二次関数を平方完成して頂点までは出せます。でも範囲が付くと、頂点と両端のどれを比べるのか、定数aが入るとどこで場合分けするのか分からなくなります。
最大値・最小値は「放物線の向き」「軸と定義域の位置」「頂点と両端の値」の順で見れば解ける。文字が入っても、軸が左・中・右のどこにあるか、どちらの端点が軸から遠いかを式にするだけだ。この記事では基本から場合分け、最小値の最大という応用まで、境界の作り方を一つずつ整理しよう。
二次関数の最大値・最小値で迷う原因は、計算量よりも「候補になる点」を決めないまま代入を始めることです。定義域が実数全体なら頂点が中心ですが、閉区間では頂点が範囲に入るかを確かめ、入らなければ端点だけを比べます。さらに軸や定義域に文字が入れば、その位置関係が変わる境界を方程式で求めます。本記事では、平方完成、範囲あり、定数aを含む場合分け、値域、逆問題、二段階の最大最小までを、答案に書ける形で解説します。
目次
- 二次関数の最大値・最小値は頂点と端点で決まる
- 平方完成で頂点と軸を求める｜定義域なしの最大・最小
- 範囲ありの二次関数は軸が定義域に入るかを確認する
- 軸に定数aを含む場合分け｜左・中・右の3領域で考える
- 最大値の場合分けは軸と区間の中心を比べる
- 定義域に定数aを含む場合｜動く区間と固定された軸を並べる
- 二次の係数が定数aのときはa=0を先に分ける
- 最大値・最小値から定数を決める逆問題と値域
- 最小値の最大・最大値の最小と場合分けのミスを攻略する
- 二次関数の最大値・最小値は「普通の対策」だけでは身につかない
- 1Day鬼管理数学合宿の特徴
- 塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴
- まとめ｜向き・軸・定義域・端点の順で最大最小を判断する
- よくある質問
二次関数の最大値・最小値は頂点と端点で決まる
関数の最大値とは、定義域の中で実際に取る値のうち最も大きい値、最小値とは最も小さい値です。二次関数y=A(x-p)²+qのグラフは、A>0なら上向きに開き、頂点(p,q)が谷の底になります。反対にA<0なら下向きに開き、頂点が山の頂上です。ここでは、二次の係数をA、問題中で動く定数をaと書き分けます。文字aを見ただけで場合分けするのではなく、その文字が係数・軸・定義域のどこを動かしているかを先に判定してください。
最大値と極大値、最小値と極小値は同じですか？二次関数なら全部、頂点の値を答えればよいですか？
最大・最小は指定された定義域全体で比べた値だ。頂点が範囲外なら、その値は候補にできない。高校数学Iの二次関数では、まずグラフ上で定義域に含まれる部分だけを見て、最も高い点と低い点を探すと考えよう。閉区間なら候補は左右の端点と、範囲内にある頂点に絞れるよ。
| グラフと定義域 | 最小側の候補 | 最大側の候補 | 最初の判断 |
|---|---|---|---|
| A>0・実数全体 | 頂点 | 存在しない | 上へ限りなく大きくなる |
| A<0・実数全体 | 存在しない | 頂点 | 下へ限りなく小さくなる |
| 閉区間・頂点を含む | 頂点または端点 | 端点または頂点 | 向きで頂点の役割を決める |
| 閉区間・頂点を含まない | 左右の端点 | 左右の端点 | 端点の関数値を比較する |
📚 用語解説
定義域：変数xが取ることのできる値の範囲です。最大値・最小値は、この範囲の外の点を使って決められません。
📚 用語解説
値域：定義域のxを関数へ入れたとき、yが取る値の範囲です。最大値と最小値は値域の上端・下端に当たります。
📚 用語解説
頂点：放物線の対称軸上にある折り返しの点です。上向きなら最小側、下向きなら最大側の候補になります。
文部科学省の学習指導要領解説では、数学Iの二次関数で「二次関数の最大・最小」を扱うとされています。また、同志社大学オープンコースの二次関数教材も、閉区間では左端・右端・頂点のy座標を比較すると説明しています。公式を増やすより、グラフのどの部分を見ているかを毎回図にするのが基本です。
平方完成で頂点と軸を求める｜定義域なしの最大・最小
一般形y=Ax²+Bx+Cでは、平方完成してy=A(x-p)²+qへ直します。例えばy=2x²-12x+13は、y=2(x²-6x)+13=2{(x-3)²-9}+13=2(x-3)²-5です。(x-3)²は0以上なので、2(x-3)²は0以上です。したがってx=3のとき最小値-5を取ります。一方、xを3から遠ざければ値はいくらでも大きくなるため、実数全体では最大値はありません。
A<0のときも、平方の部分は0以上だから最小値がqになる、と考えてよいのでしょうか？
A<0では不等号の向きが変わる。例えばy=-2(x-3)²+7なら、-2(x-3)²は0以下だからy≤7だ。x=3で最大値7を取り、下には限りがない。平方完成の後は「平方が0以上」だけで止めず、Aを掛けた項が0以上か0以下かまで読もう。
| 関数 | 頂点・軸 | 実数全体での結論 |
|---|---|---|
| y=2x²-12x+13 | 頂点(3,-5)、軸x=3 | x=3で最小値-5、最大値なし |
| y=-x²-4x+1 | 頂点(-2,5)、軸x=-2 | x=-2で最大値5、最小値なし |
| y=3(x+1)² | 頂点(-1,0)、軸x=-1 | x=-1で最小値0、最大値なし |
📚 用語解説
平方完成：二次式をA(x-p)²+qの形に変形することです。頂点、軸、最大側・最小側を同時に読み取れます。
平方完成の符号で止まりやすい人は、二次関数の頂点の求め方と平方完成の例題で、頂点形式へ直す手順を先に固めてください。最大値・最小値の判断は、頂点と軸を正しく出せて初めて安定します。
範囲ありの二次関数は軸が定義域に入るかを確認する
例としてy=(x-1)²-4を-2≤x≤3で考えます。軸x=1は定義域に入るため、頂点x=1、左端x=-2、右端x=3が候補です。関数値はf(1)=-4、f(-2)=5、f(3)=0なので、x=1で最小値-4、x=-2で最大値5です。上向きの放物線では、頂点が最小側になり、最大側は軸から遠い端点になります。端点を式へ代入する前に、数直線へ左端・軸・右端を並べると候補を落としません。
閉区間なら、いつでも頂点と左右の端点の3つを全部代入すればよいですか？
計算しても解けるけれど、頂点が範囲外なら代入してはいけない候補が混ざる。例えば同じ関数を-3≤x≤0で見ると、軸x=1は範囲外だ。左端x=-3で12、右端x=0で-3だから、最大値12、最小値-3になる。範囲内のグラフは軸の左側だけで、右へ進むほど下がると読めるよ。
| 関数・定義域 | 軸の位置 | 候補 | 結論 |
|---|---|---|---|
| y=(x-1)²-4、-2≤x≤3 | 範囲内 | x=-2,1,3 | 最大5、最小-4 |
| y=(x-1)²-4、-3≤x≤0 | 範囲より右 | x=-3,0 | 最大12、最小-3 |
| y=-(x+2)²+6、-1≤x≤2 | 範囲より左 | x=-1,2 | 最大5、最小-10 |
平方完成して頂点と軸を示す→軸が定義域に入るかを書く→範囲内の頂点と両端の関数値を求める→「x=○のとき最大値○、x=△のとき最小値△」と、値を取るxまで答えます。
問題が「そのときのxの値も求めよ」と指定していなくても、最大値・最小値を取るxを併記すると、候補の比較と等号成立を確認したことが伝わります。
軸に定数aを含む場合分け｜左・中・右の3領域で考える
f(x)=(x-a)²+2を0≤x≤4で考えます。放物線は上向きで、軸はx=aです。最小値は軸が定義域に入るかで決まります。a<0なら軸は範囲の左にあり、範囲内では右上がりなので左端x=0が最小です。0≤a≤4なら頂点x=aが範囲内なので最小値2です。a>4なら軸は範囲の右にあり、範囲内では右下がりなので右端x=4が最小です。境界a=0,4では頂点と端点が一致するため、等号をどちら側に含めても値はつながります。
場合分けの境界をa=0とa=4にする理由が分かりません。最小値の式を見てから境界を探すのですか？
先に位置関係から作る。軸x=aが左端x=0と重なる条件はa=0、右端x=4と重なる条件はa=4だ。この2点を境に、軸が左・中・右へ移る。場合分けは計算結果を眺めて作るのではなく、グラフの形が変わる瞬間を方程式にして作るんだ。
| aの範囲 | 軸x=aの位置 | 最小を取るx | 最小値m(a) |
|---|---|---|---|
| a<0 | 定義域の左 | x=0 | a²+2 |
| 0≤a≤4 | 定義域の中 | x=a | 2 |
| a>4 | 定義域の右 | x=4 | (4-a)²+2 |
📚 用語解説
場合分けの境界：最大・最小を取る点やグラフの役割が切り替わる定数の値です。軸と端点が重なる条件などから求めます。
最大値の場合分けは軸と区間の中心を比べる
同じf(x)=(x-a)²+2を0≤x≤4で考えると、上向きなので最大値は軸から遠い端点で取ります。左端までの距離は|a|、右端までの距離は|4-a|です。2つの距離が等しくなるのは、軸が区間の中心にあるa=2のときです。a<2なら右端x=4の方が遠く、最大値は(4-a)²+2。a=2なら両端で同じ最大値6。a>2なら左端x=0の方が遠く、最大値はa²+2です。最大値では「軸が範囲内か」だけでなく、「どちらの端点が遠いか」を見るのが要点です。
最大値も軸が左・中・右の3つに分けると思っていました。なぜ中心との比較だけで足りるのですか？
上向きの放物線では、閉区間の最大値は必ず端点のどちらかだ。候補が2つだけなので、値が等しくなる境界を求めればよい。f(0)=a²+2とf(4)=(4-a)²+2を等しくするとa=2。これは軸が区間の中心に来る条件と同じだ。3領域ではなく、左右どちらが遠いかの2領域になるよ。
| aの範囲 | 軸から遠い端点 | 最大を取るx | 最大値M(a) |
|---|---|---|---|
| a<2 | 右端x=4 | x=4 | (4-a)²+2 |
| a=2 | 左右が同距離 | x=0,4 | 6 |
| a>2 | 左端x=0 | x=0 | a²+2 |
方法1は区間の中心(左端+右端)/2と軸を比べる方法、方法2は左右の端点の関数値を等しくする方法です。符号に不安があるときは、両方で同じ境界になるかを検算してください。
f(x)=-(x-a)²+2では、軸が範囲に入るかで最大値を、どちらの端点が軸から遠いかで最小値を判断します。場合分けの境界は同じでも、頂点と端点の役割が反対になります。
定義域に定数aを含む場合｜動く区間と固定された軸を並べる
g(x)=(x-1)²-4をa≤x≤a+3で考えます。軸x=1は固定され、長さ3の区間がaとともに動きます。軸が区間に入る条件はa≤1≤a+3で、整理すると-2≤a≤1です。a<-2では区間全体が軸の左にあり、軸に近い右端x=a+3で最小。-2≤a≤1では頂点x=1で最小値-4。a>1では区間全体が軸の右にあり、軸に近い左端x=aで最小です。軸が動く問題と見た目は似ていますが、固定するものと動くものを逆にしないでください。
a≤x≤a+3のような範囲を見ると、aが左端なのか軸なのか混乱します。最初に何を書けばよいですか？
式と定義域から役割を分けて書こう。「軸x=1は固定」「左端a、右端a+3が動く」と一行で宣言する。次に軸が入る条件a≤1≤a+3を解く。役割が整理できれば、軸より左の区間では右端、軸より右の区間では左端が頂点に近い、とグラフから決められるよ。
| aの範囲 | 区間[a,a+3]の位置 | 最小を取るx | 最小値 |
|---|---|---|---|
| a<-2 | 軸x=1の左側 | x=a+3 | (a+2)²-4 |
| -2≤a≤1 | 軸x=1を含む | x=1 | -4 |
| a>1 | 軸x=1の右側 | x=a | (a-1)²-4 |
区間[a,a+3]の中心はa+3/2です。上向きの放物線の最大値なら、固定軸x=1とこの中心を比べ、遠い方の端点を選びます。端点の値を等しくして境界を求めても同じ結果になります。
二次の係数が定数aのときはa=0を先に分ける
h(x)=ax²-2ax+3を-1≤x≤3で考えます。a≠0ならh(x)=a(x-1)²+3-aと平方完成でき、軸はx=1で定義域内です。a>0なら上向きなので頂点x=1で最小、軸から遠い端点x=-1とx=3は同距離で最大です。a<0なら下向きなので役割が逆になります。a=0ではh(x)=3となり、二次関数ではなく定数関数です。このとき最大値も最小値も3で、全てのxで取ります。aを分母に含む頂点公式を使う前に、a=0を分ける必要があります。
問題文に「二次関数」と書いてあれば、a=0は考えなくてもよいのでしょうか？
「a≠0とする」と明記されていれば除ける。ただし「関数f(x)=ax²+…」とだけ書かれ、aの範囲を求める問題ならa=0で次数が下がる可能性を確認しよう。割り算や-b/(2a)を使う前に、分母が0にならない条件を見る習慣が大切だ。
| aの条件 | グラフ | 最小値 | 最大値 |
|---|---|---|---|
| a>0 | 上向き・軸x=1 | 3-a（x=1） | 3+3a（x=-1,3） |
| a=0 | y=3の水平線 | 3（全てのx） | 3（全てのx） |
| a<0 | 下向き・軸x=1 | 3+3a（x=-1,3） | 3-a（x=1） |
軸や定義域の文字は位置関係を動かしますが、二次の係数の文字は上向き・下向き、さらに二次関数でなくなる場合まで変えます。最初の分岐がa>0、a=0、a<0になる理由はここにあります。
📚 用語解説
退化：最高次の係数が0になり、二次関数が一次関数や定数関数へ変わることです。文字係数では必ず確認します。
最大値・最小値から定数を決める逆問題と値域
例としてf(x)=(x-a)²+1の0≤x≤4における最小値が5になるaを求めます。軸が範囲内なら最小値は1であり、5にはなりません。したがってa<0またはa>4です。a<0では左端x=0が最小なのでa²+1=5、a=-2を得ます。a>4では右端x=4が最小なので(4-a)²+1=5、条件に合うa=6を得ます。よってa=-2,6です。方程式だけを解くと条件外の解も出るため、先にグラフ上の候補を決め、最後に元の場合分けへ戻して検算します。
値域を求める問題と、最大値・最小値を求める問題は別の解き方ですか？
考え方は同じだ。最小値m、最大値Mがある閉区間なら値域はm≤y≤Mになる。実数全体で上向きなら最小値mだけがあり、値域はy≥m。下向きなら最大値Mだけがあり、値域はy≤Mだ。逆問題では値域の端が指定値と一致する条件を作ると考えればよい。
| 定義域と向き | 最大・最小 | 値域の書き方 |
|---|---|---|
| 実数全体・上向き | 最小値mのみ | y≥m |
| 実数全体・下向き | 最大値Mのみ | y≤M |
| 閉区間 | 最小値m、最大値M | m≤y≤M |
| 開区間で端点を含まない | 端の値を取らない場合あり | 不等号の等号有無を確認 |
値域とx軸の位置関係は二次方程式・二次不等式にもつながります。グラフがx軸より上か下かを読む練習には、二次不等式の解き方とグラフの3パターンもあわせて使ってください。
最小値の最大・最大値の最小と場合分けのミスを攻略する
「二次関数の最小値の最大」を求める問題では、動かす文字を一度に二つは動かしません。まずaを固定してxだけを定義域内で動かし、最小値m(a)を場合分けして求めます。次に、得られたm(a)をaの関数として見て、その最大値を求めます。例えばf_a(x)=(x-a)²を0≤x≤4で考えると、最小値はa<0でa²、0≤a≤4で0、a>4で(a-4)²です。もしaにも-1≤a≤5という範囲があれば、m(a)の最大値は端のa=-1または5で1です。「何を固定し、何を動かすか」を段階ごとに書くと混乱を防げます。
場合分けの答えは出せても、a=0のような境界を両方の範囲に入れてしまったり、抜かしたりします。
境界で隣の式が同じ値になるなら、a≤0と0
| よくあるミス | なぜ起きるか | 直し方 |
|---|---|---|
| 頂点が範囲外でも頂点の値を使う | 定義域を図にしていない | 左端・軸・右端を数直線に書く |
| 最大値で軸が範囲内かだけを見る | 端点の遠近を比べていない | 軸と区間中心を比較する |
| a=0で割ってしまう | 二次の係数を先に分けていない | a>0、a=0、a<0を最初に確認 |
| 境界に重複・抜けがある | 場合分けを数直線で確認していない | 全範囲を一度ずつ覆う |
| 最小値の最大を同時に計算する | 動かす文字が混在している | xで最小化してからaで最大化 |
復習では答えだけを写さず、誤りを「平方完成」「軸と範囲」「端点比較」「境界方程式」「条件への戻し」のどこで起こしたか記録します。途中式と誤答の残し方は、数学ノートの取り方と間違い直しも参考にしてください。原因を一工程まで絞れば、次の問題で確認する行動が具体的になります。
二次関数の最大値・最小値は「普通の対策」だけでは身につかない
二次関数の最大値・最小値は、解説を一度聞くだけでは解けるようになりません。平方完成、軸と定義域の位置、頂点と端点の比較、定数aの境界という複数の判断を、問題ごとに白紙から再現する必要があります。どこか一つを飛ばすと、固定範囲の基本問題は解けても、軸や定義域が動く問題で同じ誤りを繰り返します。
①解説で情報を得ても、位置関係を図にして場合分けする行動までは変わりにくい ②全員同じ演習では、平方完成・端点比較・境界のどこで止まるかに合わせにくい ③確認が週単位だと、誤った場合分けを次の演習でも反復しやすい
独学・参考書だけでは誤答の原因を一工程まで絞りにくい
参考書は公式と典型例を確認するのに役立ちます。一方、答えが違ったときに、頂点を範囲外から使ったのか、遠い端点を選び違えたのか、境界の等号を落としたのかを毎回一人で特定するのは簡単ではありません。解答を読んで納得するだけでは、限界①と②が残ります。
映像授業・アプリだけでは自力の場合分けを確認しにくい
映像やグラフアプリは、軸が動く様子を視覚的に理解する助けになります。しかし、画面で変化を見たことと、軸=端点の方程式を自分で作り、条件を漏れなく答案へ書けることは別です。視聴から手を動かす行動へ移らなければ、限界①が残ります。
集団授業の大手予備校ではつまずき別の課題に分けにくい
集団授業は単元の全体像を体系的に学べますが、平方完成で止まる人、固定範囲は解けるが軸に文字が入ると止まる人、最小値の最大で動かす文字を混同する人へ、同じ授業中に別々の課題を組むことは難しく、限界②が残ります。
一般的な個別指導でも週1回では場合分けの修正が遅れる
一般的な個別指導では、その場の質問へ個別に答えてもらえます。ただし確認が週1回なら、境界を作る考え方を誤ったまま次の類題を解き、誤った型を重ねることがあります。短い間隔で解き直しを確認できなければ、限界③が残ります。
従来の方法にはそれぞれ良さがありますが、二次関数の最大値・最小値を短いまとまりで集中的に解き、どこを覚えていないかをその場で確かめる条件を一度にそろえるのは簡単ではありません。
そこで、2次関数の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。
1Day鬼管理数学合宿の特徴
二次関数の最大値・最小値の問題を、1日でまとめて解き切りたいです。
それなら1Day鬼管理数学合宿だ。二次関数の最大・最小は、数学Ⅰの「2次関数」のコースで扱う。
1Day鬼管理数学合宿は、鬼管理専門塾が開くオンラインの合宿です。数学の1つの単元や志望校の範囲を、1日でやり切ります。授業を聞く日ではなく、紙に解いて答えを確かめる日です。塾生でなくても参加できます。合宿の全体像は、1Day鬼管理数学合宿とはで確かめられます。
学校で習っている単元や苦手な単元を選び、その日のうちに解き切る
例題は答えの数字を入れると、すぐに○×と解き方が出る
例題と数字を変えた問題を選択肢なしで解き、すぐに点数と解き方が出る
カメラで手元を映し、監督官がGoogle Meetで見守る
宿題編（答えと解き方つき）を解き、同じ型で数字を変えた問題で確かめる
二次関数の最大・最小に近いコース
数学Ⅰ「2次関数」
グラフ・平方完成・最大最小・2次方程式・判別式・2次不等式・解の配置を、1日でやり切る単元のコースです。
塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴
合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。
鬼管理専門塾は、授業を受けた時間だけでなく、学習者が毎日何を実行し、どこまで定着したかを管理します。二次関数のように複数の判断工程が連続する学習へ、公式ページで確認できる固定の6つの特徴を接続すると、次のように整理できます。
「今日やるべきこと」を英単語○語・問題○題のように数値で指示する
得点データをもとに、専属講師が生徒ごとの行動プランを設計する
進捗を毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を検証する
厳格な基準で選考した専属講師陣。講師満足度アンケートは回答1,524件
大学・学部特化、総合型選抜・推薦、英語資格、高校受験の専門コースを展開する
LINEで質問でき、Zoomの無料説明会や資料請求で入会前に相談できる
❶ 1日単位の数値化した学習指示
鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。
二次関数では「平方完成を何題、軸が動く場合分けを何題」のように1日の課題を数値で区切ると、解説を読んだ量ではなく、自力で再現できた演習量まで確認できます。
❷ 生徒ごとの個別行動プラン
全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。
同じ最大値・最小値が苦手でも、頂点が範囲に入るかで止まる生徒と、端点が等しくなる境界で止まる生徒では次に解く課題が違います。誤答工程に合わせて個別の行動プランを作ります。
❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト
日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。
場合分けは数日空くと、境界の作り方や等号の置き方から抜けやすい内容です。毎日の進捗と毎週の確認テストで白紙から再現できるかを確かめ、抜けた工程を次の課題へ戻します。
❹ 採用率0.6%の専属講師陣
講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。
最大値・最小値の答案では、数式の結果だけでなく、なぜ頂点または端点を選ぶかを説明する力が必要です。厳選された専属講師が、グラフと条件を結ぶ考え方まで確認します。
❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開
大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。
二次関数は数学Iの二次不等式や入試問題へつながります。大学・学部特化の大学受験コースから高校受験まで、目標に合わせた専門コースで前後の単元を含む計画を立てられます。
❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求
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平方完成の途中式や場合分けの数直線は、どの行でずれたかを早く質問するほど直しやすい内容です。LINEの質問窓口を使い、疑問を残さず次の演習へ進むための確認ができます。
鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは、塾の成果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。
まとめ｜向き・軸・定義域・端点の順で最大最小を判断する
二次関数の最大値・最小値は、平方完成して頂点と軸を求め、二次の係数で上向き・下向きを判断し、軸が定義域に入るかを確かめてから候補を比較します。定義域が実数全体なら、上向きでは頂点が最小、下向きでは頂点が最大です。閉区間では、範囲内の頂点と左右の端点だけが候補になります。
| 問題の型 | 場合分けの境界 | 見るポイント |
|---|---|---|
| 固定区間・軸が動く最小側 | 軸=左端、軸=右端 | 軸が区間に入るか |
| 固定区間・軸が動く最大側 | 軸=区間の中心 | どちらの端点が遠いか |
| 固定軸・区間が動く | 軸=左端、軸=右端 | 区間が軸を含むか |
| 二次の係数が動く | 係数=0 | 上向き・退化・下向き |
| 最小値の最大 | 第1段階の境界 | xで最小化してから定数で最大化 |
文字を含む問題では、文字が軸・定義域・二次の係数のどこにあるかを区別します。軸と端点が重なる値、または左右の端点の関数値が等しくなる値が場合分けの境界です。最後に境界を代入して隣り合う式がつながるか、場合分けが指定範囲を漏れなく覆うかを確かめてください。最大値・最小値を取るxまで書けば、候補を正しく比較したかも検算できます。
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公式LINEで合宿の案内を受け取る 1Day鬼管理数学合宿のくわしい説明を見るよくある質問
Q. 二次関数の最大値・最小値は、まず何をすればよいですか？
A. 一般形なら平方完成して頂点と軸を求めます。次に二次の係数で開く向きを判断し、軸と定義域の位置を確認して、範囲内の頂点と左右の端点から候補を選びます。
Q. 定義域がない二次関数では、最大値と最小値の両方がありますか？
A. 実数全体が定義域なら、上向きの二次関数は頂点で最小値を取りますが最大値はありません。下向きなら頂点で最大値を取り、最小値はありません。
Q. 範囲ありの問題で、頂点の値は必ず候補になりますか？
A. 頂点のx座標が定義域に入る場合だけ候補になります。頂点が範囲外なら、定義域内のグラフは放物線の片側だけなので、左右の端点の関数値を比較します。
Q. 軸に定数aを含むとき、場合分けの境界はどう決めますか？
A. 最小側では軸x=aが左端・右端と重なる条件から境界を作ります。上向きの最大側では、軸が区間の中心と重なる条件、または左右の端点の関数値が等しい条件から境界を作ります。
Q. 定義域に定数aを含むときのコツは何ですか？
A. 軸が固定か動くか、左端と右端がどう動くかを最初に書き分けます。軸が区間に入る条件を連立不等式で解き、区間が軸の左・中・右のどこにあるかで候補を決めます。
Q. 二次の係数がaのとき、なぜa=0を分けるのですか？
A. a=0ではx²の項が消え、二次関数ではなく一次関数または定数関数になる可能性があるからです。また、軸の公式でaを分母に使う前にも0でないことを確認する必要があります。
Q. 「最小値の最大」とは何を求める問題ですか？
A. まず定数aを固定し、xを動かして最小値m(a)を求めます。次にaを指定範囲で動かし、m(a)の最大値を求めます。固定する文字と動かす文字を二段階に分けて扱います。
Q. 最大値・最小値の答案には何を書けばよいですか？
A. 平方完成、頂点と軸、軸と定義域の位置、候補の関数値、場合分けの条件を示し、最後に最大値・最小値と、それぞれを取るxの値を書きます。
Q. 1Day鬼管理数学合宿で二次関数を選べますか？
A. 二次関数は数学Iのコースに含まれます。コースの案内は、くわしくは公式ページで確認してください。
本記事監修者 菅澤孝平
シンゲキ株式会社 代表取締役社長
「鬼管理」をコンセプトとした「鬼管理専門塾」を運営。大学受験・高校受験・英検指導・総合型選抜に幅広く展開しており、日本全国に受講生が存在している。
出演番組：カンニング竹山のイチバン研究所・ええじゃないかBiz
CM放送：テレビ東京など全国15局に放映