重解を持つとは？意味・判別式D=0・求め方を例題でわかりやすく解説

「重解を持つ」とは、方程式を因数分解したときに同じ因数が二回以上現れることです。二次方程式では、二つあるはずの解が同じ値に重なった状態を指します。この記事では、重解の意味を最初に図で整理し、判別式D=0を使う求め方、因数分解・平方完成・グラフとの関係、文字を含む係数決定問題、高次方程式の重解までを例題つきで解説します。最後に、条件の読み替えから検算までを一人で再現できる練習手順もまとめます。

重解を持つとは？まず意味を一言で理解しよう

方程式P(x)=0で、P(x)がP(x)=(x-a)²Q(x)と因数分解でき、Q(a)≠0であるとき、x=aは二重解です。たとえばx²-6x+9=0は(x-3)²=0と変形できるので、x=3を二回もつ方程式だと考えます。答案では「x=3（重解）」と一つだけ書くのが普通ですが、次数を数えるときは3, 3という二つの解が重なっています。

因数分解した形	解	呼び方	次数の数え方
(x-2)(x+5)=0	x=2, -5	異なる2解	1回ずつ
(x-2)²=0	x=2	二重解・重解	x=2を2回
(x+1)³=0	x=-1	三重解	x=-1を3回
(x-4)²(x+3)=0	x=4, -3	4が二重解	4を2回、-3を1回

「解が一つしかない」と「重解」は同じではありません。一次方程式2x-4=0も解はx=2の一つですが、因数x-2は一回しか現れないため重解ではありません。また、実数の範囲でx²+1=0は解をもちません。見えている解の個数ではなく、同じ因数が何回掛かっているかを見るのが本質です。

重解・共有解・同じ解の違い

重解と似た言葉に「共有解」があります。重解は一つの方程式の中で同じ因数が重なること、共有解は二つ以上の方程式が共通してもつ解のことです。たとえば(x-2)²=0ではx=2が重解です。一方、x²-4=0とx²-3x+2=0はどちらもx=2を解にもつので、2は二式の共有解です。ただし、前者の式でx=2は一回しか因数に現れないため重解ではありません。

「二つの解が等しい」という表現も、二次方程式の文脈では重解を意味します。解をα、βと置いたとき、α=βなら、左辺はa(x-α)(x-β)=a(x-α)²です。問題文が「重解」という語を使わず、「二つの実数解が一致する」「ただ一つの実数解をもつ」と書く場合にも、二次方程式であることを確認したうえでD=0へ読み替えられます。

重解を二回と数える理由

多項式の次数と解の個数を対応させるため、解は重複込みで数えます。(x-3)²を展開すれば二次式であり、(x-3)(x-3)という二つの一次因数からできています。見た目の値は3の一種類でも、二次式を構成する因数は二個です。この数え方を身につけると、三次式(x-1)²(x+4)の解が「1、1、-4」の三個であることも自然に理解できます。

二次方程式で重解を求める方法｜判別式D=0を使う

二次方程式ax²+bx+c=0（a≠0）の判別式はD=b²-4acです。D>0なら異なる二つの実数解、D=0なら重解、D<0なら実数解をもちません。金沢工業大学の数学教材でも、この三つの場合分けと、D=0のときの解x=-b/(2a)が示されています。問題文に「重解を持つ」とあれば、まずD=0を条件式として立てるのが基本です。

例題1｜x²-6x+9=0の重解を求める

a=1、b=-6、c=9なので、D=(-6)²-4×1×9=36-36=0です。したがって重解をもち、x=-b/(2a)=6/2=3となります。因数分解してもx²-6x+9=(x-3)²ですから、x=3が二回重なっていると確認できます。

例題2｜2x²+4x+k=0が重解をもつkを求める

a=2、b=4、c=kと読み取ります。重解条件からD=4²-4×2×k=16-8k=0です。よってk=2。このとき方程式は2x²+4x+2=2(x+1)²=0となり、重解はx=-1です。kを出しただけで終わらず、代入後に平方の形になることまで確かめると、符号や係数の転記ミスを発見できます。

xの係数が2bの形、つまりax²+2bx+c=0なら、D/4=b²-acを使うと計算が短くなります。ただし、元のx係数をそのままbと取り違えないようにします。たとえば3x²+6x+k=0では2b=6なのでb=3、D/4=3²-3k=0からk=3です。通常のDを使っても同じ答えになります。

解の公式からD=0を導く

解の公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)で、根号の中が判別式Dです。D>0なら√Dは正なので、「+√D」と「-√D」は異なる値を作ります。D=0なら√D=0で、プラス側もマイナス側もx=-b/(2a)に一致します。D<0では実数の範囲で平方根をとれません。この順にたどれば、Dの符号と実数解の種類を表ごと暗記する必要はありません。

答案では、判別式を定義せず突然D=0とだけ書くより、「D=b²-4acとすると、重解をもつ条件はD=0」と一度書くと論理が明確です。文字を含む問題では、D=0から得た候補を元の条件へ戻して、最高次係数が0でないか、指定された定数の範囲に入るかも確認します。

判別式そのものを詳しく復習したい人は、内部記事の判別式DとD/4の使い分け・解の個数の判定も確認してください。D=0だけを暗記するのではなく、Dの符号と解の公式の根号部分が対応していると理解すると定着します。

因数分解・平方完成・グラフで重解を見抜く

重解は、判別式だけでなく因数分解・平方完成・グラフの三方向から確認できます。二次方程式が重解rをもつなら、左辺はa(x-r)²と書けます。二次関数y=ax²+bx+cとして見ると、グラフはx=rでx軸に接します。異なる二つの実数解が二つの交点に対応するのに対し、重解では二つの交点が同じ場所に重なるからです。

平方完成からD=0を読み取る

ax²+bx+cを平方完成すると、a{x+b/(2a)}²-D/(4a)となります。D=0なら定数部分が消え、a{x+b/(2a)}²=0です。したがってx=-b/(2a)が重解になります。解の公式で±√Dが±0になり、プラス側とマイナス側の解が同じ値になることも、同じ事実を別の形で表しています。

見方	重解条件	読み取れること
判別式	D=b²-4ac=0	解の種類を短く判定できる
因数分解	a(x-r)²=0	重解rと重なり回数が見える
平方完成	頂点のy座標が0	重解r=-b/(2a)が見える
グラフ	放物線がx軸に接する	重解が接点のx座標だと分かる

解と係数の関係から重解を確認する

二次方程式ax²+bx+c=0の二つの解をα、βとすると、α+β=-b/a、αβ=c/aです。重解ならα=β=rなので、2r=-b/a、r²=c/aです。前者からr=-b/(2a)が得られ、後者へ代入するとb²/(4a²)=c/a、すなわちb²-4ac=0になります。解と係数の関係からも、重解・重解の値・D=0が同時に導けます。

この見方は「重解をrとするとき、係数の条件を求めよ」という問題で有効です。たとえばx²+px+q=0が重解rをもつなら、p=-2r、q=r²です。逆にp²=4qであればD=p²-4q=0となり、重解をもちます。文字の数が増えたとき、判別式を大きく展開する代わりに、和と積へ分けて考えられます。

放物線と直線が接する問題も重解に直せる

放物線y=x²と直線y=2x+kが接するkを求めます。二式を連立してx²=2x+k、すなわちx²-2x-k=0を作ります。接するとは交点のx座標が一種類だけになることなので、この二次方程式が重解をもつ条件を使います。D=(-2)²-4×1×(-k)=4+4k=0よりk=-1。方程式は(x-1)²=0となり、接点は(1,1)です。

重解を持つように係数・定数を決める頻出問題

文字を含む問題では、いきなり判別式を展開するより、「何を未知数として解くのか」「二次方程式の係数は何か」を一行で整理します。特にaにも文字が含まれるときは、a=0になる値を除外しなければなりません。二次方程式という前提はa≠0を含むため、D=0だけでは条件不足になることがあります。

例題1｜x²-2mx+m+3=0が重解をもつm

a=1、b=-2m、c=m+3です。D=(-2m)²-4×1×(m+3)=4m²-4m-12=4(m²-m-3)です。ここでm²-m-3を(m-3)(m+1)と因数分解したくなりますが、(m-3)(m+1)=m²-2m-3であり一致しません。ここで「整数の答えになるはず」と決めつけず、D=4(m²-m-3)までを正しい式として解きます。

正しくはD=4m²-4(m+3)=4(m²-m-3)です。よってm²-m-3=0から、m=(1±√13)/2。重解はx=-b/(2a)=mなので、各mに対してx=(1±√13)/2が重解です。この例のように、「きれいな整数になるはず」と思い込んで無理に因数分解しないことが重要です。解の公式をためらわず使いましょう。

重解はx=-b/(2a)=mなので、m=(1+√13)/2のとき重解も(1+√13)/2、m=(1-√13)/2のとき重解も(1-√13)/2です。元の方程式でm²=m+3が成り立つことを使うと、x²-2mx+m+3=x²-2mx+m²=(x-m)²となり、二つの候補がどちらも本当に重解条件を満たすと一行で検算できます。

例題2｜kx²+4x+1=0が重解をもつk

二次方程式なので、最初にk≠0が必要です。判別式D=4²-4×k×1=16-4k。D=0からk=4で、k≠0も満たします。重解はx=-4/(2×4)=-1/2です。もしD=0からk=0が出た場合は、その値を代入すると二次方程式ではなくなるため除外します。

例題3｜重解が2だと分かっている三次方程式

P(x)=x³+ax²+bx-4がx=2を重解にもつとします。重解2をもつなら(x-2)²が因数です。残りをx-cと置き、P(x)=(x-2)²(x-c)と表します。定数項は(-2)²(-c)=-4c=-4なのでc=1。展開すると(x²-4x+4)(x-1)=x³-5x²+8x-4ですから、a=-5、b=8と求まります。

重解の値が既知なら、判別式よりも平方因数を直接置く方法が速い場合があります。二次方程式だけでなく、高次方程式でも「x=rが重解」から(x-r)²を因数にもつと読み替えるのが共通ルールです。

三次・高次方程式の重解｜多重度と導関数で判定する

三次以上の方程式でも、重解の意味は同じです。P(x)=(x-a)ᵐQ(x)、Q(a)≠0と書けるとき、x=aは多重度mの解です。たとえばP(x)=(x-1)²(x+2)ならx=1が二重解、x=-2が単純解です。次数は2+1=3で、重複を含めた解の個数と一致します。

P(x)とP'(x)の共通解が重解になる

多項式P(x)=0がx=aを重解にもつなら、P(x)=(x-a)²Q(x)と書けます。微分するとP'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)²Q'(x)なので、x=aを代入するとP(a)=0かつP'(a)=0です。逆にP(a)=P'(a)=0なら、因数定理を使って(x-a)²がP(x)の因数であることを示せます。東京女子大学の資料でも、重解の条件をP(x)とP'(x)の共通解として説明しています。

確認したいこと	使う条件	向いている場面
二次方程式の重解	D=0	係数から解の種類を判定
既知の値aが重解か	P(a)=0かつP'(a)=0	候補を代入して確認
未知の重解を探す	PとP’の共通解	三次以上・因数分解困難
三重解か確認	P=P’=P”=0	多重度を一段深く判定

例題｜P(x)=x³-3x²+4がもつ重解

P'(x)=3x²-6x=3x(x-2)なので、共通解の候補はx=0またはx=2です。P(0)=4で0ではなく、P(2)=8-12+4=0なのでx=2が重解です。実際にP(x)を因数分解するとP(x)=(x-2)²(x+1)となり、x=2は二重解、x=-1は単純解です。

二次方程式に対してPとP’の共通解を求めても、結果はD=0と一致します。判別式は二次方程式の重解判定を一行で行える便利な形であり、導関数による考え方は高次方程式へ拡張しやすい方法です。より詳しい多重度・導関数の扱いは、内部記事の重解・高次方程式の頻出問題ガイドでも段階的に解説しています。

多重度の偶数・奇数とグラフの通り方

実数係数の多項式関数では、偶数重解の前後で因数(x-a)ᵐの符号が変わらないため、グラフはx軸に触れて同じ側へ戻ります。二重解が典型です。奇数重解では符号が変わるため、グラフはx軸を横切ります。ただし三重解では接線が水平になることもあり、「横切るが平らに見える」という形になります。

この違いは、因数の指数だけで判断できます。P(x)=(x-1)²(x+2)ではx=1の前後で(x-1)²は常に0以上なので、x=1でx軸に触れて戻ります。P(x)=(x-1)³ではx=1の前後で符号が変わるため、x軸を横切ります。グラフ問題では「接する=必ず二重解」と狭く覚えず、偶数多重度なら接し、奇数多重度なら横切ると整理しましょう。

重解問題の解き方5ステップ｜よくあるミスと練習問題

重解問題で失点する原因は、難しい公式よりも条件の読み替え不足と計算ミスです。次の5ステップを答案の型にすると、二次方程式・接線・高次方程式のどの形式でも手順を再現できます。

よくあるミス1｜bの符号と4acを落とす

x²-6x+k=0ではb=-6です。b²では符号が消えますが、解x=-b/(2a)では-b=6になります。またD=b²-4acの4、a、cのどれかを落とすと、定数が丸ごと変わります。a・b・cを一度横に書いてから代入しましょう。

よくあるミス2｜D=0で定数を出して終わる

D=0から得た定数が正しいとは限りません。因数分解の途中ミス、二次方程式でなくなる値、問題文の定義域違反があり得ます。定数を元の式に戻し、a(x-r)²の形になるかを見ることが最も強い検算です。

練習問題1｜x²+8x+k=0が重解をもつ

D=8²-4k=64-4k=0よりk=16です。このときx²+8x+16=(x+4)²なので、重解はx=-4。平方完成(x+4)²+k-16=0からも、重解条件k-16=0を得られます。

練習問題2｜y=x²-4x+5と直線y=kが接する

連立してx²-4x+5-k=0。D=(-4)²-4(5-k)=16-20+4k=4k-4=0よりk=1です。平方完成するとy=(x-2)²+1なので、頂点(2,1)で直線y=1と接すると視覚的にも確認できます。

練習問題3｜x³-3x+2=0の重解

整数解候補を代入するとP(1)=0です。割り算または因数定理でP(x)=(x-1)(x²+x-2)=(x-1)²(x+2)となります。したがってx=1が二重解、x=-2が単純解です。導関数P'(x)=3x²-3へx=1を代入して0になることでも重解を確認できます。

練習問題4｜x²+(k-1)x+k=0が重解をもつ

D=(k-1)²-4k=k²-6k+1です。D=0よりk=3±2√2。重解はx=-(k-1)/2なので、k=3+2√2のときx=-1-√2、k=3-2√2のときx=-1+√2です。答えが無理数でも、D=0へ正しく帰着できていれば問題ありません。整数にしたい思い込みで式を変形しないことが大切です。

練習問題5｜y=x²+2x+3とy=mx+1が接する

連立してx²+(2-m)x+2=0を得ます。接する条件はD=(2-m)²-8=0なので、2-m=±2√2、m=2∓2√2です。各mに対する接点のx座標は重解x=-(2-m)/2=(m-2)/2で求められます。傾きmが二通り出るのは、一つの点を通る直線が放物線の左右それぞれで接する場合があるためです。

1週間で重解を定着させる復習計画

1日目は定義・因数分解・D=0の基本問題、2日目は文字入りの係数決定、3日目は平方完成とグラフ、4日目は放物線と直線の接線、5日目は三次方程式と導関数へ進みます。6日目は間違えた問題だけを解答を隠して解き直し、7日目は分野を混ぜた確認テストを行います。

確認テストでは「どの公式を使うか」を問題文に書かず、重解・共有点一個・接する・同じ解をもつなど、表現を変えた問題を混ぜます。正答したかだけでなく、条件式を自分で選べたか、途中式に根拠を書けたか、別の方法で検算できたかを記録すると、暗記から応用へ進んだかを判断できます。

答え合わせでは正解より「条件の選び方」を見る

重解の学習では、最終的な数値が合ったかだけで採点すると弱点を見逃します。最初に二次方程式へ整理できたか、最高次係数を確認したか、重解条件をD=0・平方因数・共有解のどれで表したか、定数を戻して検算したかを一行ずつ確認してください。偶然正解していても根拠が書けなければ、次に表現が変わったとき再現できません。

誤答は「知識不足」「条件の読み替え」「式の整理」「計算」「検算不足」の五つに分類すると復習しやすくなります。知識不足なら定義へ戻り、読み替えで失敗したなら似た問題を表現違いで並べ、計算ミスなら途中式の書き方を固定します。検算不足なら、Dで解いた問題を因数分解でも確認するというように、誤りの種類と次の行動を一対一で結びます。

数学Iの基本から数学IIの高次方程式へつなげる

重解の基本は、数学Iで学ぶ二次方程式と二次関数の対応にあります。解の公式、判別式、平方完成、グラフの共有点を同じ単元として復習すると、公式がばらばらになりません。まず二次方程式で「同じ解が重なる」意味を確実にしましょう。

その後、数学IIの複素数と方程式で、解と係数の関係、因数定理、高次方程式へ広げます。文部科学省の高等学校学習指導要領解説でも、二次方程式の解の種類と解と係数の関係を理解し、因数定理などを用いて高次方程式の解を求める流れが示されています。学習順序を守ると、三次方程式の重解も新しい丸暗記ではなく、二次方程式で理解した因数の反復として捉えられます。

重解の頻出問題は「普通の対策」では得点源にならない

結論から言います。重解の頻出問題を入試で安定して得点するには、「公式を一度理解した」「例題を一回解いた」という普通の対策だけでは厳しいです。重解はD=0を覚えるだけなら短時間で済みますが、実際の問題では係数の文字、接線、高次方程式、導関数へ姿を変えます。条件を正しい式へ翻訳し、計算し、別解で検算する反復が必要です。

この記事だけでも、重解にはD=0、平方因数、接点、PとP’の共通解という複数の入口がありました。例題ではbの符号、4ac、二次方程式でなくなる値、無理数解まで確認しました。つまり必要なのは情報を知ることだけでなく、自分が間違えた原因に応じて、次の日の演習量と復習範囲を変える行動管理です。

ここで、「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界が示す、①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い、という三つの限界に照らして、一般的な選択肢を一つずつ検討します。

選択肢① 独学・参考書だけでは理解の穴を見逃しやすい

独学や参考書は自分のペースで進められますが、解説を読んで分かったつもりでも、翌日に条件を式へ直せるとは限りません。D=0という情報を得ても、実際の答案行動と復習方法が変わらなければ①の限界に当たります。

選択肢② 映像授業・アプリでは視聴と答案作成が分かれる

映像授業やアプリは解説を繰り返し見られる一方、見終えた後に何問を解き、どのミスをやり直すかは本人任せになりがちです。情報量が増えても毎日の演習行動へつながらなければ、やはり①の限界を越えられません。

選択肢③ 集団授業の大手予備校では弱点別に変えにくい

集団授業では同じ教材・同じ進度で学ぶため、因数分解で止まる人と接線への読み替えで止まる人に、毎日別の課題を出すのは困難です。個人ごとの誤答原因を反映しにくい点で②の限界に当たります。

選択肢④ 一般的な個別指導塾でも週1回の外が残る

一般的な個別指導は授業中に疑問を解決できますが、週1回だけでは残りの日の演習量、解き直し、定着確認まで追い切れません。重解を含む数学の弱点は日々の答案で現れるため、③の「週1指導では変化が遅い」という限界が残ります。

普通の対策と、重解を得点源に変えるための行動管理の違い

独学・参考書、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、いずれも情報を毎日の個別行動へ変え、週単位で定着を検証する部分が不足します。だから消去法で残るのは、一人ひとりの弱点に合わせて1日単位の課題を数値化し、毎日・毎週の実行まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、単に数学の解説を増やすのではなく、今日やる問題数、誤答の直し方、確認テストまでを一つの行動計画として管理します。重解のように「理解はしたが答案で再現できない」が起こりやすい単元でも、次の固定6特徴で、毎日の実行と目標からの逆算をつなぎます。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を頑張る」のような曖昧な指示ではなく、その日に取り組む教材、問題数、解き直す範囲までを1日単位で数値化して指示します。知識を得ても行動が変わらない状態を防ぐ仕組みです。

重解対策なら、「判別式の係数決定を5問」「接線への読み替えを3問」「誤答2問を因数分解で再検算」のように、理解・演習・検算を行動へ分解できます。何をどこまでやるかが明確なので、復習の先送りを防げます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師が、生徒ごとの現在地、志望校、使っている教材、残り期間を確認し、個別の行動プランを設計します。全員に同じ授業と同じ宿題を出すのではなく、必要な行動へ学習時間を集中させます。

重解でDの計算を間違える生徒と、グラフの接点へ読み替えられない生徒では、次に解くべき問題が異なります。誤答原因に合わせて演習の順序と量を変えることで、既にできる問題の反復だけに時間を使うことを避けます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

毎日の進捗を数値で確認し、計画どおりに進まなければ修正指示を出します。さらに毎週の確認テストで定着度を測り、基準に届かなければ追加課題を設定して、計画自体も見直します。

重解の公式を当日に言えただけでは定着とは判断しません。日を空けて文字入り問題や接線問題を解き、条件の翻訳から検算まで再現できるかを確認します。週1回の授業外で起きる学習の空白を減らせます。

❹ 採用率0.6%の専属講師

講師は採用率0.6%の選考を通過した人材で、専属講師として学習計画と進捗管理を担当します。公式には講師満足度アンケート1,524件も公開されており、数値を含む情報を確認できます。

重解の誤答を「計算ミス」で一括りにせず、係数の読取り、条件の選択、式変形、検算のどこで崩れたかを確認します。同じ講師が継続して見ることで、以前の誤答傾向を翌週の課題修正へつなげやすくなります。

❺ 大学受験・英語資格までの専門コース

大学受験では難関大・学部特化を含むコースがあり、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験にも専門コースを用意しています。目標に応じて計画を組み立てます。

重解を学ぶ目的も、定期テストの基礎完成、共通テスト対策、記述式入試の接線・高次方程式対策で変わります。志望校と入試方式から逆算し、必要な到達点まで学ぶ範囲と優先順位を調整できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の疑問はLINEで質問できます。無料説明会はZoomで実施でき、保護者同席も可能です。公式サイトから資料請求もできるため、指導内容やコースを確認してから検討できます。

重解の途中式で「この場合もD=0でよいか」「最高次係数が0になる値をどう扱うか」と迷ったとき、疑問を放置せず次の学習へつなげられます。まず無料説明会で、現在の数学の課題と必要な管理方法を相談できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。対象条件などの詳細は無料説明会で確認してください。指導の考え方は鬼管理専門塾の仕組み、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜「重解を持つ」は同じ因数が重なること

重解を持つとは、方程式を因数分解したときに同じ一次因数が二回以上現れることです。二次方程式では二つの解が同じ値に一致し、判別式D=0、平方因数a(x-r)²、放物線がx軸に接する、重解x=-b/(2a)という四つの表現がすべて同じ状態を表します。

最初は「重解ならD=0」で構いません。ただし、そこで止めずに因数分解、平方完成、グラフ、導関数までつなげてください。同じ事実を複数の形で説明できるようになると、係数決定・接線・高次方程式へ問題が変化しても、使う条件を自分で選べます。

よくある質問

質問のテーマ	先に確認するポイント
重解の意味	同じ因数(x-a)が何回現れるか
二次方程式	D=0とx=-b/(2a)
グラフ・接線	連立後の方程式が重解をもつ
高次方程式	平方因数またはPとP’の共通解

Q. 重解を持つとは簡単に言うとどういう意味ですか？

A. 同じ解が二回以上重なっているという意味です。因数分解したとき、(x-a)²のように同じ因数が繰り返し現れれば、x=aは重解です。

Q. 二次方程式が重解を持つ条件は何ですか？

A. ax²+bx+c=0（a≠0）の判別式D=b²-4acが0になることです。D=0なら重解はx=-b/(2a)です。

Q. 重解は答えに二回書きますか？

A. 通常の答案では「x=a（重解）」のように一つだけ書きます。ただし次数を数えるときは、x=aが二回現れると考えます。

Q. D=0になるとなぜ重解なのですか？

A. 解の公式x=(-b±√D)/(2a)で、D=0なら±√Dがどちらも0になり、二つの解が同じx=-b/(2a)に一致するからです。

Q. 重解と解が一つしかないことは同じですか？

A. 同じではありません。一次方程式の解が一つでも重解ではありません。重解かどうかは、同じ因数が二回以上現れるかで判断します。

Q. グラフでは重解をどのように見分けますか？

A. 二次関数y=ax²+bx+cがx軸に接するとき、接点のx座標が重解です。放物線と直線が接する問題では、二式を連立してできる二次方程式にD=0を使います。

Q. D/4を使っても重解を判定できますか？

A. できます。xの係数が2bの形ならD/4=b²-acを使い、D/4=0と置けます。ただし元のx係数をbと取り違えないよう注意してください。

Q. 三次方程式の重解はどう求めますか？

A. 因数分解して同じ因数が繰り返されるかを確認します。難しい場合はP(x)と導関数P'(x)の共通解を求めると、その共通解が重解の候補になります。

Q. 三重解とは何ですか？

A. 同じ解が三回重なった解です。多項式が(x-a)³を因数にもつとき、x=aは三重解で、多重度は3です。

Q. 重解問題で最も多いミスは何ですか？

A. 判別式へ代入するときのbの符号、4acの落とし、最高次係数が0になる値の見落としです。a・b・cを明記し、最後に元の式へ代入して平方因数を確認してください。

Q. 重解の問題はどの順番で復習すればよいですか？

A. 定義と因数分解、判別式D=0、文字入り係数決定、グラフの接線、高次方程式と導関数の順がおすすめです。各段階で翌日に解き直し、条件を自力で選べるか確認しましょう。