Claude Code 
導関数の公式を見ても、指数を前へ出すのか、次数を一つ下げるのか、毎回迷います。微分係数や接線の傾きとの違いも曖昧で、問題によって何を求めればよいのか分かりません。
導関数は「各xにおける瞬間の変化率をまとめた関数」だ。まず定義と記号を区別し、定数・べき・和差・定数倍の4つを土台にすれば、多項式は同じ手順で微分できる。この記事では公式一覧、定義からの求め方、接線、応用、練習問題まで一続きに整理するよ。
導関数の学習では、公式だけを暗記すると「f′(x)を求める問題」と「x=aでの微分係数を求める問題」を混同しやすくなります。反対に、毎回定義式から展開すると計算量が多くなり、試験では時間が足りません。最初に意味を理解し、その後は公式で速く計算し、必要な点だけ代入するという役割分担が重要です。本記事は大学・高専の公式教材で定義と公式を照合し、高校数学IIを中心に再現しやすい順番へまとめます。
目次
導関数とは？微分係数との違いを最初に整理する
関数y=f(x)で、xがaからa+hへ変わるときの平均変化率は{f(a+h)−f(a)}/hです。hを0へ近づけた極限が存在するとき、その値をx=aにおける微分係数f′(a)といいます。aを固定せずxとして動かし、各xへ微分係数を対応させた関数が導関数f′(x)です。同志社大学と弘前大学の公式教材でも、平均変化率から微分係数を定め、その対応を関数にしたものを導関数と説明しています。
f′(a)とf′(x)は、文字が違うだけに見えます。答案では、どう使い分ければよいのでしょうか？
f′(x)はxを含む式だから、たとえば3x²−4xのような「導関数」だ。f′(a)は、その式へx=aを代入して得る一つの数で、「aにおける微分係数」になる。先にf′(x)を作り、指定された点があるときだけ代入する、と順番を固定すれば混同しない。
| 用語 | 式 | 意味 | 答えの形 |
|---|---|---|---|
| 平均変化率 | {f(b)−f(a)}/(b−a) | 2点間の変化の割合 | 区間ごとに決まる数 |
| 微分係数 | f′(a) | x=aでの瞬間の変化率 | aを決めれば一つの数 |
| 導関数 | f′(x) | 各xの微分係数を表す関数 | xを含む式 |
| 微分する | f(x)→f′(x) | 導関数を求める操作 | 元の関数から別の関数へ |
📚 用語解説
導関数：関数f(x)の各xにおける微分係数を対応させた関数です。f′(x)、y′、dy/dxなどで表し、その点でグラフがどれだけ増減しようとしているかを示します。
平均変化率の式にまだ不安がある場合は、先に変化の割合の求め方と傾きとの違いを確認してください。2点間の傾きを1点へ近づける発想が分かると、導関数の定義式を単なる暗記ではなく、平均変化率の極限として読めるようになります。
導関数の公式一覧｜数学IIで最初に覚える基本ルール
数学IIの多項式を微分する土台は、定数の導関数、xの自然数乗、定数倍、和と差です。茨城大学の公式教材では微分の線形性として和・差と定数倍が示され、xⁿの導関数はnxⁿ⁻¹と確認できます。つまり、多項式は項ごとに分け、係数を残し、指数を前へ掛け、指数を1だけ下げれば計算できます。
x³を3x²にすることは覚えました。でも、5x³や−2xのように係数が付くと迷います。
係数はそのまま残してから指数を掛ける。5x³なら5×3x²=15x²、−2xなら−2×1x⁰=−2だ。定数だけの項は変化しないので0になる。まず各項へ縦線を入れて分け、符号を含めて一項ずつ処理しよう。
| 種類 | 公式 | 例 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 定数 | (c)′=0 | (7)′ | 0 |
| べき | (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ | (x⁵)′ | 5x⁴ |
| 定数倍 | {kf(x)}′=kf′(x) | (4x³)′ | 12x² |
| 和・差 | {f(x)±g(x)}′=f′(x)±g′(x) | (x³−2x)′ | 3x²−2 |
| 一次式 | (ax+b)′=a | (6x−9)′ | 6 |
| 多項式 | 各項を別々に微分 | (2x³−5x²+4)′ | 6x²−10x |
「指数を前へ掛ける→指数を1下げる→定数項は0」の順で声に出します。x=x¹なので、(x)′=1x⁰=1です。x⁰=1まで書けば、一次式の微分で変数が消える理由も説明できます。
数学IIの多項式では主に自然数乗を扱います。分数関数、無理関数、三角関数、指数関数、対数関数、積・商・合成関数は後の公式が必要です。まず問題の関数が多項式かどうかを見分けてください。
導関数を定義から求める方法｜f(x)=x²で4段階を確認
導関数の定義は、f′(x)=lim[h→0]{f(x+h)−f(x)}/hです。公式を使えば(x²)′=2xとすぐ求まりますが、定義からの計算では「xをx+hへ置き換える」「差を作る」「hで割る」「hを0へ近づける」の4段階を省略しません。弘前大学の公式教材にも、x²をこの差商から2xへ整理する計算例があります。
h→0なら、最初からh=0を代入してはいけないのですか？分子も0になりそうです。
最初にh=0を入れると0/0になり、値が決まらない。先に展開して分子からhをくくり、h≠0の段階で約分して2x+hへ直す。そのあとでhを0へ近づけるから2xになる。「代入は約分後」と覚えよう。
| 段階 | 式 | していること | よくある誤り |
|---|---|---|---|
| 置換 | f(x+h)=(x+h)² | x全体をx+hへ | x²+hとする |
| 差 | (x+h)²−x² | 元の値を引く | 括弧を外して符号ミス |
| 整理 | h(2x+h)/h | 共通因数hを約分 | 展開前にhだけ消す |
| 極限 | lim[h→0](2x+h) | hを0へ近づける | 最初にh=0を代入 |
📚 用語解説
差商：{f(x+h)−f(x)}/hの形を差商といいます。hだけ動いたときの平均変化率を表し、h→0の極限が存在するときに導関数となります。
「導関数の定義に従って」「極限を用いて」と指定されたら、公式だけで答えず差商を展開します。指定がなければ、公式で求めたあと必要に応じて定義へ戻って検算するのが効率的です。
多項式の導関数の求め方｜4ステップで計算ミスを防ぐ
多項式の微分は、式を整理し、項を分け、各項へべきの公式を適用し、最後に同類項と符号を確認します。たとえばf(x)=3x⁴−2x³+5x−7なら、f′(x)=12x³−6x²+5です。定数項−7は0になり、一次の項5xは5になります。暗算で一気に処理せず、元の項と結果を上下に対応させます。
−2x³を微分するとき、−6x²なのか6x²なのか分からなくなります。符号を落とさない方法はありますか？
係数を−2のまま一組として囲み、(−2)×3x²と書こう。答えは−6x²だ。和と差の公式では各項の符号もそのまま運ぶ。最後に、元の最高次数が4なら導関数の最高次数は3になっているかも確認するとよい。
| 元の項 | 係数×指数 | 指数の変化 | 導関数の項 |
|---|---|---|---|
| 3x⁴ | 3×4=12 | 4→3 | 12x³ |
| −2x³ | −2×3=−6 | 3→2 | −6x² |
| 5x | 5×1=5 | 1→0 | 5 |
| −7 | 定数 | 変化しない | 0 |
x⁵をx⁴とするだけでは係数5が抜けています。必ず「指数を前へ掛ける」と「指数を1下げる」を一組で実行します。−x³の係数は−1なので、導関数は−3x²です。
微分係数と接線の傾きの求め方｜代入する順番が重要
導関数f′(x)へx=aを代入したf′(a)は、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の傾きです。接線の方程式はy−f(a)=f′(a)(x−a)で求めます。必要なのは接点のx座標a、接点のy座標f(a)、傾きf′(a)の3つです。導関数を求めるだけでは接線の方程式は完成しません。
f(x)=x²+1のx=2における接線なら、f′(2)=4だけ分かれば答えになりますか？
4は傾きだけだ。接点のy座標はf(2)=5だから、点(2,5)を通る。y−5=4(x−2)と置き、整理してy=4x−3が接線になる。f′(2)とf(2)は別の値なので、それぞれ導関数と元の関数へ代入しよう。
| 求めるもの | 使う式 | f(x)=x²+1、a=2 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 導関数 | f′(x) | 2x | xを含む式 |
| 接線の傾き | f′(a) | f′(2)=4 | 4 |
| 接点のy座標 | f(a) | f(2)=5 | 5 |
| 接線 | y−f(a)=f′(a)(x−a) | y−5=4(x−2) | y=4x−3 |
📚 用語解説
微分係数：x=aにおける瞬間の変化率であり、その点の接線の傾きです。導関数f′(x)へaを代入した値f′(a)で、一つの数として求めます。
①f′(x)を求める、②f′(a)で傾きを求める、③f(a)で接点を求める、の3つです。最後に点傾きの式へ入れ、元の接点を代入して等式が成り立つか検算します。
積・商・合成関数の導関数｜数学IIIまで使う発展公式
式が単なる多項式の和や差でない場合は、形に応じた公式を使います。積は{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)、商は{f(x)/g(x)}′={f′(x)g(x)−f(x)g′(x)}/{g(x)}²、合成関数y=f(u)、u=g(x)はdy/dx=(dy/du)(du/dx)です。石川高専と神戸大学の公式教材でこれらの区分と公式を確認できます。
(x²+1)³は、指数を前へ出して3(x²+1)²だけでよいのでしょうか？
それは外側だけの微分で、内側x²+1の微分2xが抜けている。合成関数なので3(x²+1)²×2x=6x(x²+1)²だ。「外側を微分して、内側はそのまま、最後に内側を微分」と唱えよう。
| 関数の形 | 公式 | 例 | 導関数 |
|---|---|---|---|
| 積 fg | (fg)′=f′g+fg′ | x²(x+1) | 2x(x+1)+x² |
| 商 f/g | (f/g)′=(f′g−fg′)/g² | (x+1)/x | {x−(x+1)}/x² |
| 合成 f(g(x)) | 外側の微分×内側の微分 | (x²+1)³ | 6x(x²+1)² |
| 三角関数 | (sin x)′=cos x | 2sin x | 2cos x |
| 指数関数 | (eˣ)′=eˣ | 3eˣ | 3eˣ |
| 対数関数 | (log|x|)′=1/x | log|x| | 1/x |
📚 用語解説
合成関数：ある関数の出力を別の関数へ入力した形です。(x²+1)³では、内側がu=x²+1、外側がu³です。微分では外側の導関数と内側の導関数を掛けます。
(fg)′はf′g′ではありません。片方を微分した項を2つ作り、f′g+fg′と足します。たとえば{x(x+1)}′=1·(x+1)+x·1=2x+1で、直接展開した(x²+x)′とも一致します。
簡単に展開できる積は、積の微分公式と展開後の微分を両方試すと検算になります。結果が一致しなければ、片方の項、内側の微分、商の分母の2乗のどれかが抜けていないか確認します。
導関数の例題｜定義・公式・接線を順に解く
ここでは、公式を使う多項式、定義から求める二次関数、微分係数、接線の4種類を同じ手順で解きます。問題文の動詞に注目し、「導関数を求めよ」ならxを含む式、「x=aにおける微分係数」なら数、「接線の方程式」ならy=mx+nの形まで出すと、答える範囲が明確になります。
問題ごとに解き方が違って見えます。最初の一行は何を書けばよいですか？
まず「何を答える問題か」を欄外へ書こう。導関数ならf′(x)=、微分係数ならf′(a)=、接線ならy−f(a)=f′(a)(x−a)=から始める。定義指定ならlim[h→0]の差商を書く。最初の型を決めれば、途中で別の量を答える事故を防げる。
例題1：f(x)=4x³−3x²+2x−5の導関数
各項を符号込みで分けると、(4x³)′=12x²、(−3x²)′=−6x、(2x)′=2、(−5)′=0です。したがってf′(x)=12x²−6x+2です。最高次数は3から2へ下がり、定数項が消えているので、形式上の検算も通ります。
例題2：f(x)=x²+3xを定義から微分
f(x+h)=(x+h)²+3(x+h)です。差商の分子は(x+h)²+3(x+h)−(x²+3x)=2xh+h²+3h=h(2x+h+3)となります。hで約分してからh→0とすれば、f′(x)=2x+3です。公式で求めた2x+3とも一致します。
例題3：x=−1における微分係数
例題1の導関数f′(x)=12x²−6x+2へx=−1を代入します。f′(−1)=12·1−6·(−1)+2=20です。元の関数f(−1)ではなく、導関数f′(x)へ代入する点が重要です。答えはxを含まない数20です。
例題4：y=x²−2x+3のx=2における接線
導関数はy′=2x−2なので、傾きはy′(2)=2です。接点のy座標はf(2)=4−4+3=3です。よってy−3=2(x−2)、整理してy=2x−1となります。x=2を代入すると両辺とも3になり、接点(2,3)を通ることを確認できます。
導関数で何が分かる？増減・極値・グラフへの応用
導関数は計算して終わる式ではありません。f′(x)>0の区間では元の関数は増加し、f′(x)<0の区間では減少します。f′(x)=0となる点の前後で符号が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小です。接線の傾き、関数の増減、最大・最小、グラフの概形は、同じ導関数を別の目的で読んだものです。
f′(a)=0なら接線が水平なので、必ず最大か最小になると考えてよいですか？
必ずではない。f(x)=x³ならf′(x)=3x²でf′(0)=0だが、0の左右で導関数はどちらも正だから増加を続ける。極値を決めるのは0という値だけでなく、左右で符号が変わるかどうかだ。導関数を求めたあと、必要な区間へ代表値を入れて符号を調べよう。
| 導関数の情報 | 読み取れること | 元の関数の動き | 次の操作 |
|---|---|---|---|
| f′(a) | x=aでの接線の傾き | 一点での変化 | 接線の式へ代入 |
| f′(x)>0 | 増加区間 | 右上がり | 増減表に＋ |
| f′(x)<0 | 減少区間 | 右下がり | 増減表に− |
| ＋→0→− | 極大の候補 | 増加から減少 | f(a)を計算 |
| −→0→＋ | 極小の候補 | 減少から増加 | f(a)を計算 |
| ＋→0→＋ | 極値ではない | 増加を継続 | 水平接線として扱う |
📚 用語解説
臨界点：導関数が0になる点や導関数が存在しない点など、増減が変わる可能性のある点です。候補にすぎないため、極値かどうかは左右の導関数の符号を調べて判定します。
導関数から増減表を作る具体的な方法は、増減表の書き方と極大・極小の判定で詳しく確認できます。さらに二階微分で凹凸を調べる段階へ進む人は、変曲点と二階微分の符号判定も使い、増減と凹凸の役割を分けてください。
導関数の練習問題｜よくある間違いまで自己採点する
導関数を定着させるには、公式を眺めるだけでなく、定数、一次式、多項式、定義、微分係数、接線を混ぜて解きます。採点では最終答案だけでなく、①公式選択、②係数、③指数、④代入先、⑤答えの形を別々に確認してください。どの工程で誤ったかが分かれば、次に解く問題を具体的に選べます。
答え合わせで正解を写すだけになり、翌日も同じ符号ミスをします。どこまで記録すればよいですか？
「−2×3を書かず負号を落とした」「f(2)へ代入して微分係数と誤認した」のように、誤りを動作で書こう。翌日は同じ型を2題解き、途中式の型が再現できるか確認する。正解数だけでなく、誤答工程を減らすことが導関数の得点安定につながる。
問題1：f(x)=8x−3の導関数
一次の項8xの導関数は8、定数項−3の導関数は0なので、f′(x)=8です。一次関数の傾きがどの点でも8で一定であることと一致します。xを残して8xとしないようにしてください。
問題2：f(x)=−2x⁴+3x²−6の導関数
(−2x⁴)′=−8x³、(3x²)′=6x、(−6)′=0なので、f′(x)=−8x³+6xです。最初の項は係数−2と指数4を掛けるため−8です。最高次数は4から3へ下がっています。
問題3：f(x)=x²−4xを定義から微分
f(x+h)=(x+h)²−4(x+h)です。差商の分子を整理すると2xh+h²−4h=h(2x+h−4)です。hで約分してh→0とすればf′(x)=2x−4です。最初にh=0を代入せず、約分後に極限を取ります。
問題4：問題2のx=1における微分係数
f′(x)=−8x³+6xへx=1を代入し、f′(1)=−8+6=−2です。元の関数f(1)=−2+3−6=−5は点のy座標であり、微分係数ではありません。求める記号を先に書きます。
問題5：y=x²+2xのx=1における接線
y′=2x+2なので傾きはy′(1)=4です。接点のy座標はf(1)=3です。y−3=4(x−1)より、接線はy=4x−1です。最後にx=1を代入し、y=3となることを確認します。
| 誤答 | 原因 | 修正する書き方 | 翌日の確認 |
|---|---|---|---|
| x⁴→x³ | 指数を掛け忘れ | 4x³と2動作を書く | べきだけ5題 |
| −2x³→6x² | 負号を落とした | (−2)×3と書く | 負の係数を2題 |
| 定数を残す | (c)′=0を忘れた | 定数へ斜線を引く | 一次式を2題 |
| f(a)を答える | 代入先を混同 | 先にf′(a)=と書く | 微分係数を2題 |
| 接線で傾きだけ | 接点を未計算 | f(a)とf′(a)を並記 | 接線を2題 |
係数ミスの日はべきの公式、代入ミスの日は微分係数、接線で止まった日は点傾きの式に課題を絞ります。翌日に同型、週末に混合問題という短い周期で再確認すると、公式の記憶と答案手順を分けて強化できます。
導関数を入試得点に変えるには「普通の対策」では受からない
結論から言います。導関数の公式を覚え、授業で解説を聞いて終える「普通の対策」だけでは、初見問題で微分を使い分け、志望大学の入試で得点して受かるのは厳しいです。本記事だけでも、差商の極限、べき、和・差、定数倍、積・商・合成関数、微分係数、接線、増減という複数の判断が必要でした。問題文に応じて正しい手順を白紙から再現できなければ、公式を知っていても得点にはなりません。
練習問題では、−2x⁴の負号を落とす、定数項を残す、微分係数なのにf(a)へ代入する、接線でf(a)を求め忘れるという異なる誤答が起こります。これらを「微分が苦手」で一括りにせず、誤った工程を特定し、翌日の問題数と週次の確認へ反映する必要があります。代表的な学習手段を、公式ページが示す従来塾の3つの限界に照らして順に検討します。
選択肢①：独学・参考書のみでは答案行動を直しにくい
独学や参考書から、導関数の公式と解答例は得られます。しかし、①授業や教材で情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解説を読んで分かった状態と、負号や代入先まで含めて白紙から正答できる状態は別です。自己採点が最終答案だけなら、誤った工程も残ります。
選択肢②：映像授業・アプリでは視聴が演習へ変わりにくい
映像授業やアプリは差商や接線の動きを見やすくできますが、視聴時間が自力計算の回数になるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。定義で止まる生徒と、合成関数で内側の微分を落とす生徒へ、同じ動画だけでは課題を分けきれません。
選択肢③：集団授業の大手予備校では個別の誤答原因が残る
集団授業の大手予備校は体系的に進みますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が増減や最大最小へ進んでも、ある生徒は多項式の負号で止まり、別の生徒は接線の式で止まります。一斉の課題だけでは、一人ずつ異なる誤答工程を翌日の問題数や復習間隔へ細かく反映しきれません。
選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い
一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日に導関数と微分係数の混同を直しても、翌日から同じ代入ミスを繰り返し、確認が次週なら誤った手順が定着しかねません。微分は増減、極値、積分へ連結するため、修正の遅れが後続単元にも波及します。
独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも「誤答工程を個別化する」「毎日の計算行動へ変える」「短い周期で再確認する」のどこかが不足します。だから、導関数を入試答案で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。
鬼管理専門塾の特徴
鬼管理専門塾は、授業や教材を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、導関数を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。
教材名・問題数・復習範囲まで、今日の学習を具体的な数値で示す
現在地・志望校・誤答原因に合わせ、個別の行動プランを設計する
日々の進捗と毎週の確認テストで、理解と定着を検証する
厳格な選考を通過した講師が伴走し、満足度アンケート1,524件も公開する
大学受験・総合型選抜/推薦・英語資格・高校受験に対応する
LINEの質問窓口とZoomの無料説明会、資料請求を用意する
❶ 1日単位で数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。
導関数の対策なら、「微分を復習する」で終わらず、多項式を何題、定義からの計算を何題、接線を何題解き、どの誤答をいつ解き直すかまで行動へ変えられます。公式を知る学習から答案を再現する学習へ移せます。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、その計画を実際に実行できているかまで確認します。
数学でも、べきの公式で止まる生徒と、合成関数や増減への応用で止まる生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、導関数のどの工程を重点的に直すかを分け、志望大学の出題範囲へ時間を配分できます。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析して修正する仕組みが公式ページで示されています。
一度正解した微分も、一週間後に係数や問い方が変わって再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、公式直後と時間が経った後の両方で答案の再現性を確認できます。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。
導関数の答案では、最終結果だけでなく、負号、指数、代入先の一つに原因が現れます。専属講師へ途中式まで示して確認することで、答えだけの丸付けでは見逃す誤答工程を特定し、次の課題へ反映できます。
❺ 大学受験から英語資格までの専門コース
専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。
本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲と残り期間を前提に、微分法の導関数へどれだけ時間を使い、増減・積分・数列・ベクトルへいつ進むかを逆算できます。
❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求
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まとめ｜導関数は意味・公式・代入の順で身につける
| 学習段階 | 中心となる式 | できるようにすること | 検算 |
|---|---|---|---|
| 意味 | {f(x+h)−f(x)}/h | 平均変化率から極限を説明 | hは約分後に0へ |
| 公式 | (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ | 多項式を項ごとに微分 | 次数が1下がる |
| 点 | f′(a) | 微分係数と傾きを求める | xを含まない数 |
| 接線 | y−f(a)=f′(a)(x−a) | 接点と傾きを使う | 接点を代入 |
| 応用 | f′(x)の符号 | 増減と極値を判定 | 左右の符号変化 |
導関数は、各xにおける瞬間の変化率をまとめた関数です。定義では差商のh→0の極限を使い、実際の多項式計算では定数、べき、定数倍、和・差の公式を使います。f′(x)はxを含む導関数、f′(a)は指定点での微分係数という違いを、答案の最初に記号で示してください。
公式計算では「指数を前へ掛ける」「指数を1下げる」を一組にし、負号と定数項を確認します。接線ではf′(a)だけでなくf(a)も求めます。積・商・合成関数へ進んだら、式の形を見て公式を選び、簡単な式は展開した結果とも照合してください。誤答は工程別に記録し、翌日と週末に再現します。
導関数を含む受験数学の復習計画を相談できます
よくある質問
Q. 導関数とは簡単にいうと何ですか？
A. 関数f(x)の各xにおける瞬間の変化率、つまり接線の傾きをまとめた関数です。f′(x)と表し、指定した点x=aでの値f′(a)を微分係数といいます。
Q. 導関数の公式で最初に覚えるものは何ですか？
A. 定数は0、(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹、定数倍は係数を残す、和と差は項ごとに微分する、の4つです。多項式はこれらを組み合わせて求めます。
Q. 導関数と微分係数の違いは何ですか？
A. 導関数f′(x)はxを含む関数です。微分係数f′(a)は、導関数へx=aを代入して得る一つの数で、その点における接線の傾きを表します。
Q. 導関数を定義から求めるときの順番は？
A. f(x+h)を作り、{f(x+h)−f(x)}/hへ代入し、分子を整理してhを約分してからh→0の極限を取ります。最初にh=0を代入しないことが重要です。
Q. 定数の導関数が0になるのはなぜですか？
A. xが変わっても定数の値は変わらず、変化量が0だからです。差商でも{c−c}/h=0となり、グラフy=cの接線は水平で傾き0です。
Q. 接線の方程式は導関数からどう求めますか？
A. まずf′(x)を求め、指定点aで傾きf′(a)と接点(a,f(a))を計算します。それらをy−f(a)=f′(a)(x−a)へ代入して整理します。
Q. f′(a)=0なら必ず極大または極小ですか？
A. 必ずではありません。極値かどうかはaの左右で導関数の符号が変わるかを確認します。正から負なら極大、負から正なら極小、符号が変わらなければ極値ではありません。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映
