三角形の内接円の半径の求め方｜公式r=S/sの証明・ヘロンの公式・例題を図解

三角形の内接円の半径rは、面積をS、3辺をa、b、c、半周長をs=(a+b+c)/2とすれば、r=S/s=2S/(a+b+c)で求められます。国立国会図書館の「江戸の数学」でも、三角形を内心から3つへ分割してS=rsを導く説明が示されています。本記事では、公式を単独で暗記するのではなく、どの長さが分かっているときに面積Sと半周長sをどう用意するかまで一つの手順にします。まずは内接円・内心・外接円の違いから確認します。

三角形の内接円とは？内心・外接円との違い

三角形ABCの3辺すべてに接する円を内接円、その中心を内心Iといいます。金沢工業大学の公開教材では、内心は3つの内角の二等分線の交点であり、内接円の中心と定義されています。内心から各辺へ下ろした垂線の長さはすべて等しく、その共通の長さが内接円の半径rです。円と辺の接点へ向かう半径は辺と垂直になるため、このrを小さな三角形の高さとして使えます。

比べる項目	内接円	外接円
円と三角形の関係	3辺すべてに接する	3頂点すべてを通る
中心	内心	外心
中心の作り方	3内角の二等分線の交点	3辺の垂直二等分線の交点
半径を表す文字	一般にr	一般にR
面積との基本関係	S=rs	S=abc/(4R)

内心・外心・重心・垂心・傍心の作図や性質をまとめて整理したい場合は、三角形の五心と内心・外心の違いも参照してください。この記事では以後、内接円の半径を面積と辺から求めることに集中します。

内接円の半径の公式はr=S/s｜記号と使い方

三角形の3辺をa、b、c、面積をS、半周長をs=(a+b+c)/2、内接円の半径をrとします。基本公式はS=rsです。rについて解けばr=S/sとなり、sを使わず周長で表せばr=2S/(a+b+c)です。2つは同じ公式であり、「面積÷半周長」と「面積の2倍÷周長」という言い方が違うだけです。

形	公式	向いている場面	先に必要な量
面積を表す形	S=rs	公式の導出・面積計算	rとs
半径を求める基本形	r=S/s	半周長sが既知	面積Sとs
周長を使う形	r=2S/(a+b+c)	3辺が直接与えられる	面積Sと3辺
3辺だけの一体形	r=√{(s-a)(s-b)(s-c)/s}	3辺から一気に求める	a,b,cとs

なぜS=rsになる？内心から3つの三角形に分けて証明

三角形ABCの内心をIとし、Iから辺BC、CA、ABへ垂線を下ろします。各垂線は内接円の半径なので、長さはすべてrです。BC=a、CA=b、AB=cとすれば、△IBC、△ICA、△IABはそれぞれ底辺がa、b、c、高さがrの三角形です。3つの面積はar/2、br/2、cr/2となり、合計が元の三角形の面積Sになります。

この証明のよい点は、公式を忘れても図から復元できることです。必要なのは、接点へ引いた半径が辺に垂直であることと、三角形の面積が「底辺×高さ÷2」であることだけです。答案で導出を求められたら、3つの小三角形の底辺と高さを明示し、最後にs=(a+b+c)/2を使ったと書けば論理がつながります。

内接円の半径の求め方｜与えられた条件から解法を選ぶ

内接円の半径を求める問題は、最終的にはr=S/sへ集約できます。違いは面積Sと半周長sの作り方です。面積が与えられていれば3辺の和を出すだけ、3辺だけならヘロンの公式、2辺とその間の角ならS=ab sinC/2と余弦定理、直角三角形なら底辺×高さ÷2と特別公式を使います。最初に与条件を分類すると、途中で公式を選び直す無駄が減ります。

与えられた条件	面積Sの出し方	半周長sの出し方	半径r
Sとa,b,c	すでに分かる	(a+b+c)/2	S/s
3辺a,b,c	ヘロンの公式	(a+b+c)/2	S/s
2辺a,bと間の角C	ab sinC/2	余弦定理でcを出して計算	S/s
底辺と高さ、3辺	底辺×高さ/2	3辺の和/2	S/s
直角を挟む2辺p,q	pq/2	斜辺を三平方で出す	(p+q−斜辺)/2
正三角形の1辺a	√3a²/4	3a/2	√3a/6

3辺から求める｜ヘロンの公式とr=S/sの例題

3辺a、b、cだけが分かる場合は、まずs=(a+b+c)/2を計算し、ヘロンの公式S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}で面積を求めます。これをr=S/sへ代入すると、r=√{(s-a)(s-b)(s-c)/s}とも表せます。国立国会図書館と東北大学の公開教材でも、sを半周長とするヘロンの公式が示されています。

例題1：3辺が3・5・7の三角形

s=(3+5+7)/2=15/2です。ヘロンの公式から、S=√{(15/2)(9/2)(5/2)(1/2)}=√675/4=15√3/4となります。したがってr=S/s=(15√3/4)÷(15/2)=√3/2です。周長の形で計算するならr=2S/15としても同じ答えになります。競合記事の例題と同じ条件を扱いつつ、sを軸に面積と半径の式を一続きで示しました。

例題2：3辺が13・14・15の三角形

s=(13+14+15)/2=21です。S=√{21(21-13)(21-14)(21-15)}=√(21×8×7×6)=√7056=84です。よってr=S/s=84/21=4となります。3辺と面積が整数になる例では計算結果が整いますが、根号が残る問題でも手順は変わりません。

ヘロンの公式の証明や、計算を素因数分解で簡単にする方法を詳しく確認したい場合は、ヘロンの公式の使い方・証明・例題を参照してください。内接円の問題では、ヘロンで面積を出したあとr=S/sまで進めることがゴールです。

面積・2辺と角・高さが与えられたときの求め方

ヘロンの公式は3辺だけが分かるときの方法です。面積Sがすでに書かれているならヘロンを使う必要はなく、r=2S/(a+b+c)へ直接代入します。2辺a、bとその間の角Cが分かるなら、S=ab sinC/2で面積を求め、余弦定理c²=a²+b²-2ab cosCで残りの辺cを出します。底辺と高さが分かるなら、通常の面積公式を優先します。

• Sと3辺: rへ直接代入

面積Sと3辺が与えられる例

面積が30、3辺が8、10、12なら、半周長はs=(8+10+12)/2=15です。よってr=S/s=30/15=2です。またはr=2S/(a+b+c)=60/30=2と計算できます。面積が直接与えられる問題は、公式へ代入するだけの基本型なので、分子の2と半周長sの関係を確認する練習に向いています。

2辺とその間の角が与えられる例

a=6、b=8、C=90°なら、S=6×8×sin90°/2=24です。余弦定理または三平方の定理からc=10、半周長s=(6+8+10)/2=12なので、r=24/12=2です。一般にはS=ab sinC/2、c=√(a²+b²-2ab cosC)を用意し、r=ab sinC/(a+b+c)へまとめられます。

条件	最初の計算	次の計算	避けたい遠回り
面積と3辺	sまたは周長	r=S/s	ヘロンで面積を再計算
2辺と間の角	S=ab sinC/2	余弦定理で第3辺	高さを複雑に作図
底辺・高さ・3辺	S=底辺×高さ/2	r=S/s	三角比を作り直す
座標上の3頂点	座標から面積と3辺	r=S/s	内心座標を先に求める

外接円の半径Rを求める場合は正弦定理やS=abc/(4R)を使い、内接円のr=S/sとは必要な量が異なります。両者を比較したい人は、三角形の外接円の半径の求め方も確認し、rとRを答案で書き分けてください。

直角三角形・正三角形の内接円の半径を素早く求める

直角三角形で、直角を挟む2辺をp、q、斜辺をhとすると、面積S=pq/2、半周長s=(p+q+h)/2です。したがってr=pq/(p+q+h)です。三平方の定理h²=p²+q²を使うと、これはr=(p+q-h)/2へ変形できます。正三角形の1辺をaとすると、S=√3a²/4、s=3a/2なのでr=√3a/6です。どちらもS=rsから導ける特別形です。

直角三角形3・4・5の例

直角を挟む2辺が3、4、斜辺が5なら、S=3×4/2=6、s=(3+4+5)/2=6なのでr=1です。特別公式ではr=(3+4-5)/2=1と一行で求められます。2通りの計算が一致することを確認すると、公式の符号や2で割る位置を確かめられます。

正三角形の例

1辺が6の正三角形なら、r=√3×6/6=√3です。高さは3√3、内心は重心・外心・垂心とも一致し、頂点から高さを2:1に分けるため、底辺側の1/3である√3が内接円の半径になります。面積から計算してもS=9√3、s=9よりr=√3です。

三角形	基本データ	内接円の半径	確認方法
直角三角形	脚p,q・斜辺h	(p+q-h)/2	pq/(p+q+h)と一致
正三角形	1辺a	√3a/6	高さ√3a/2の1/3
二等辺三角形	底辺と等辺	面積を高さから出しS/s	頂角の二等分線が高さ
一般の三角形	面積S・半周長s	S/s	3分割した面積の和

内接円の半径でよくある7つの間違い

内接円の半径の誤答は、公式の暗記不足だけでなく、記号の読み違いと面積計算の途中で起こります。外接円Rと内接円rを混同する、sを周長だと思う、面積Sを円の面積とする、ヘロンの差を取り違える、直角三角形で斜辺を誤る、三角形の成立条件を確認しない、単位を書かないという7点が代表的です。

よくある間違い	誤った考え方	修正方法
rとRの混同	内接円に正弦定理を直接使う	辺に接する円はr=S/s
sの定義ミス	s=a+b+cとする	s=(a+b+c)/2と最初に書く
分子の2を落とす	r=S/(a+b+c)	周長を使うならr=2S/(a+b+c)
面積の取り違え	S=πr²とする	Sは三角形の面積
ヘロンの差ミス	a-sなど符号を逆にする	s-a、s-b、s-cを縦に計算
成立条件を無視	1・2・4を三角形として計算	最長辺＜他2辺の和を確認
単位ミス	cm²を半径の答えに付ける	半径はcmなど長さの単位

内接円の半径の練習問題6選｜基本から応用まで

最後に、直接代入、ヘロンの公式、直角三角形、正三角形、面積既知の5つの型を練習します。各問で最初に「Sをどう出すか」「sをどう出すか」を書き、答えだけでなく使った公式も残してください。問題の数字が変わっても、面積と半周長を用意してr=S/sへ進む骨格は同じです。

問題1：3辺が3・4・5

直角三角形なのでS=3×4/2=6、s=(3+4+5)/2=6です。よってr=S/s=1です。特別公式でもr=(3+4-5)/2=1となります。2つの方法で一致することまで確認してください。

問題2：3辺が5・5・6

底辺6を二等分すると3と3になり、高さは√(5²-3²)=4です。面積S=6×4/2=12、半周長s=(5+5+6)/2=8なので、r=12/8=3/2です。ヘロンの公式でもS=√(8×3×3×2)=12となります。

問題3：面積30、3辺8・10・12

面積はすでにS=30と分かっています。s=(8+10+12)/2=15だから、r=S/s=30/15=2です。3辺があってもヘロンの公式を使わず、既知の面積をそのまま利用します。

問題4：1辺6の正三角形

正三角形の公式r=√3a/6へa=6を代入し、r=√3です。基本公式からは、S=√3×6²/4=9√3、s=18/2=9なのでr=9√3/9=√3と確認できます。

問題5：直角を挟む2辺8・15

斜辺は√(8²+15²)=17です。特別公式からr=(8+15-17)/2=3です。面積S=8×15/2=60、s=(8+15+17)/2=20としてもr=60/20=3です。

問題6：3辺が13・14・15

s=21、ヘロンの公式からS=√(21×8×7×6)=84です。よってr=84/21=4です。最長辺15は13+14より小さいため三角形が成立し、半径4も各辺に比べて不自然な大きさではありません。

内接円の半径を入試で使うには「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を見て覚え、例題の解答を読んで終える「普通の対策」だけでは、内接円を含む図形問題を初見で使い分け、志望大学へ受かるのは厳しいです。本記事だけでも、内接円と外接円の判定、S=rsの導出、面積公式の選択、ヘロンの計算、直角・正三角形の特別形、成立条件、単位確認という複数の判断があります。入試では、図や与条件が変わってもこの判断を正しい順序で再現する必要があります。

練習問題では、3辺が与えられても面積が既知ならヘロンは不要であり、直角三角形なら2通りの検算ができました。同じ「内接円の半径」でも、止まる工程は生徒ごとに違います。誤答を分類し、翌日の問題数、3日後の解き直し、1週間後の確認テストへ戻す学習管理がなければ、理解した公式は本番の行動へ変わりません。代表的な学習手段を、公式ページが示す従来塾の3つの限界に照らして一つずつ検討します。

選択肢①：独学・参考書のみでは行動修正が続かない

独学や参考書だけでも公式と模範解答は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解答を読んで分かった状態と、図からS=rsを復元し、与条件に合う面積公式を選べる状態は別です。また全員が同じ章順で進めるだけでは、内外判定が弱い人とヘロン計算が弱い人の課題量を分けにくく、②全員同じ指導は偏差値50に収束する限界も残ります。

選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が答案行動へ変わりにくい

映像授業やアプリは面積分割の図を理解しやすい一方、視聴時間が増えても、自力で半周長を定義し、面積計算と単位確認まで書く回数が増えるとは限りません。これは①情報を得ても行動は変わらない限界に当たります。映像を見た翌日に図を隠して証明し直す課題まで決まっていなければ、理解は再現性になりません。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る

集団授業の大手予備校は体系的に学べますが、②全員同じ指導は偏差値50に収束する限界があります。授業がヘロンの応用へ進んでも、ある生徒は内接円と外接円を混同し、別の生徒はs-aの計算で止まります。一斉の進度では、この差を翌日の問題、復習間隔、確認する途中式へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日にr=S/sを理解しても、翌日から自力演習が止まり、次の確認が一週間後なら、分子の2や半周長の定義を誤ったまま反復する可能性があります。図形と計量は正弦定理・余弦定理にもつながるため、修正の遅れが次の単元へ連鎖します。

• 独学・参考書: 情報後の実行修正と個別化が自己責任

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「理解を答案行動へ変える」「生徒ごとに弱点を分ける」「毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、内接円を含む数学I・Aの図形問題を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、教材や授業を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、内接円を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して学習指示を出します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

内接円の対策なら、「公式を読む」で終わらず、S=rsの証明を何回書くか、ヘロンの例題を何題、直角三角形の検算を何題行い、誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。理解中心から再現中心へ移せます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。

数学でも、内心の図は描けるが面積公式を選べない生徒と、ヘロンの根号整理で止まる生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を重点的に直すかを分け、入試までの時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

3・4・5の例を一度解けても、1週間後に面積既知や二等辺三角形へ変わって手順を再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストで、理解直後と時間が経った後の両方を確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

図形の答案では、最終数値だけでなく、内外の判定、面積式、半周長の定義、単位の一行に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示して確認することで、丸付けだけでは見逃す論理の抜けを早く修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、図形と計量へ何日使い、二次関数、確率、数学IIの式と証明へいつ進むかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。

内接円のどこで止まるのか、受験数学を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜内接円の半径は面積÷半周長で求める

条件	面積S	半周長s	半径r
Sと3辺が既知	そのまま使う	(a+b+c)/2	S/s
3辺のみ	ヘロンの公式	(a+b+c)/2	√{(s-a)(s-b)(s-c)/s}
2辺と間の角	ab sinC/2	余弦定理で第3辺	S/s
直角三角形	pq/2	(p+q+h)/2	(p+q-h)/2
正三角形	√3a²/4	3a/2	√3a/6

三角形の内接円は3辺すべてに接し、その中心である内心は3内角の二等分線の交点です。内心から各辺へ下ろした垂線は共通の半径rなので、三角形を3つに分けて面積を足すとS=(a+b+c)r/2=srとなります。したがって内接円の半径はr=S/s=2S/(a+b+c)です。公式を忘れたときは、この面積分割から復元できます。

3辺だけならヘロンの公式、2辺と間の角なら三角比と余弦定理、直角三角形ならr=(2辺の和−斜辺)/2、正三角形ならr=√3a/6を使えます。ただし特別公式もすべてS=rsが土台です。与条件を分類し、面積Sと半周長sを最短で用意し、最後に大きさと長さの単位を確認してください。

よくある質問

Q. 三角形の内接円の半径を求める公式は何ですか？

A. 三角形の面積をS、半周長をs=(a+b+c)/2とするとr=S/sです。周長で表せばr=2S/(a+b+c)となります。

Q. 内接円の半径の公式はなぜ成り立つのですか？

A. 内心から3辺へ下ろした垂線はすべて半径rです。三角形を内心で3つに分けると、面積の和はar/2+br/2+cr/2=(a+b+c)r/2=srとなるためです。

Q. 3辺だけから内接円の半径を求められますか？

A. 求められます。s=(a+b+c)/2、S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}とヘロンの公式で面積を出し、r=S/sへ代入します。まとめるとr=√{(s-a)(s-b)(s-c)/s}です。

Q. 直角三角形の内接円の半径の公式は何ですか？

A. 直角を挟む2辺をp、q、斜辺をhとするとr=(p+q-h)/2です。面積S=pq/2と半周長s=(p+q+h)/2からも導けます。

Q. 正三角形の内接円の半径はどう求めますか？

A. 1辺をaとするとr=√3a/6です。面積S=√3a²/4、半周長s=3a/2をr=S/sへ代入して得られます。

Q. 内接円と外接円はどう見分けますか？

A. 円が三角形の3辺すべてに接するのが内接円、3頂点すべてを通るのが外接円です。内接円の中心は内心、外接円の中心は外心です。

Q. ヘロンの公式を使わないほうがよい場合はありますか？

A. 面積がすでに与えられている場合、底辺と高さがすぐ分かる場合、直角三角形などでは、直接面積を求めるほうが短くなります。最終的にSとsを用意できれば方法は問いません。

Q. 内接円の半径の答えはどのように検算できますか？

A. r=S/sへ戻して再計算し、三角形の高さや辺に比べて不自然に大きくないか、単位がcm²ではなくcmなどの長さになっているかを確認します。直角三角形なら特別公式でも照合できます。