三乗の公式を完全攻略｜展開・因数分解の覚え方、証明、使い分けと練習問題

三乗の公式で失点する原因は、公式を一つも知らないことより、似た形の公式を取り違えることにあります。本記事では、(a+b)³と(a-b)³の展開、a³+b³とa³-b³の因数分解を最初に一覧化し、それぞれを通常の掛け算、二項定理、因数定理から導きます。さらに符号の覚え方、置き換えの判断、三変数の恒等式、計算を短くする工夫、途中式付きの練習問題まで扱います。公式を暗記するだけでなく、問題の形を見て使う公式を選び、答えを逆向きに検算できる状態を目指しましょう。

三乗の公式一覧｜展開と因数分解を最初に区別する

まず覚える式は四つです。展開の公式は、(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³、(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³です。因数分解の公式は、a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)です。左辺が「括弧全体の3乗」なら展開して4項へ進み、左辺が「三乗された2項の和または差」なら一次式と二次式の積へ戻します。出発点の形が違うため、四つを一列に丸暗記するより二組に分ける方が安全です。

見えている形	使う公式	変形後	見分ける語
(a+b)³	三次の乗法公式	a³+3a²b+3ab²+b³	括弧の三乗
(a-b)³	三次の乗法公式	a³-3a²b+3ab²-b³	括弧の三乗
a³+b³	三乗和の因数分解	(a+b)(a²-ab+b²)	三乗の和
a³-b³	三乗差の因数分解	(a-b)(a²+ab+b²)	三乗の差

例えば(2x-1)³は括弧全体に3乗が付いているので展開の型です。一方、8x³-1は(2x)³-1³と読めるので因数分解の型です。見た目は近くても、前者の答えは4項、後者の答えは(2x-1)(4x²+2x+1)という積になります。問題を見たら、計算を始める前に「括弧の三乗」か「三乗の和・差」かを余白へ書くと、公式選択の事故を防げます。

文部科学省の「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」は、数学IIの「いろいろな式」で三次の乗法公式と因数分解の公式を理解し、式の展開や因数分解に用いることを示しています。公式を唱えるだけではなく、式の形を読み、計算へ使えることが学習の中心です。一次情報は文部科学省の学習指導要領解説で確認できます。

(a±b)³の展開公式｜掛け算と二項定理から証明する

(a+b)³は、(a+b)(a+b)²と考えれば作れます。まず(a+b)²=a²+2ab+b²なので、(a+b)(a²+2ab+b²)を分配します。aを掛けたa³+2a²b+ab²と、bを掛けたa²b+2ab²+b³を同類項でまとめると、a³+3a²b+3ab²+b³です。中央の係数3は、2a²bとa²b、ab²と2ab²をそれぞれ足した結果であり、突然現れた数ではありません。

二項定理で見ると、(a+b)³=3C0a³+3C1a²b+3C2ab²+3C3b³です。3C0=1、3C1=3、3C2=3、3C3=1なので係数は1、3、3、1です。組合せをまだ学んでいない段階では通常の掛け算で十分ですが、学習後は二項定理を使うと、なぜ係数が左右対称なのか、四乗以上へどう拡張するかまで理解できます。

(a-b)³は、(a+(-b))³と見ればプラスの公式から作れます。bを-bへ置き換えると、a³+3a²(-b)+3a(-b)²+(-b)³となります。(-b)²=b²、(-b)³=-b³なので、a³-3a²b+3ab²-b³です。符号はプラス、マイナス、プラス、マイナスと交互になり、第三項はbが二乗されるためプラスへ戻ります。

確認点	(a+b)³	(a-b)³	理由
係数	1, 3, 3, 1	1, 3, 3, 1	二項係数は同じ
符号	すべて正	+, -, +, –	bを-bに置換
各項の次数	すべて3	すべて3	三次式だから
端の項	a³, b³	a³, -b³	最初と最後を確認

例として(2x-3)³を展開します。a=2x、b=3として差の公式へ入れると、(2x)³-3(2x)²·3+3(2x)·3²-3³=8x³-36x²+54x-27です。2xを一つの塊として扱い、(2x)²=4x²、(2x)³=8x³まで括弧を保つのが安全です。最後に各項の次数が3、2、1、0と一つずつ下がること、定数項が-27であることを確認します。

a³±b³の因数分解｜展開・因数定理・整式除法で導く

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)は、右辺を展開すれば確かめられます。aを掛けるとa³+a²b+ab²、-bを掛けると-a²b-ab²-b³です。中央の四項が打ち消し合い、a³-b³だけが残ります。同様に(a+b)(a²-ab+b²)を展開すると、-a²bと+a²b、+ab²と-ab²が消え、a³+b³になります。二次因子の中央符号を一次因子と反対にするのは、交差項を相殺するためです。

因数定理からも公式を導けます。P(x)=x³-b³と置くとP(b)=0なので、x-bで割り切れます。整式の割り算をすると商はx²+bx+b²、余りは0です。よってx³-b³=(x-b)(x²+bx+b²)です。一方、P(x)=x³+b³ではP(-b)=0なのでx+bが因数になり、商はx²-bx+b²です。変数xをaへ戻せば、三乗の和・差の因数分解公式になります。

文部科学省の同解説では、三次の乗法・因数分解公式に加えて、整式の除法と因数定理も数学IIの「いろいろな式」に位置付けられています。公式を因数定理から作る方法は、単なる遠回りではありません。高次式の因数を見つけ、割り算で残りの因子を求める学習へつながります。さらに実践したい場合は、3次式の因数分解と因数定理・組立除法の例題も合わせて確認してください。

三次の展開公式から作る方法

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³の中央二項は3ab(a+b)とまとめられます。したがってa³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)です。右辺から(a+b)をくくると、(a+b){(a+b)²-3ab}=(a+b)(a²-ab+b²)になります。差も(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)を移項して、a³-b³=(a-b)³+3ab(a-b)、さらに(a-b)(a²+ab+b²)を得られます。

元の式	一次因子	二次因子	符号の読み方
a³+b³	a+b	a²-ab+b²	同じ・反対・正
a³-b³	a-b	a²+ab+b²	同じ・反対・正
8x³+27	2x+3	4x²-6x+9	(2x)³+3³
27x³-8	3x-2	9x²+6x+4	(3x)³-2³

8x³+27を因数分解するなら、8x³=(2x)³、27=3³と見抜きます。a=2x、b=3を代入して、(2x+3){(2x)²-(2x)·3+3²}=(2x+3)(4x²-6x+9)です。三乗数を見つける段階で8と27だけに注目せず、変数部分x³も含めて一つの塊を作ることが重要です。逆展開すると8x³と27が残り、x²項とx項が消えるので検算できます。

三乗の公式の覚え方｜係数・指数・符号のミスを防ぐ

展開公式は「係数」「指数」「符号」を別々に覚えます。係数は1、3、3、1です。指数は、aが3、2、1、0と下がり、bが0、1、2、3と上がります。和の公式は全項がプラス、差の公式はプラス、マイナス、プラス、マイナスです。この三層を分ければ、例えば3ab²を書き忘れたとき、係数の問題ではなく項数と指数の並びが崩れたと診断できます。

因数分解公式は「一次因子の符号は元の式と同じ」「二次因子の中央は反対」「末項はプラス」と覚えます。a³+b³なら一次因子はa+b、中央は-ab、末項は+b²です。a³-b³なら一次因子はa-b、中央は+ab、末項は+b²です。特に二次因子全体をa²±ab+b²と一つのまとまりで発声すると、末項をマイナスにする誤りを減らせます。

よくある誤り	誤った式	発見する検算	正しい見方
中央項を消す	(a+b)³=a³+b³	a=b=1を代入	4項へ展開
差の第三項を負にする	a³-3a²b-3ab²-b³	bを-bへ置換	符号は交互
二次因子を同符号にする	(a-b)(a²-ab+b²)	逆展開	中央は反対
係数も三乗する	(2x)³=2x³	2³を計算	(2x)³=8x³
共通因数を見落とす	2x³+16で停止	まず2でくくる	2(x³+8)

数値代入による最短の検算

恒等式の候補が怪しいときは、a=1、b=1やa=2、b=1を代入します。例えば(a-b)³の候補でa=b=1を使うと左辺が0になるため、右辺の符号ミスを発見しやすくなります。ただし一組の代入で一致しても、恒等式の証明にはなりません。代入は誤りを見つける検査であり、正しさの根拠は展開や既知の定理です。

次数と項数による検算

(2x-3)³のような一変数式では、展開後の次数は3、2、1、0と並びます。どの項も、aとbを含む一般式では指数の合計が3です。4項より少なければ同類項を誤ってまとめた可能性があり、5項以上なら未整理です。因数分解では一次式×二次式になり、全体の次数が3へ戻ることを確認します。

恒等式の検算や係数比較を体系的に練習したい場合は、恒等式問題の解き方と係数比較・数値代入も役立ちます。三乗公式を覚える段階から「なぜ同じ式なのか」を意識すると、未定係数を決める問題や整式の割り算へ移ったときも、式変形の根拠を説明できるようになります。

三乗の公式の使い方｜置き換え・計算の工夫・三変数の恒等式

積を先にまとめてから三乗する

(x+2)³(x-2)³を、左右それぞれ4項へ展開してから掛けると計算量が増えます。積の性質A³B³=(AB)³を使えば、{(x+2)(x-2)}³=(x²-4)³です。ここでa=x²、b=4として差の展開公式を使うと、x⁶-12x⁴+48x²-64になります。展開公式を知っていても、すぐ使わず、先に積を簡単にできないかを見ることが重要です。

101³や99³を暗算に近づける

101³は(100+1)³と見れば、100³+3·100²·1+3·100·1²+1³です。したがって1,000,000+30,000+300+1=1,030,301です。99³は(100-1)³として、1,000,000-30,000+300-1=970,299です。差の公式で第三項がプラスになるため、99³の下二桁付近を誤らないよう符号を一項ずつ確認します。

共通因数を先にくくってから因数分解する

2x³+16は、いきなり三乗和の公式へ入れるのではなく、まず共通因数2をくくって2(x³+8)とします。8=2³なので、2(x+2)(x²-2x+4)です。反対に16をそのまま立方数だと見なすと公式へ入れません。共通因数、完全な三乗、公式の順に観察することで、係数を無理に立方根へ変える必要がなくなります。

三変数の公式を二つの因子として読む

三変数では、a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)という恒等式があります。右の二次因子は、1/2{(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²}とも表せます。したがって実数の範囲では、二次因子が0になるのはa=b=cのときです。またa+b+c=0なら左辺は0なので、a³+b³+c³=3abcが直ちに得られます。

この三変数公式は、(a+b+c)³の展開そのものとは別です。(a+b+c)³にはa³、b³、c³のほか、3a²bなどの項と6abcが現れます。一方、上の公式はa³+b³+c³-3abcを因数分解するものです。競合する二つの形を混ぜないよう、左辺が「和全体の三乗」か「三乗の和から3abcを引いた式」かを確認します。

問題の形	最初の工夫	使う公式	結果
(x+2)³(x-2)³	積を先に作る	(AB)³	(x²-4)³
101³	100+1と置く	和の三乗	1,030,301
2x³+16	共通因数2	三乗和の分解	2(x+2)(x²-2x+4)
a³+b³+c³-3abc	和の因子を見る	三変数の恒等式	2因子の積

三乗の公式の解き方5ステップと練習問題

練習問題1｜差の三乗を展開する

a=3x、b=2yとして、a³-3a²b+3ab²-b³を使います。(3x)³-3(3x)²(2y)+3(3x)(2y)²-(2y)³=27x³-54x²y+36xy²-8y³です。各項のxとyの指数の合計が3であり、符号がプラス、マイナス、プラス、マイナスになっていることを確認します。

練習問題2｜三乗の和を因数分解する

27x³=(3x)³、8y³=(2y)³です。a=3x、b=2yとして、a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)を使います。答えは(3x+2y)(9x²-6xy+4y²)です。一次因子はプラス、二次因子の中央はマイナス、末項はプラスです。逆展開すると交差項が打ち消され、27x³+8y³へ戻ります。

練習問題3｜式を先にまとめる

それぞれを展開すると、(x+1)³=x³+3x²+3x+1、(x-1)³=x³-3x²+3x-1です。足すとx²項と定数項が消え、2x³+6x=2x(x²+3)です。二つの式は符号が対称なので、展開前に「偶数回現れる項が残り、反対符号の項が消える」と予想すると、計算後の形を検算できます。

練習問題4｜三変数の恒等式を使う

恒等式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)を使います。条件a+b+c=0を右辺へ代入すると右辺全体が0です。したがって左辺も0で、a³+b³+c³-3abc=0、つまりa³+b³+c³=3abcです。条件を最後に使うのではなく、因数a+b+cが見えた段階で代入するのが最短です。

練習問題5｜因数定理で公式を復元する

P(x)=x³+64=x³+4³と置きます。P(-4)=0なので、因数定理よりx+4が因数です。x³+64をx+4で割ると商はx²-4x+16、余りは0です。よってx³+64=(x+4)(x²-4x+16)です。公式を忘れても、和ならx=-b、差ならx=bを代入して一次因子を見つけ、整式の割り算で二次因子を求められます。

練習	狙い	答えの要点
1	係数を含む差の展開	27x³-54x²y+36xy²-8y³
2	二つの塊の因数分解	(3x+2y)(9x²-6xy+4y²)
3	対称な式の相殺	2x(x²+3)
4	三変数の因子利用	a+b+c=0を代入
5	因数定理で復元	(x+4)(x²-4x+16)

採点するときは正解数だけで終わらせず、誤りを「式の分類」「aとbの置き方」「係数」「指数」「符号」「最後の整理」に分けてください。同じ誤答でも、(3x)³を3x³とした場合と、第三項の符号を誤った場合では必要な復習が違います。翌日は誤った種類だけを2〜3題、数日後は展開と因数分解を混ぜた問題を解くと、公式の再生と選択を別々に確認できます。

三乗の公式対策は「普通の対策」では得点源にならない

結論から言います。公式を一度覚え、同じ形の例題を数問解くだけの「普通の対策」では、三乗の公式を入試の得点源にするのは厳しいです。本記事で見たように、括弧の三乗と三乗の和・差を分類し、2xやx²を塊として置き、共通因数や対称性を見て計算順序を選び、最後に逆展開する必要があります。公式の再生だけでなく、選択・代入・検算まで毎回実行できなければ、式が少し変わった問題で止まります。

特に誤答原因は一人ずつ異なります。係数1・3・3・1を忘れる生徒、(a-b)³の第三項を負にする生徒、a³+b³の二次因子をa²+ab+b²とする生徒、共通因数をくくらず公式が見えない生徒では、翌日に解くべき問題が違います。必要なのは説明を何度も聞くことではなく、答案から原因を特定し、原因別の問題数を決め、数日後も再現できるか確認する仕組みです。

ここで、鬼管理専門塾が示す「従来塾の3つの限界」を使って選択肢を検討します。限界は、①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い、の三つです。出典は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界です。

選択肢① 独学・参考書だけでは誤答原因を見誤りやすい

独学と参考書は自分の速度で例題を増やせますが、①の限界があります。解説を読んで公式を理解しても、自分の誤りが公式暗記、塊の置き方、共通因数、符号、検算のどこにあるかを分類し、翌日の行動へ変えなければ得点は安定しません。全員が人気問題集を同じ順で進めるだけなら、弱点別に変えられない②の限界も残ります。

選択肢② 映像授業・アプリでは視聴と答案作成が分かれる

映像授業やアプリは展開の導出や因数定理を見直すには便利ですが、①の限界が残ります。説明を見て納得することと、初見の8x³+27を見て(2x)³+3³へ直し、正しい符号で因数分解することは別です。視聴後の問題数、解き直す日、検算方法が本人任せなら、得た情報が答案上の行動へ変わりません。

選択肢③ 集団授業の大手予備校では弱点別に変えにくい

集団授業の大手予備校には体系的な講義がありますが、②の限界があります。同じ三乗公式の誤答でも、係数に課題がある生徒、符号に課題がある生徒、公式を選べない生徒がいます。全員が同じ授業と宿題を受けるだけでは、各自の原因に合わせて翌日の問題形式、量、復習間隔を変えにくくなります。

選択肢④ 一般的な個別指導塾でも週1回の外が残る

一般的な個別指導塾で質問できても、③の限界が残ります。週1回の授業中に公式を理解しても、次の授業までの6日間に展開、因数分解、置き換え、因数定理、混合問題を何題ずつ、いつ解き直すかが本人任せなら、定着の遅れをその週のうちに発見して修正できません。変化の速さは授業外の日々の実行で決まります。

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれにも三つの限界のどれかが残ります。答案から誤答原因を分け、翌日の教材・範囲・問題数を指定し、毎日進捗を確認し、週ごとのテストで別の形にも公式を使えるかを修正するところまで求めるなら、消去法で最後に残るのは鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業を聞いて終えるのではなく、志望校と現在地から毎日の行動プランを作り、進捗と定着を確認して修正する仕組みを提供します。公式サイトで確認できる固定六つの特徴を、三乗の公式を含む数学の弱点分析へどう接続できるかに沿って説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を復習する」のような抽象的な指示ではなく、教材、ページ、問題番号、問題数などを1日単位の数値にして、今日やることを明確にします。いつ・どこで・何を・なぜ・どのように行うかまで具体化します（出典：鬼管理専門塾公式「鬼管理」とは）。

三乗の公式なら、展開、因数分解、置き換え、因数定理を同じ日に漠然と解くのではなく、誤答原因に合わせて教材と問題数を指定できます。学習開始時に迷う時間を減らし、公式を選んで答案を書く行動へ直結させます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師が、生徒の現在地、得意・不得意、志望校で必要な科目・配点・形式に合わせて、生徒ごとの個別行動プランを設計します。全員が同じ教材を同じ順で進める一律の計画ではありません（出典：鬼管理専門塾公式「鬼管理」とは）。

三乗公式で失点しても、原因が係数なら短い展開反復、符号なら逆展開、公式選択なら混合問題を優先します。同じ単元名でも必要な練習は違うため、個別行動プランで補強の順序と復習間隔を組み替えられます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

鬼管理専門塾は毎日の進捗を確認し、毎週の確認テストで、課題を「やった」だけでなく定着したかを検証します。基準に届かなければ追加課題を設定し、学習計画を分析・修正します（出典：鬼管理専門塾公式「鬼管理」とは）。

公式を覚えた当日に同じ例題を解けても、数日後の8x³+27で三乗和を選べなければ定着したとは言えません。毎日・毎週の管理と確認テストで、見た目の違う式にも使えるかを測り、弱点が残ればその週に修正します。

❹ 採用率0.6%の専属講師

公式サイトに掲載されている講師の採用率は0.6%です。入会生徒による講師満足度アンケートは1,524件の回答を公開し、専属講師について判断する材料を示しています（出典：鬼管理専門塾公式「講師紹介」「講師満足度アンケート」）。

数学の途中式を見れば、公式を知らないのか、2xを塊にできないのか、符号か、共通因数かを分けられます。専属講師へ答案を共有し、誤答位置から次の課題を具体化することで、同じ例題だけを繰り返す状態を避けやすくなります。

❺ 大学受験・英語資格までの専門コース

大学受験は大学特化・学部特化に加え、総合型選抜・推薦入試、高校受験の専門コースを展開しています。英語資格は英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPに対応する専門コースがあります（出典：鬼管理専門塾公式「コース一覧」）。

三乗の公式をどこまで練習するかは、志望校の出題範囲、数学の配点、他単元の完成度、残り期間で変わります。大学受験の方式や学部に合わせた専門コースで、一公式だけに偏らず、合格に必要な課題全体の中へ配置できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

授業がない日も公式LINEで質問でき、入会前には無料説明会と資料請求で指導内容を確認できます。無料説明会は生徒と保護者向けに用意され、オンライン受講の場合はZoomで行い、保護者も同席できます（出典：鬼管理専門塾公式「よくある質問」「無料説明会」）。

三乗公式の途中式でどこから分からなくなったかを答案の画像とともに質問し、次に戻る教材を確認できます。無料説明会では数学答案、模試の分野別結果、使用教材、学習可能時間を示し、日次計画がどう変わるかを確認してください。

鬼管理専門塾の大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象と利用条件は、公式の1カ月返金保証制度ページと無料説明会で必ず確認してください。この保証は大学受験コースが対象で、英検・TOEIC・TOEFL・IELTSなどの英語資格対策コースは対象外です。

指導の考え方は「鬼管理」とは？で、実際の進学結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。合格実績は個々の合格を保証するものではありません。自分の答案と学習時間を示し、管理方法、コース、費用、自分との相性を無料説明会で確かめてから判断してください。

まとめ｜三乗の公式は形を見分け、復元と検算まで身につける

要点	結論
和の三乗	(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
差の三乗	(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
三乗の和	a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
三乗の差	a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
展開の覚え方	係数1・3・3・1、指数は逆向きに増減
因数分解の覚え方	同じ・反対・正
忘れたとき	二乗公式または因数定理から復元
計算の工夫	共通因数・置き換え・積のまとめを先に確認

三乗の公式は、括弧全体の三乗を4項へ展開する二式と、三乗の和・差を一次式と二次式の積へ戻す二式に分けます。展開は係数1、3、3、1、aとbの指数の逆向きの増減、差の場合の交互符号を確認します。因数分解は一次因子が元と同符号、二次因子の中央が反対符号、末項がプラスという「同じ・反対・正」で整理できます。

公式を忘れても、展開は(a±b)(a±b)²まで戻り、因数分解は因数定理と整式の割り算から作り直せます。二項定理を学んだ後は係数1、3、3、1を組合せとして説明できます。さらに三変数では、a³+b³+c³-3abcをa+b+cと二次式の積へ因数分解でき、a+b+c=0という条件を短く使えます。

実際の問題では、公式をすぐ適用する前に、共通因数をくくれるか、積を先にまとめられるか、複雑な部分を一つの塊へ置き換えられるかを確認してください。最後は数値代入または逆展開で検算します。誤答は公式全体を覚え直すのではなく、分類、係数、指数、符号、置き換え、整理のどこで崩れたかを特定し、その原因に合う問題を翌日と数日後に解き直しましょう。

よくある質問

Q. 三乗の公式には何がありますか？

A. (a+b)³と(a-b)³を4項へ展開する二式、a³+b³とa³-b³を二つの因子へ因数分解する二式が基本です。まず括弧全体の三乗か、二つの三乗の和・差かを見分けます。

Q. (a-b)³の符号はどう覚えますか？

A. a³-3a²b+3ab²-b³と、プラス・マイナス・プラス・マイナスが交互になります。(a+(-b))³と考えると、bの奇数乗は負、偶数乗は正になる理由も確認できます。

Q. a³+b³の因数分解の符号はどう覚えますか？

A. (a+b)(a²-ab+b²)です。一次因子は元の式と同じ符号、二次因子の中央は反対、末項は正という「同じ・反対・正」で覚えます。

Q. a³-b³はどのように因数分解しますか？

A. (a-b)(a²+ab+b²)です。差なので一次因子はa-b、二次因子の中央は反対のプラス、末項はプラスです。展開して交差項が消えるか検算できます。

Q. 三乗の公式を忘れたらどうすればよいですか？

A. 展開は(a±b)(a±b)²まで戻って分配します。因数分解は、a³-b³ならa=b、a³+b³ならa=-bで0になることから一次因子を見つけ、整式の割り算で二次因子を求めます。

Q. 二項定理と三乗の公式はどう関係しますか？

A. 二項定理でn=3とすると、二項係数3C0、3C1、3C2、3C3が1、3、3、1になり、(a+b)³の展開公式が得られます。差はbを-bへ置き換えます。

Q. (a+b+c)³と三変数の因数分解公式は同じですか？

A. 別の式です。(a+b+c)³は和全体の三乗を展開する式です。a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)は、特定の三次式を因数分解する恒等式です。

Q. 三乗の公式の計算ミスを減らす方法はありますか？

A. 計算前に展開か因数分解かを分類し、aとbを塊で置きます。計算後は各項の次数、展開の項数、符号を確認し、簡単な数の代入または逆展開で元の式へ戻るか検算してください。