三角形の内接円の半径の求め方｜r=S/s・ヘロンの公式・直角三角形を例題で図解

三角形の内接円の半径は、内接円の中心から3辺へ下ろした垂線を高さと見ると求められます。三角形ABCの辺の長さをa・b・c、面積をS、半周長をs=(a+b+c)/2、内接円の半径をrとすると、基本公式はr=S/s=2S/(a+b+c)です。大切なのは公式へ数字を急いで入れることではなく、問題文の条件から面積Sと半周長sを最短で作ることです。文部科学省の高等学校学習指導要領解説 数学編でも、内心の性質は数学A「図形の性質」、三角比や三角形の面積は数学I「図形と計量」として関連付けて扱われています。まずは、内接円・内心・半径rの意味を図の中で正しく見分けるところから始めます。

内接円とは？内心・接点・外接円との違いを整理

三角形の内接円とは、三角形の3辺すべてに接する円です。円の中心を内心Iといい、内心から3辺へ下ろした垂線の長さはすべて等しくなります。その共通の長さが内接円の半径rです。円が辺と触れる点を接点といい、半径と接点を通る辺は直角に交わります。したがって、図の中に「中心から辺への垂線」が3本見えれば、その長さを同じrとして扱えます。

内心が角の二等分線の交点になる理由は、角の二等分線上の点が、その角を作る2辺から等距離にあるからです。角Aと角Bの二等分線の交点をIとすると、Iから辺AB・BC・CAまでの距離が順に等しくなり、Iを中心としてその距離を半径にした円は3辺すべてに接します。三角形の種類が鋭角・直角・鈍角のどれであっても、内心は必ず三角形の内部にあります。

比べる対象	円と三角形の関係	中心	中心の求め方	半径の代表公式
内接円	3辺すべてに接する	内心	3つの角の二等分線の交点	r=S/s
外接円	3頂点すべてを通る	外心	3辺の垂直二等分線の交点	R=a/(2sin A)

外接円は3頂点を通る円で、中心は外心、半径は大文字Rで表します。内接円は3辺に接する円で、中心は内心、半径は小文字rです。「頂点を通る」か「辺に接する」かを最初に確認すれば、正弦定理のRと面積公式のrを取り違えにくくなります。内心・外心・重心などの位置関係も整理したい人は、三角形の五心の性質と見分け方も合わせて確認してください。

内接円の半径の基本公式r=S/sを面積から証明

公式r=S/sは、三角形を内心Iと3頂点で結んで3つに分ければ証明できます。辺aを底辺とする小三角形の高さはrなので面積はar/2です。同様に、残り2つの面積はbr/2、cr/2です。3つを足したものが元の三角形の面積Sだから、S=ar/2+br/2+cr/2=r(a+b+c)/2となります。ここで半周長s=(a+b+c)/2を使えばS=rsです。

S=rsをrについて解けば、r=S/sです。また、sを使わず周長で表すならr=2S/(a+b+c)となります。この2つは同じ式です。問題で半周長sがすでに与えられていればS/s、3辺と面積が見えていれば2S/(a+b+c)を使うと、途中計算を短くできます。どちらを選んでも「面積÷半周長」という意味は変わりません。

公式を使う手順は、①面積Sを求める、②半周長sを求める、③r=S/sへ代入する、④元の式S=rsで検算する、の4段階です。例えば面積S=30、3辺の和が20ならs=10なのでr=30/10=3。検算するとrs=3×10=30で元の面積と一致します。ここで周長20をそのまま分母にすると30/20=1.5となり、正しい半径の半分になってしまいます。

分かっている値	使う形	計算	半径r
S=30、s=10	r=S/s	30÷10	3
S=30、周長=20	r=2S/周長	60÷20	3
S=12、3辺が5・5・6	r=2S/(a+b+c)	24÷16	3/2

内接円の公式では、大文字Sが三角形全体の面積、小文字sが半周長、小文字rが半径です。英字の形が似ているため、答案では「S=面積」「s=半周長」と最初に日本語で書くと安全です。特にヘロンの公式もsを使うため、半周長を一度計算してから面積と半径の両方に再利用すると、同じ足し算を繰り返さずに済みます。

3辺だけで内接円の半径を求める｜ヘロンの公式と例題

3辺a・b・cだけが分かる一般の三角形では、まず半周長s=(a+b+c)/2を求め、ヘロンの公式S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}で面積を出します。そのSをr=S/sへ代入すれば半径が求まります。2つの公式をまとめると、r=√{(s-a)(s-b)(s-c)/s}です。ただし、途中点を示しやすく計算ミスも見つけやすいため、答案ではs→S→rの順に分けて書くことを勧めます。

例題1：3辺が13・14・15の三角形

3辺が13、14、15なら、半周長はs=(13+14+15)/2=21です。ヘロンの公式からS=√{21×(21-13)×(21-14)×(21-15)}=√(21×8×7×6)です。積は7056で、√7056=84なのでS=84。したがってr=S/s=84/21=4です。検算はrs=4×21=84となり、ヘロンの公式で求めた面積へ戻ることを確認します。

例題2：3辺が5・5・6の二等辺三角形

3辺が5、5、6ならs=8です。ヘロンの公式よりS=√{8×3×3×2}=√144=12なので、r=12/8=3/2です。この三角形では底辺6の半分が3、斜辺が5の直角三角形を作れるため、高さは4です。底辺×高さ÷2でもS=6×4/2=12となり、半径3/2と一致します。二等辺三角形では高さを使う別解が短いこともあるため、平方数が見えるか確認してください。

3辺	半周長s	面積S	内接円の半径r
13・14・15	21	84	4
5・5・6	8	12	3/2
3・4・5	6	6	1
6・8・10	12	24	2

ヘロンの公式の仕組みや平方根の整理を詳しく復習したい場合は、ヘロンの公式の証明と使い方を参照してください。内接円の問題では、ヘロンで面積を出した後に必ずsで割るところまでが一連の解答です。面積Sを求めただけで終わらないよう、問題の最終目標へ印を付けましょう。

面積・高さ・2辺と角が分かるときの求め方

面積Sが与えられている問題は最も直接的です。例えばS=24、3辺が6・8・10なら、s=(6+8+10)/2=12なのでr=24/12=2です。面積が与えられていても、半周長を出すには3辺の長さが必要です。面積だけ、または底辺と高さだけでは一般に周長が一意に決まらないため、内接円の半径も一つには定まりません。足りない辺を求める条件があるか確認してください。

2辺とその間の角が分かる例題

b=3、c=4、その間の角A=90°とします。まず余弦定理で対辺aを求めると、a²=3²+4²-2×3×4×cos90°=25なのでa=5です。面積はS=(1/2)bc sinA=(1/2)×3×4×1=6。半周長はs=(3+4+5)/2=6です。したがってr=S/s=6/6=1となります。直角三角形なので、後で扱うr=(3+4-5)/2=1でも確認できます。

一般に、2辺b・cとその間の角Aが分かるときは、余弦定理でa=√(b²+c²-2bc cosA)を作ります。面積はS=bc sinA/2、半周長はs=(a+b+c)/2なので、r=bc sinA/(a+b+c)です。この形を使えばSとsを別々に書く手間を短くできますが、答案ではaを求めた途中式を残し、どの3辺で周長を作ったかを明確にしてください。

座標が与えられる例題

A(0,0)、B(6,0)、C(0,8)なら、AB=6、AC=8、BC=10の直角三角形です。座標軸に沿う2辺を底辺と高さにしてS=6×8/2=24、s=(6+8+10)/2=12、よってr=2です。一般の3点では各辺を2点間距離で求め、面積を座標の行列式の絶対値の半分で求めてからr=S/sへ進みます。座標問題でも内接円専用の新しい公式が必要なのではなく、Sとsの作り方が変わるだけです。

与えられた条件	面積Sの作り方	半周長sの作り方	注意点
Sと3辺	与えられたS	(a+b+c)/2	最短パターン
底辺・高さ・3辺	底辺×高さ/2	(a+b+c)/2	高さだけでは周長不足
2辺b,cと間の角A	bc sinA/2	余弦定理でaを補う	間の角か確認
3頂点の座標	行列式または底辺×高さ/2	距離公式で3辺	絶対値を取る

直角三角形・正三角形・二等辺三角形の時短公式

直角三角形で2つの直角辺をx・y、斜辺をzとすると、内接円の半径はr=(x+y-z)/2です。面積はxy/2、半周長は(x+y+z)/2なので、r=xy/(x+y+z)。三平方の定理z²=x²+y²を使うと(x+y-z)(x+y+z)=(x+y)²-z²=2xyとなり、r=(x+y-z)/2へ変形できます。

直角三角形の例：6・8・10

直角辺が6と8、斜辺が10ならr=(6+8-10)/2=2です。一般公式でもS=6×8/2=24、s=(6+8+10)/2=12なのでr=24/12=2となります。専用公式は計算が短い一方、斜辺zを間違えると使えません。最長辺が斜辺であり、x²+y²=z²を満たすことを先に確認してください。

正三角形の例：1辺が6

正三角形の1辺をaとすると、高さはa√3/2、面積はa²√3/4、半周長は3a/2です。したがって内接円の半径はr=a√3/6。1辺が6ならr=√3です。正三角形では内心・外心・重心・垂心が同じ点に重なりますが、内接円の半径r=a√3/6と外接円の半径R=a√3/3は異なり、R=2rです。

二等辺三角形の例：等しい辺5、底辺6

等しい辺が5、底辺が6なら、高さは底辺を3ずつに分けるため√(5²-3²)=4です。面積S=6×4/2=12、半周長s=8、よってr=3/2です。一般に等しい辺をl、底辺をb、高さをh=√(l²-b²/4)とすれば、r=bh/(2l+b)です。ただし式を丸暗記するより、高さ→面積→半周長の順を再現できる方が、記号が変わる問題にも対応できます。

三角形	分かりやすい面積	半径の短い形	例
直角三角形	xy/2	(x+y-z)/2	6・8・10なら2
正三角形	a²√3/4	a√3/6	a=6なら√3
二等辺三角形	bh/2	bh/(2l+b)	5・5・6なら3/2
一般三角形	ヘロンまたはbc sinA/2	S/s	条件に応じて選択

特殊公式はr=S/sと別の原理ではなく、図形の対称性や三平方の定理を使って短くした形です。公式を忘れたときは、直角三角形なら面積=2辺の積÷2、正三角形なら高さ=a√3/2、二等辺三角形なら頂点から底辺への高さで2分するところへ戻れば復元できます。

条件別の解法判断・練習問題・よくあるミス

初見問題では、計算より先に条件を分類します。面積Sが直接あるなら周長を作る、3辺だけならヘロン、2辺と間の角なら余弦定理と三角比、直角・正三角形・二等辺なら短縮公式を検討します。どのルートでも最後はr=S/sまたはr=2S/(a+b+c)へ合流します。公式名を思い出すのではなく、「面積と周長のどちらが足りないか」を判断することが最初の一手です。

練習問題	条件分類	計算の要点	答え
1	S=20、3辺4・7・9	s=10、r=20/10	2
2	3辺13・14・15	ヘロンでS=84、s=21	4
3	直角辺5・12、斜辺13	(5+12-13)/2	2
4	正三角形の1辺12	12√3/6	2√3
5	二等辺5・5・6	高さ4、S=12、s=8	3/2

練習問題1〜3の解説

問題1はs=(4+7+9)/2=10なのでr=20/10=2です。面積が最初からあるため、ヘロンを使う必要はありません。問題2は前章のとおりs=21、S=84、r=4。問題3は直角三角形の短縮公式でr=(5+12-13)/2=2です。一般公式でもS=30、s=15なのでr=2となり、答えを確認できます。

練習問題4〜5の解説

問題4は正三角形なのでr=a√3/6=12√3/6=2√3です。問題5は底辺6を半分にすると3、高さは√(5²-3²)=4です。S=12、s=8からr=3/2。どちらもヘロンの公式で解けますが、対称性から高さがすぐ出るため、特殊三角形として処理する方が計算量を減らせます。

よくある誤答は、①周長をsだと思う、②面積Sを求めて終了する、③外接円のRと混同する、④ヘロンでs-aなどの引き算を誤る、⑤2辺と角だけで3辺目を求めず周長を作る、⑥直角三角形で斜辺を取り違える、の6種類です。答え合わせでは正解だけを写さず、誤答をこの6分類のどれかへ記録してください。原因が分かれば、次に見直す行が具体的になります。

途中式を残す方法に迷う場合は、数学ノートの取り方と間違い直しを参考に、左に図と条件、中央にSとsの計算、右に検算と誤答原因を分けてください。内接円の問題は計算結果よりも、面積と半周長へ条件を整理する過程を再現できるかが重要です。

数学I・Aの図形問題は「普通の対策」では受からない

結論から言います。内接円の半径を含む数学I・Aの図形問題を、公式の暗記と週末のまとめ解きだけで済ませる「普通の対策」では、大学受験で安定して得点し、志望校に受かるのは厳しいです。r=S/sを知っていることと、問題文の条件から面積・3辺・半周長を正しい順番で作り、誤答をその日のうちに修正できることは別の能力だからです。

この記事だけでも、3辺からヘロンを使う問題、2辺と間の角から余弦定理を経由する問題、座標から距離と面積を作る問題、直角・正三角形・二等辺三角形の短縮問題がありました。誤答原因も、周長と半周長、Sとs、内接円と外接円、ヘロンの引き算、斜辺の選択と複数です。授業で一度理解しても、条件の異なる問題を毎日分類して解かなければ、試験時間内の判断には変わりません。

独学・参考書のみでは解法の偏りを自分で発見しにくい

独学や参考書だけでも、r=S/sやヘロンの公式は学べます。しかし、自分が毎回周長をそのまま分母にする、特殊三角形でも長い一般公式を選ぶ、面積を出したところで止まる、といった癖を客観的に集計するのは簡単ではありません。情報を得ても翌日の問題数や復習順序が変わらなければ限界①に当たり、解き直し日を本人任せにすれば限界③も残ります。

映像授業・アプリだけでは個別の途中式を追跡できない

映像授業や学習アプリは、内心から垂線を下ろしてS=rsを導く図を理解する助けになります。一方で、視聴完了と、3辺・角・座標の異なる問題を自分で分類できることは同じではありません。標準化された解説は、生徒固有の「s-aの転記ミス」や「外接円Rとの混同」を毎日追跡し、翌日の課題へ反映するわけではないため、限界①と②が残ります。

集団授業の大手予備校では個人別の反復量になりにくい

集団授業の大手予備校は、図形の性質や三角比を体系的に教えます。しかし授業はクラス全体の進度で進むため、ある生徒には公式証明の復習が多すぎ、別の生徒にはヘロンや座標問題の反復が不足することがあります。全員同じ課題では個別の誤答分布に合わせにくく限界②に、授業外の解き直しを本人へ委ねれば限界③に当たります。

一般的な個別指導塾でも週1回では修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、面談や授業が週1回だけなら、月曜日に起きた半周長のミスを次の授業まで持ち越す可能性があります。その間に同じ誤りを別の問題へ広げると、修正の負担は増えます。教材や進度が定型なら個別の解法選択へ十分合わせられず限界②、確認間隔が長ければ限界③を超えられません。

したがって必要なのは、新しい公式の説明だけではありません。答案ごとの誤答を基に、その日に解く問題の型と数を決め、毎日の実行を確認し、毎週のテストで定着を測って計画を修正する仕組みです。独学・映像授業・集団授業・一般的な個別指導を消去法で外すと、この条件を一体で満たす選択肢は、だから鬼管理専門塾しかない、という結論になります。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を受けた時間ではなく、志望校合格に必要な勉強を毎日実行し、定着まで確認できたかを管理します。内接円の半径のように、定義・条件分類・公式選択・計算・解き直しが連続する単元へ、公式サイトで確認できる次の6つの特徴を接続します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

内接円の半径なら、「r=S/sの直接代入を3題、ヘロンを使う3辺問題を3題、直角三角形の短縮問題を2題」のように、その日に解く型と題数まで明確にします。曖昧な数学学習を、手を動かす具体的な課題へ変えます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

周長と半周長を混同する生徒、面積公式で止まる生徒、図形の特殊性を見落とす生徒では必要な演習が違います。答案と得点状況から原因を分け、公式証明・条件分類・計算練習の比率を生徒ごとに調整します。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

毎日の進捗で予定した問題を解けたか確認し、毎週の確認テストで、条件から面積と半周長を自力で作れるかまで測ります。基準に届かなければ追加課題を出し、翌週の計画を修正して同じ誤答の放置を防ぎます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

採用率0.6%の専属講師陣が、答えだけでなく、Sとsの整理、ヘロンの代入、検算のどの段階で判断がずれたかを具体的に切り分けます。講師満足度アンケート回答1,524件を公開する体制の下で、数学I・Aの基礎から入試問題への接続まで支援します。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースがあるため、内心を学ぶ基礎段階から共通テストや個別試験を見据えた大学受験まで、目標と現在地に合う計画の中へ図形問題の反復を位置付けられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

学習中に「3辺ならヘロンか高さか」「この値をsとしてよいか」と迷ったときはLINEで質問できます。入会前はZoomで保護者同席もできる無料説明会や資料請求を利用し、現在の答案と学習時間から必要な管理内容を相談できます。

鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象や詳細条件は無料説明会で確認してください。まずは無料説明会で、内接円の半径だけでなく、数学I・Aのどの単元で条件整理や公式選択が止まるのか、日々の演習へどう落とし込むかを相談できます。指導の考え方は「鬼管理」とは、実際の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜内接円の半径は面積Sと半周長sを作れば求められる

三角形の内接円の半径を求める基本は、r=S/s=2S/(a+b+c)です。公式の意味は、内心から3辺へ垂線を下ろすと、高さrの小三角形3つに分かれ、面積の合計がS=r(a+b+c)/2=rsになることにあります。記号だけでなく、この面積分割を説明できれば、周長と半周長の取り違えを防げます。

最初は、面積が与えられる問題、3辺問題、2辺と間の角、特殊三角形の4種類を混ぜて解いてください。毎回答案の冒頭に「Sの出し方」と「sの出し方」を1行ずつ書くと、条件分類を反復できます。計算の速さだけでなく、足りない情報を補い、検算まで同じ順序で完了できる再現性を高めることが、定期テストから大学受験まで通用する対策になります。

よくある質問

質問の種類	確認する項目
定義と公式	Q1〜Q3
条件別の求め方	Q4〜Q6
条件不足と検算	Q7〜Q8

Q. 三角形の内接円とは何ですか？

A. 三角形の3辺すべてに接する円です。中心は内心といい、3つの内角の二等分線の交点です。内心から各辺までの垂直距離が内接円の半径rになります。

Q. 内接円の半径を求める基本公式は何ですか？

A. 三角形の面積をS、半周長をs=(a+b+c)/2とするとr=S/sです。周長を直接使うならr=2S/(a+b+c)で、どちらも同じ内容です。

Q. なぜr=S/sになるのですか？

A. 内心から3辺へ垂線を下ろすと、高さr、底辺a・b・cの小三角形3つに分かれます。面積を足すとS=ar/2+br/2+cr/2=rsとなるため、r=S/sです。

Q. 3辺しか分からないときはどう求めますか？

A. 半周長sを求め、ヘロンの公式S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}で面積を出し、r=S/sへ代入します。高さがすぐ出る二等辺・直角三角形なら別解も使えます。

Q. 直角三角形の内接円の半径はどう求めますか？

A. 2つの直角辺をx・y、斜辺をzとするとr=(x+y-z)/2です。一般公式r=S/sと三平方の定理から導けます。

Q. 正三角形の内接円の半径はどう求めますか？

A. 1辺をaとするとr=a√3/6です。外接円の半径はa√3/3で内接円の2倍なので、大文字Rと小文字rを混同しないでください。

Q. 面積だけ分かれば内接円の半径は求められますか？

A. 一般には求められません。r=S/sなので、面積Sに加えて半周長s、つまり3辺の長さやそれらを決められる追加条件が必要です。

Q. 内接円の半径を検算する方法はありますか？

A. 求めたrと半周長sを掛け、rsが元の面積Sに一致するか確認します。特殊三角形では短縮公式と一般公式r=S/sの2通りで同じ値になるかも確認できます。