円柱・円錐・球の表面積の公式と求め方｜展開図・例題・覚え方を解説

立体の表面積は公式の種類が多く見えますが、計算の核は平面図形の面積の足し算です。円柱の側面を開けば長方形、円錐の側面を開けば扇形になります。球だけは平面へ重なりなく展開できないため、半径rに対して4πr²という公式を使います。形の名前を見て公式を反射的に選ぶのではなく、底面が何枚あり、側面が何に変わるかを確認すると、式の意味を説明できます。

文部科学省の中学校学習指導要領解説 数学編でも、柱体・錐体の表面積を実際に展開して求めること、円錐では底面の円周と側面の扇形の弧の長さが等しいことに着目する学習が示されています。本記事では円周率をπ、底面の半径をr、高さをh、円錐の母線をlとして、単位と検算まで含めて解説します。

表面積とは？底面積・側面積・体積との違いを整理

表面積とは、立体の外側を覆うすべての面の面積の合計です。箱なら6面、三角柱なら2枚の三角形と3枚の長方形、円柱なら2枚の円と1枚の曲面を数えます。机に接して見えない面も、立体そのものの表面であれば含めます。一方、別の立体と接着して内側に隠れた面や、容器のふたが開いていて存在しない面は数えません。問題文の「表面」がどこまでかを最初に確定します。

量	何を表すか	代表的な単位	計算時の見方
長さ	辺・半径・高さ・母線	cm、m	1次元。単位をそろえる
側面積	底面以外の面の合計	cm²、m²	展開図で側面の形を見る
表面積	外側の全ての面の合計	cm²、m²	底面積＋側面積
体積	立体が占める空間の大きさ	cm³、m³	底面積と高さを使う

面積の単位は必ず平方単位です。半径3cmの円の面積は9πcm²であり、9πcmでも9πcm³でもありません。問題にcmとmが混在するときは、面積を出す前に長さの単位を統一します。1m=100cmですが、1m²=10,000cm²です。面積を出した後に長さと同じ100倍で換算すると誤答になるので、原則として与えられた長さを先に同じ単位へ直してください。

円柱の表面積｜円2枚と長方形1枚を足す

半径r、高さhの直円柱を展開すると、合同な円が2枚と長方形が1枚になります。円1枚の面積はπr²なので、底面2枚の合計は2πr²です。側面の長方形は、縦が円柱の高さh、横が底面の円周2πrです。したがって側面積は2πr×h=2πrh、表面積SはS=2πr²+2πrh=2πr(r+h)となります。

例題1｜半径4cm・高さ7cmの円柱

底面1枚はπ×4²=16πcm²、2枚で32πcm²です。側面は底面の円周2π×4=8πcmと高さ7cmの積なので56πcm²です。よって表面積は32π+56π=88πcm²となります。公式へ一度に代入するなら2π×4²+2π×4×7=32π+56π=88πです。

同じ円柱の体積はπ×4²×7=112πcm³です。88πと112πの大小だけで正誤を判断してはいけませんが、表面積にcm²、体積にcm³が付いているかは必ず確認できます。また側面の長方形の横8πcmと縦7cmを掛けて56πcm²になるため、展開図から側面積を再現すれば2πrhのrやhを落としていないか検算できます。

ふたのない円柱・筒では数える面が変わる

「上面のない円柱形の容器」なら底面は1枚だけなので、表面積はπr²+2πrhです。「両端が開いた薄い筒」で厚みを考えないなら、円の底面はなく側面積2πrhだけです。塗装する面積を問う問題では、容器の内側を塗るのか、底の外側も塗るのかによって対象が変わります。図の名前より、実際に存在し露出する面を数えることが優先です。

円錐の表面積｜底面の円と側面の扇形を足す

半径r、母線lの直円錐を展開すると、底面の円1枚と、半径lの扇形1枚になります。この扇形の弧は、組み立てると底面の円周にぴったり一致するため長さは2πrです。扇形の面積は「弧の長さ×半径÷2」でも求められるので、側面積は2πr×l÷2=πrlです。よって表面積Sはπr²+πrl=πr(r+l)となります。

例題2｜半径3cm・高さ4cm・母線5cmの円錐

底面積はπ×3²=9πcm²です。側面積はπ×3×5=15πcm²なので、表面積は9π+15π=24πcm²となります。母線が与えられていなくても、高さ4cmと半径3cmでできる直角三角形からl=√(3²+4²)=5cmと求められます。この3:4:5の関係を確認してからπrlへ代入すれば、h=4を誤って入れる事故を防げます。

展開図の扇形の中心角は360°×3/5=216°です。扇形の面積を中心角から計算すると、π×5²×216/360=25π×3/5=15πcm²となり、πrlと一致します。母線と中心角のどちらが与えられても同じ側面積に到達できることが、強い検算になります。

扇形そのものの公式や弧の長さに不安がある場合は、既存記事の扇形の面積の公式と求め方で、中心角・弧長・ラジアンの関係を先に復習してください。円錐の側面積は、扇形の面積を立体の文脈で使う問題です。

球・半球の表面積｜4πr²と底面を含むかを確認

半径rの球の表面積Sは4πr²です。円柱や円錐のように重なりなく平面へ開く展開図は作れないため、球では公式を使います。ただし「4×π×半径の2乗」という構造を保って覚えてください。直径dが与えられた場合はr=d/2として、S=4π(d/2)²=πd²とも表せます。直径の2乗にπを掛ける形は便利ですが、半径公式との関係を理解して使うことが大切です。

例題3｜半径6cmの球

球の表面積は4π×6²=4π×36=144πcm²です。体積は4πr³/3なので、同じ球なら4π×6³/3=288πcm³です。表面積の指数はr²、体積の指数はr³です。公式を混同したときは、面積が平方単位、体積が立方単位になることから、半径の指数が合っているかを検査できます。

半球は曲面だけなら2πr²、底面込みなら3πr²

球をちょうど半分に切ると、曲面部分は球の表面積の半分なので2πr²です。しかし切断によって半径rの円が新しい面として1枚できます。底面を含む半球の表面積は2πr²+πr²=3πr²です。「半球の表面積」とだけ書かれているときは図と文脈を読み、ガラスドームのように底がないのか、半球形の固体のように円の面も外側にあるのかを判断します。

形	曲面	平面の円	表面積
球	球面全体	なし	4πr²
半球（曲面のみ）	球面の半分	数えない	2πr²
半球（底面込み）	球面の半分	1枚	3πr²

球の公式の由来や体積とのつながりをさらに確認したい場合は、既存記事の球の体積・表面積の公式と覚え方も参照してください。本記事では円柱・円錐との使い分けを重視し、球の記事では半球の練習問題を含めて詳しく扱っています。

柱体・角柱・錐体の表面積｜共通公式で整理する

• 円錐: 円1枚と扇形

柱体は合同で平行な底面を2枚もち、錐体は底面1枚と1つの頂点をもちます。直柱の側面を展開すると、底面の周の長さを横、高さを縦とする帯になります。そのため、直柱の側面積は「底面の周の長さ×柱の高さ」、表面積は「底面積×2＋底面の周の長さ×高さ」です。円柱はこの共通公式で、底面の周が2πrになった特別な場合です。

角柱でも同じです。例えば底面が辺3cm、4cm、5cmの直角三角形、高さ10cmの三角柱なら、底面積は3×4÷2=6cm²、底面の周は3+4+5=12cmです。表面積は6×2+12×10=132cm²です。展開図で計算すれば、長方形3枚の面積30+40+50=120cm²と底面2枚12cm²の合計になり、共通公式と一致します。

錐体の側面は、角錐なら複数の三角形、円錐なら扇形です。直柱のように一律に「底面の周×高さ」とはできません。角錐では各側面三角形の底辺と高さを確認し、円錐では母線lを使ってπrlを計算します。三角錐の体積・表面積・展開図を復習したい場合は、既存記事の三角錐の体積・表面積の求め方へ進むと、角錐との共通点が分かります。

立体	底面の枚数	側面を開いた形	表面積
直柱	合同な2枚	底面の周×高さの帯	2×底面積＋側面積
円柱	円2枚	長方形	2πr²+2πrh
角錐	多角形1枚	複数の三角形	底面積＋各側面積
円錐	円1枚	扇形	πr²+πrl
球	なし	展開図を作れない曲面	4πr²

母線・中心角・高さが不明な問題の解き方

表面積の問題では、公式へ代入する前に必要な長さを補う段階があります。特に円錐は、半径r、高さh、母線l、展開図の中心角θの4量が登場します。直円錐の断面には、半径rと高さhを直角に挟み、母線lを斜辺とする直角三角形ができるため、l²=r²+h²です。どの量が不明かを決め、表面積に必要なrとlをそろえてからπr(r+l)へ進みます。

母線を三平方の定理で求める

半径5cm、高さ12cmの直円錐なら、母線はl=√(5²+12²)=√169=13cmです。側面積はπ×5×13=65πcm²、底面積は25πcm²なので、表面積は90πcm²です。高さ12cmをそのままπrlのlへ入れると60π+25π=85πとなり、5π不足します。断面に直角記号を書き、斜辺が母線であることを確認してください。

中心角を弧の長さから求める

展開図の扇形の半径はl、弧の長さは底面の円周2πrです。半径lの円全体の円周は2πlなので、扇形が円全体に占める割合は2πr÷2πl=r/lです。したがってθ=360°×r/lです。r=4、l=10ならθ=144°となります。rはl以下なので中心角は360°以下になり、これも検算に使えます。

表面積から高さや半径を逆算する

半径5cmの円柱の表面積が70πcm²なら、2πr²+2πrh=70πへr=5を入れます。50π+10πh=70πなのでh=2cmです。逆算では、最初にπを約3.14へ直す必要はありません。全項にπが共通ならπで割り、係数だけの一次方程式にすると計算が短くなります。

円錐の表面積がπr(r+l)で与えられ、rが分かっている場合も同じです。r=3、表面積が24πなら3(3+l)=24からl=5です。さらに高さが必要ならh=√(l²-r²)=√(25-9)=4と戻れます。表面積→母線→高さの順で逆算し、得られた値を元の式へ再代入して24πになるか確認します。

相似な立体・複合立体・切断後の表面積

相似な立体で全ての長さをk倍すると、表面積はk²倍、体積はk³倍になります。円柱の半径と高さをともに2倍すると、2πr²も2πrhも4倍になるため、表面積全体は4倍です。球も4π(2r)²=4×4πr²となります。半径だけを2倍し高さを変えない円柱は相似ではないため、表面積が一律4倍になるとは限りません。全ての対応する長さが同じ倍率かを確認します。

例題4｜表面積の比から半径を求める

相似な2つの球A、Bの表面積比が9:25なら、半径比は√9:√25=3:5です。球Aの半径が6cmなら球Bの半径は10cmです。公式で確かめるとAは4π×36=144π、Bは4π×100=400πで、144:400=9:25となります。表面積比をそのまま半径比にしないことが要点です。

複合立体では接着面を数えない

半径3cm、高さ8cmの円柱の上に、同じ半径3cmの半球を接着した立体を考えます。外側に露出するのは、円柱の側面2π×3×8=48π、円柱の下底9π、半球の曲面2π×3²=18πです。円柱の上底と半球の底面は互いに接して内部へ隠れるため数えません。表面積は48π+9π+18π=75πcm²です。

別々の表面積を足してから接着面を2枚分引く方法でも検算できます。円柱全体は66π、底面込みの半球は27πで合計93πです。接着する円9πが両方に1枚ずつ含まれているので18πを引き、75πになります。「外側の面だけを最初から足す方法」と「全体から隠れる面を引く方法」の2通りが一致すれば、接着面の引き忘れを防げます。

立体を切ると切断面が増える

立体を切断すると、元の表面の一部が分かれるだけでなく、新しい切断面が生まれます。球を中心で半分に切れば、半球1個につき円が1枚増えます。円柱を軸を含む平面で縦に二等分すれば、各半分に縦h、横2rの長方形が新しく1枚できます。切る前後の表面積を比べる問題では、元の表面がどう分割されたかと、新しい切断面の面積を分けて記録してください。

円柱・円錐・球の例題と練習問題

ここでは公式を見分けるだけでなく、答案に残すべき途中式まで確認します。πは特に指定がなければπのまま答え、問題で「円周率を3.14とする」と書かれているときだけ最後に数値化します。最初から3.14を掛けると小数計算が増え、共通因数πで整理できなくなるためです。

例題5｜直径10cm・高さ9cmの円柱

直径10cmなので半径はr=5cmです。底面2枚は2×π×5²=50πcm²、側面は2π×5×9=90πcm²、表面積は140πcm²です。円周率を3.14とするなら140×3.14=439.6cm²です。直径10をrへ入れると本来の4倍近い値になるため、最初の「r=5」が答案の重要な一行です。

例題6｜中心角120°・母線9cmの円錐

側面の扇形の弧は、半径9cmの円周2π×9の120/360なので6πcmです。これは底面の円周2πrに等しいため、2πr=6πからr=3cmです。側面積はπ×9²×120/360=27πcm²、底面積は9πcm²、表面積は36πcm²です。πrlでもπ×3×9=27πとなり一致します。

例題7｜直径14cmの半球を底面込みで求める

直径14cmなのでr=7cmです。半球の曲面は2πr²=2π×49=98πcm²、底面の円は49πcm²です。底面込みの表面積は147πcm²です。「半球だから球の半分」とだけ考えて98πで止めず、問題の図に平らな円の面があることを確認します。

練習問題

練習問題の答えと考え方

1問目は2π×2²+2π×2×6=8π+24π=32πcm²です。2問目は側面積π×6×10=60πcm²、底面積36πcm²なので表面積96πcm²です。3問目は球が4π×4²=64πcm²、底面込みの半球が3π×4²=48πcm²です。

4問目は円柱の側面2π×4×3=24π、円柱の下底16π、半球の曲面2π×4²=32πを足して72πcm²です。接着した円2枚は外側に出ません。5問目は表面積比が2²:5²=4:25、体積比が2³:5³=8:125です。答えだけでなく、どの面・どの倍率を使ったかを1行で説明できる状態を目指してください。

表面積で間違いやすいポイントと覚え方

表面積のミスは、公式を忘れた一種類だけではありません。底面の枚数を誤る、直径を半径にしない、円錐の高さを母線として使う、半球の底面を落とす、接着面を残す、切断面を足さない、πや2乗を落とす、単位をcm³にするなど、原因が異なります。誤答を「ケアレスミス」でまとめず、どの判断でずれたかを記録すると、次に直す行動が明確になります。

誤答	原因	修正する一言
円柱で底面を1枚しか足さない	柱体の底面枚数を未確認	円柱は円2枚
円錐の側面積をπrhにする	高さと母線の混同	扇形の半径はl
半球を常に2πr²とする	底面の有無を未確認	円の切断面を足すか
複合立体で値が大きすぎる	接着面の二重計上	外から触れない面を消す
切断後も元と同じ面積にする	新しい切断面の見落とし	切り口を追加
cm³で答える	表面積と体積の混同	面積は平方単位

公式は「展開図の短い物語」で覚える

円柱は「円が2枚、側面は円周×高さ」なので2πr²+2πrhです。円錐は「円が1枚、側面の扇形は弧×母線÷2」なのでπr²+πrlです。球は「半径rの円4枚分」で4πr²と覚えます。語呂だけで記号列を暗記するより、どの面を足した式かを口で説明すると、ふたなし容器や半球などの変形問題にも対応できます。

解き直しは翌日・1週間後に行う

間違えた直後は解説の式を覚えているため、同じ問題を解けても定着したとは限りません。翌日は数値だけを変えた同型問題、1週間後は円柱・円錐・球を混ぜた問題を解きます。毎回「面の台帳→必要な長さ→式→単位」の4欄を答案に残し、どの欄の誤りが減ったかを記録してください。

公式カードは表面積と体積を左右に分ける

カードの左に展開図と表面積、右に断面図と体積を書きます。円柱なら左に円2枚＋長方形と2πr²+2πrh、右にπr²hです。円錐なら左に円＋扇形とπr²+πrl、右にπr²h/3です。同じr、h、lのうち何を使うかが並べて見えるため、表面積と体積の公式を混ぜにくくなります。

学習計画では、円柱だけを20問続けるより、円柱・円錐・球・半球・複合立体を少数ずつ混ぜ、公式選択から練習してください。鬼管理専門塾では、正解数だけでなく「直径→半径」「h→l」「接着面削除」などの判断を分け、その日に解く問題の種類と数へ落とし込む考え方を取ります。誤答分類に応じて翌日の問題を変えることで、暗記した公式を試験で選べる力へつなげます。

空間図形は「普通の対策」では受からない

結論から言います。円柱・円錐・球の公式を覚え、週末にまとめて問題を解くだけの「普通の対策」では、空間図形を大学受験で安定して得点し、志望校に受かるのは厳しいです。表面積だけでも、底面枚数、円周、母線、中心角、半球の切断面、相似比、接着面、平方単位という複数の判断があり、公式を知ることと初見の図から必要な面を選べることは別の能力だからです。

この記事で扱った基本3公式は短い一方、誤答原因は少なくとも「直径を半径にしない」「円柱の底面を1枚にする」「円錐でhをlとして使う」「半球の底面を落とす」「接着面を二重計上する」「切断面を足さない」「相似比を2乗しない」「単位を混ぜる」の8種類あります。解説を一度理解しても、条件を変えた問題を毎日選び、原因別に解き直さなければ、試験時間内の判断には変わりません。

独学・参考書のみでは面の数え違いを自分で発見しにくい

独学や参考書でも公式と標準例題は学べます。しかし、自分が底面枚数を落とすのか、母線を混同するのか、接着面を残すのかを客観的に集計するのは簡単ではありません。解説という情報を得ても、翌日の問題選択や図への書き込み方が変わらなければ行動は変わらず、限界①に当たります。解き直しの時期も本人任せなので限界③も残ります。

映像授業・アプリだけでは答案ごとの誤答原因を追跡できない

映像授業や学習アプリは、円柱や円錐の展開図が開く様子を視覚的に理解する助けになります。一方、動画を見終えたことと、自分で弧の一致を式にし、接着面を消して計算できることは同じではありません。標準化された解説は、生徒固有の「直径のまま代入」や「cm³と書く」誤りを毎日追跡して翌日の課題へ反映しないため、限界①と②が残ります。

集団授業の大手予備校では弱点別の反復量になりにくい

集団授業の大手予備校は空間図形を体系的に教えますが、クラス全体の進度で進みます。ある生徒は円柱の基本が不足し、別の生徒は円錐の逆算や複合立体だけ不足していても、同じ宿題になりやすいためです。全員同じ指導では8種類の誤答の偏りに合わせにくく限界②に、授業外の解き直しを本人へ委ねれば限界③に当たります。

一般的な個別指導塾でも週1回では誤りの修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、確認が週1回だけなら、月曜日に起きた「円錐の高さを母線として使う誤り」を次の授業まで繰り返す可能性があります。その間に半球や複合立体へ進めば、面を数える誤りが別問題にも広がります。教材と進度が定型なら個人の誤答分布に十分合わせられず限界②、確認間隔が長ければ限界③を超えられません。

したがって必要なのは、公式を説明する授業だけではありません。答案から誤りを分類し、その日に解く立体の種類と問題数を決め、毎日の実行を確認し、毎週のテストで定着を測って計画を修正する仕組みです。独学・映像授業・集団授業・一般的な個別指導を消去法で外すと、この条件を一体で満たす選択肢は、だから鬼管理専門塾しかない、という結論になります。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を受けた時間ではなく、志望校合格に必要な勉強を毎日実行し、定着まで確認できたかを管理します。表面積のように、面の読み取り、公式選択、必要な長さの補完、計算、単位、解き直しが連続する単元へ、公式サイトで確認できる次の6つの特徴を接続します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

表面積なら、「円柱の基本を4題、円錐の母線・中心角を3題、半球と複合立体を2題、前日の誤答を1題」のように、その日に扱う立体と問題数まで明確にします。何となく数学を開く状態をなくし、実際に展開図と途中式を書く量へ変えます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

同じ不正解でも、直径を半径にできない生徒、円錐のhとlを混同する生徒、接着面を残す生徒、相似比を2乗しない生徒では必要な課題が違います。答案と得点状況から原因を分け、円周・扇形・三平方・複合立体の比率を変えた行動プランを設計します。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

毎日の進捗で予定した問題を解けたか確認し、毎週の確認テストで、初見の立体から外側の面を列挙して公式を選べるかまで測ります。答えだけでなく展開図、途中式、平方単位、誤答原因も確認し、基準に届かなければ追加課題と翌週の計画修正につなげます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

採用率0.6%の専属講師陣が、公式の説明だけで終わらず、答案のどの段階で面の選択や長さの対応がずれたかを具体的に切り分けます。講師満足度アンケート回答1,524件を公開している体制の下で、中学の空間図形から大学受験の図形問題までの接続を支援します。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースがあるため、中学数学の柱体・錐体・球の復習から、高校数学で三平方・相似・空間図形を組み合わせる大学受験まで、目標と現在地に合う計画へ表面積の学習を位置付けられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

学習中に「この円は接着面として消すか」「高さと母線のどちらを使うか」と迷ったときはLINEで質問できます。入会前はZoomで保護者同席もできる無料説明会や資料請求を利用し、現在の答案と学習時間から必要な管理内容を相談できます。

鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象と詳細条件は無料説明会で案内しています。まずは無料説明会で、円柱・円錐・球の公式暗記ではなく、面を選ぶ段階からどこで判断が止まるのか、日々の演習へどう落とし込むかを相談してください。指導の考え方は「鬼管理」とは、実際の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜表面積は展開図と面の足し算で求める

表面積は、立体の外側に露出する面を平面図形へ分け、その面積を重複なく足したものです。円柱は底面の円2枚と長方形、円錐は円1枚と扇形、球は曲面全体です。公式を使う前に面の構成を言葉で説明できれば、ふたのない容器、半球、複合立体、切断後にも対応できます。

学習では、公式を見ながら同じ形だけを解く段階で終わらせず、円柱・円錐・球・半球・複合立体を混ぜてください。毎回「外側の面」「必要な長さ」「各面の式」「単位」を答案に残し、翌日と1週間後に再テストします。公式を忘れても展開図から復元でき、変形問題でも面の増減を説明できるようになれば、表面積は暗記単元ではなく安定した得点源になります。

よくある質問

質問の種類	確認するFAQ
定義と単位	Q1・Q8
円柱	Q2
円錐・母線	Q3・Q4・Q5
球・半球	Q6・Q7
複合・相似	Q9・Q10

Q. 表面積とは何ですか？

A. 立体の外側を覆うすべての面の面積の合計です。底面積と側面積を足し、接着して内部に隠れる面は数えません。単位はcm²やm²などの平方単位です。

Q. 円柱の表面積の公式は何ですか？

A. 半径r、高さhの直円柱なら2πr²+2πrh=2πr(r+h)です。πr²の底面が2枚、円周2πrと高さhからなる長方形の側面が1枚あります。

Q. 円錐の表面積の公式は何ですか？

A. 半径r、母線lならπr²+πrl=πr(r+l)です。πr²は底面、πrlは展開図で扇形になる側面の面積です。

Q. 円錐の側面積がπrlになるのはなぜですか？

A. 側面の扇形の弧が底面の円周2πr、扇形の半径が母線lだからです。扇形の面積を弧の長さ×半径÷2で求めると2πr×l÷2=πrlになります。

Q. 円錐の母線はどう求めますか？

A. 直円錐で半径r、高さhが分かるなら、断面の直角三角形に三平方の定理を使い、l=√(r²+h²)で求めます。母線は側面上の斜めの長さです。

Q. 球の表面積の公式は何ですか？

A. 半径rなら4πr²です。直径dを使うとπd²とも表せます。表面積なので半径は2乗、単位は平方単位になります。

Q. 半球の表面積は2πr²と3πr²のどちらですか？

A. 曲面だけなら2πr²、切り口の円を底面として含めるなら2πr²+πr²=3πr²です。問題の図で平らな円の面を数えるか確認してください。

Q. 表面積と体積の違いは何ですか？

A. 表面積は外側の面の広さでcm²など、体積は立体が占める空間の大きさでcm³などを使います。円柱の表面積は2πr²+2πrh、体積はπr²hです。

Q. 複合立体の表面積はどう求めますか？

A. 外側から触れる面だけを列挙して足します。部品同士の接着面は内部へ隠れるため数えません。別々の表面積を足す場合は、接着面を両部品から1枚ずつ、合計2枚分引きます。

Q. 相似な立体の表面積比はどう求めますか？

A. 対応する長さの比を2乗します。長さ比が2:5なら表面積比は4:25です。体積比は長さ比を3乗して8:125になります。