0ではないため虚数であり、実部も0ではないため純虚数ではありません。もちろんa+biで表せるので複素数です。

問題2：i²⁰²⁷を計算する

2027=4×506+3なので、i²⁰²⁷=(i⁴)⁵⁰⁶i³=1⁵⁰⁶×(-i)=-iです。指数を4で割った余り3に対応するi³=-iを使います。

問題3：(1+2i)-(4-3i)を計算する

括弧を外すと1+2i-4+3iです。実部は1-4=-3、虚部は2+3=5なので、答えは-3+5iです。後ろの-3iを引くため+3iになる点が要所です。

問題4：(1+2i)(4+3i)を計算する

展開して4+3i+8i+6i²=4+11i-6=-2+11iです。一般式で検算すると、実部1×4-2×3=-2、虚部1×3+2×4=11で一致します。

問題5：(2+i)/(1-i)を計算する

分母1-iの共役1+iを上下へ掛けます。分母は(1-i)(1+i)=2、分子は(2+i)(1+i)=2+2i+i+i²=1+3iです。したがって答えは(1+3i)/2=1/2+(3/2)iです。

問題6：(x+2)+(2x-y)i=0を満たす実数x,y

実部と虚部を比較し、x+2=0、2x-y=0を得ます。x=-2を後式へ代入すると-4-y=0なのでy=-4です。よってx=-2、y=-4です。

問題7：x²-2x+5=0を解く

D=(-2)²-4×1×5=-16です。解の公式よりx={2±√(-16)}/2={2±4i}/2=1±2iです。2解が共役になっており、和2、積5は元の係数と一致します。

問題8：2乗するとiになる複素数

z=a+biと置き、z²=(a²-b²)+2abi=iよりa²-b²=0、2ab=1です。a=bのときa²=1/2で、a=b=±1/√2（複合同順）。a=-bではa²=-1/2となり実数aに反するため除外します。答えはz=±(1+i)/√2です。

よくある誤り	誤った処理	正しい確認
虚部をbiと答える	3+2iの虚部を2i	虚部は係数2
i²を1にする	実数の二乗と混同	定義i²=-1へ戻る
引く括弧の符号漏れ	a-(b-ci)=a-b-ci	a-b+ci
i²の前の符号を落とす	-6i²=-6	-6×(-1)=+6
分母だけへ共役を掛ける	分数の値が変わる	分母・分子の両方へ掛ける
実部だけを比較する	虚部の条件を落とす	実部・虚部を同時に比較
D<0を解なしとする	実数範囲だけで判断	複素数解を求める
平方根の一方を落とす	zだけを書く	-zも2乗して同じ

虚数・複素数は「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を読み、授業を聞き、解説を見て終える「普通の対策」だけでは、虚数・複素数の計算を入試で使い切って志望大学へ受かるのは厳しいです。本記事だけでも、数の分類、iの4周期、加減の括弧、乗法のi²、除法の共役、実部・虚部の比較、D<0の二次方程式、複素数の平方根という異なる判断があります。入試では、問題文から必要な規則を選び、途中式へ正しい順番で再現する力が問われます。

練習問題8選で見たように、同じiを含む式でも、加減なら同類項、乗法なら展開、除法なら共役、等式なら係数比較と第一手が変わります。符号ミスを「ケアレスミス」で片付けず、どの工程で起きたかを分類し、翌日の課題と毎週の確認へ反映する管理が必要です。代表的な学習手段を、公式ページが示す「従来塾の3つの限界」に照らして一つずつ検討します。

選択肢①：独学・参考書のみでは行動修正が続かない

独学や参考書だけでも定義と例題は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。i²=-1を知っていることと、-6i²=+6を途中式で毎回再現できることは別です。誤答原因を自分で細分化しないままでは、必要な類題と復習日を決められません。

選択肢②：映像授業・アプリでは理解が答案行動へ変わりにくい

映像授業やアプリは複素数平面やiの回転を視覚的に理解しやすい一方、視聴時間が増えても、共役を上下へ掛ける計算や実部・虚部の連立を自力で書く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。弱点が符号の生徒と方程式の生徒へ同じ動画を勧めるだけでは、必要な演習量を個別化できません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る

集団授業の大手予備校は体系的に進みますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が二次方程式から高次方程式へ進んでも、ある生徒は加減の括弧で止まり、別の生徒はD<0の根号処理で止まります。一斉の進度では、この差を翌日の問題数、復習間隔、確認する途中式へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に共役複素数の使い方を直しても、翌日から自力演習が止まり、次の確認が一週間後なら、誤った割り算を反復する可能性があります。複素数は二次方程式、高次方程式、数学Cの複素数平面へつながるため、基本計算の修正が遅れるほど後続単元にも影響します。

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「知識を答案行動へ変える」「生徒ごとに課題を変える」「毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、虚数・複素数の計算を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、教材や授業を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、虚数・複素数を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

複素数の対策なら、「公式を読む」で終わらず、iの累乗を何題、四則演算を何題、実部・虚部の比較を何題解き、誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から再現中心の学習へ移せます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。

数学でも、iの4周期はできるが除法で止まる生徒と、計算はできるが二次方程式へ接続できない生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を重点的に直すかを分けて時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

基本問題を一度正しく解けても、1週間後に係数や演算が変わって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間が経った後の両方で計算の再現性を確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

複素数の答案では、最終結果だけでなく、括弧の符号、i²の処理、共役を掛ける位置という途中式に誤りが現れます。専属講師へ過程まで示して確認することで、丸付けだけでは見逃す原因を早く修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の範囲や配点、残り期間を前提に、複素数の計算へ何日使い、二次方程式、高次方程式、複素数平面へいつ進むかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。

複素数のどの工程で止まるのか、受験数学を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜複素数は標準形と追加の一手で計算する

問題の種類	共通する操作	追加する一手	最終確認
iの累乗	i²=-1を使う	指数を4で割る	余り0〜3
加法・減法	a+biへ整理	同類項をまとめる	括弧の符号
乗法	展開後にi²=-1	4項をまとめる	ac-bd, ad+bc
除法	分子をa+biへ	分母の共役を掛ける	分母が実数
複素数の等式	両辺を標準形へ	実部・虚部を比較	2条件を両方使用
二次方程式	根号をiで処理	解の公式	共役な2解

複素数はa+bi（a、bは実数）の形で表し、aが実部、bが虚部です。i²=-1からiの累乗は4周期になります。加減は実部どうし・虚部どうしをまとめ、乗法は整式と同じように展開してi²を-1へ置き換えます。除法では分母の共役複素数を上下へ掛け、分母を実数にします。

等式は実部と虚部をそれぞれ比較し、実数の連立方程式へ変換します。判別式が負の二次方程式も、複素数の範囲なら√(-k)=√k iとして解けます。z²=i型ではz=a+biと置き、実部・虚部の条件を同時に解きます。符号ミスをケアレスミスで終わらせず、どの工程で起きたかを記録して解き直してください。

よくある質問

Q. 虚数と複素数の違いは何ですか？

A. 複素数はa+bi（a、bは実数）で表せる数全体です。そのうちb≠0のものが虚数です。実数はb=0の場合として複素数に含まれます。

Q. 複素数a+biの虚部はbiですか？

A. 虚部はiの係数bです。たとえば3-5iの実部は3、虚部は-5です。-5i全体ではありません。

Q. iの累乗はどう計算しますか？

A. 指数を4で割った余りを使います。余り0なら1、1ならi、2なら-1、3なら-iです。i、-1、-i、1の4周期で繰り返します。

Q. 複素数の掛け算のコツは何ですか？

A. 二項式と同じように展開し、i²=-1を代入してから実部と虚部をまとめます。(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iで検算できます。

Q. 複素数の割り算で共役を掛けるのはなぜですか？

A. 分母を実数にするためです。(c+di)(c-di)=c²+d²となって虚部が消え、答えをa+biの形へ整理できます。分数の値を変えないよう分母・分子の両方へ掛けます。

Q. 複素数が等しいとはどういうことですか？

A. a+bi=c+diなら、実部a=cかつ虚部b=dです。特にa+bi=0ならa=0、b=0が同時に成り立ちます。

Q. 判別式が負なら二次方程式は解なしですか？

A. 実数解はありませんが、複素数の範囲では解けます。√(-k)=√k iとして解の公式へ代入すると、実数係数の二次方程式では共役な2解が得られます。

Q. 2乗するとiになる複素数は何ですか？

A. ±(1+i)/√2です。z=a+biと置いてz²=iの実部・虚部を比較すると、a²-b²=0、2ab=1となり、a=b=±1/√2（複合同順）を得ます。