一次不定方程式の解き方｜タカタ式とユークリッドの互除法を例題で比較

一次不定方程式の問題では、特殊解を見つける段階と、すべての整数解を一般解で表す段階を分けることが重要です。タカタ式という検索語で探している人が知りたい「特殊解を置いて差を取る手順」と、係数が大きくても特殊解を作れるユークリッドの互除法は、競合する別解ではありません。前半の作り方が違うだけで、後半は同じ倍数関係へ合流します。

一次不定方程式とは｜整数解が存在する条件から確認

一次不定方程式は、整数a、b、cを使ってax＋by＝cと表され、整数x、yを求める方程式です。未知数が2つあるのに式が1本なので、実数の範囲では直線上に無数の解があります。高校数学で問われるのは、その直線上にある格子点、つまりxとyがともに整数になる組です。式の次数が1であることと、整数解を求めることを最初に読み取ってください。

特殊解と一般解の違い

特殊解は、元の方程式を満たす具体的な整数の組を1つ指します。一方の一般解は、整数kを使って、条件を満たすすべての整数解を表したものです。たとえば2x＋3y＝5では、(x,y)＝(1,1)が特殊解です。そこからx＝1＋3k、y＝1−2k（kは整数）と表せば、kの値を変えることで整数解をすべて得られます。

用語	何を答えるか	2x＋3y＝5の例
特殊解	式を満たす具体的な1組	(1,1)
一般解	すべての整数解	x＝1＋3k、y＝1−2k
検算	元の式へ戻して確認	2(1＋3k)＋3(1−2k)＝5

整数解の存在条件はgcd(a,b)がcを割り切ること

d＝gcd(a,b)とします。aもbもdの倍数なので、どの整数x、yを入れても左辺ax＋byはdの倍数です。したがって、dがcを割り切らなければ整数解は存在しません。逆にdがcを割り切るなら、拡張ユークリッドの互除法でax＋by＝dの特殊解を作り、それをc/d倍することでax＋by＝cの特殊解を作れます。よって、d｜cが必要十分条件です。

例として14x＋21y＝35では、gcd(14,21)＝7で、7は35を割り切ります。式全体を7で割ると2x＋3y＝5となり、特殊解(x,y)＝(1,1)がすぐ見つかります。一般解はx＝1＋3k、y＝1−2kです。一方、14x＋21y＝10では7が10を割り切らないため、整数解はありません。特殊解探しを始める前に、この判定を置くと無駄な計算を防げます。

タカタ式で一次不定方程式を解く手順｜特殊解から差を取る

「タカタ式」は学校数学の定理名として統一された呼び方ではありません。本記事では検索意図に合わせ、特殊解を1組見つけ、元の式から特殊解を代入した式を引き、右辺を0にして一般解へ進む手順をタカタ式と呼びます。数学的な本体は、差を取った後のau＋bv＝0と、互いに素な整数の倍数関係です。名前だけを暗記せず、なぜすべての解を表せるのかまで押さえてください。

例題｜13x＋5y＝1をタカタ式で解く

まず特殊解を1組探します。13の倍数と5の倍数の差が1になる組を見ると、13×2＋5×(−5)＝1なので、(x0,y0)＝(2,−5)が特殊解です。元の式13x＋5y＝1から、特殊解を代入した式13×2＋5×(−5)＝1を辺々引きます。

差を取ると13(x−2)＝−5(y＋5)です。13と5は互いに素なので、x−2は5の倍数、y＋5は13の倍数になります。整数kを使ってx−2＝5kと置けば、y＋5＝−13kです。したがって、x＝2＋5k、y＝−5−13k（kは整数）が一般解です。元の式へ代入すると、13(2＋5k)＋5(−5−13k)＝1となり、kの項が消えます。

特殊解は小さい倍数・合同式・試し算で探す

係数が小さいときは、一方の係数の倍数を数個並べ、差が右辺cになる組を探します。13x＋5y＝1なら、13x≡1 (mod 5)と見て、13≡3だから3x≡1、x≡2 (mod 5)と絞っても構いません。x＝2を元の式へ入れればy＝−5です。合同式を使わない場合も、13×2＝26と5×5＝25の差が1だと気づけば同じ特殊解に到達します。

特殊解の探し方	向いている場面	確認
倍数の差を見る	係数が小さい	ax0＋by0＝cになる
一方を法にして考える	余りが見やすい	合同式から候補を絞る
互除法で作る	係数が大きい	逆代入で一次結合に戻す

右辺が1でないときも手順は同じ

13x＋5y＝7なら、13x＋5y＝1の特殊解(2,−5)を7倍し、(14,−35)を特殊解にできます。そこからx＝14＋5k、y＝−35−13kを得ます。ただし、特殊解はもっと小さくしてよく、k＝−3を選んだ(x,y)＝(−1,4)も13×(−1)＋5×4＝7を満たします。こちらを起点にすればx＝−1＋5k、y＝4−13kとなり、表し方が違っても解集合は同じです。

ユークリッドの互除法で特殊解を求める｜逆代入のやり方

ユークリッドの互除法は、大きい数を小さい数で割り、次は「直前の割る数」と「余り」で同じ操作を続ける方法です。a＝bq＋rなら、aとbの公約数全体とbとrの公約数全体が一致するため、gcd(a,b)＝gcd(b,r)が成り立ちます。余りが0になるまで進めれば最大公約数が分かり、式を下から逆代入すれば最大公約数をax＋byの形に戻せます。

東京大学の公開教材は、a＝bQ＋rのとき、aとbの最大公約数がbとrの最大公約数に一致することを両方向の割り切りから証明しています。電気通信大学の公開資料でも、同じ等式と拡張互除法を使い、gcd(a,b)をax＋byで表した後、特殊解との差から一般解を導いています。手順の根拠は、「余りへ更新しても公約数が変わらない」ことです。

例題｜47x＋18y＝1の特殊解を求める

47と18に互除法を使います。47＝18×2＋11、18＝11×1＋7、11＝7×1＋4、7＝4×1＋3、4＝3×1＋1です。最後の0でない余りが1なので、47と18は互いに素であり、47x＋18y＝1には整数解があります。

逆代入は最小の正の余りから上へ戻す

1を含む最後の式から、1＝4−3とします。3＝7−4なので1＝2×4−7、4＝11−7なので1＝2×11−3×7、7＝18−11なので1＝5×11−3×18です。最後に11＝47−2×18を代入すると、1＝5×47−13×18となります。したがって、47x＋18y＝1の特殊解は(x,y)＝(5,−13)です。

逆代入の段階	1の表し方	消えた余り
開始	1＝4−3	なし
3を消す	1＝2×4−7	3
4を消す	1＝2×11−3×7	4
7を消す	1＝5×11−3×18	7
11を消す	1＝5×47−13×18	11

特殊解を得た後はタカタ式と同じ一般解へ進む

47x＋18y＝1から47×5＋18×(−13)＝1を引くと、47(x−5)＋18(y＋13)＝0です。47と18は互いに素なので、x−5＝18k、y＋13＝−47kと置けます。よって一般解はx＝5＋18k、y＝−13−47k（kは整数）です。特殊解の見つけ方だけが違い、差を取った後は前章と同じだと分かります。

タカタ式とユークリッドの互除法の違い｜使い分けと一般解

タカタ式として整理した方法は、特殊解がすぐ見える問題で計算量を減らせます。ユークリッドの互除法は、係数が大きくても最大公約数と特殊解を系統的に求められます。どちらも一般解を作る後半は同じです。大切なのは、方法名を見て固定するのではなく、整数解の存在、特殊解の見つけやすさ、右辺cの値を見て選ぶことです。

比較項目	タカタ式として整理する方法	ユークリッドの互除法
役割	特殊解から一般解へ進む	最大公約数と特殊解を作る
向く問題	係数が小さく特殊解が見える	係数が大きく特殊解が見えない
中心操作	特殊解の式を引く	割り算と逆代入
共通の後半	差を0にして倍数関係を見る	特殊解を得たら同じ手順へ進む
最後の確認	一般解を元の式へ代入	一般解を元の式へ代入

一般解の公式は最大公約数dを含めて覚える

d＝gcd(a,b)がcを割り切り、(x0,y0)をax＋by＝cの特殊解とします。一般解はx＝x0＋(b/d)k、y＝y0−(a/d)k（kは整数）です。aとbが互いに素ならd＝1なので、xの増分はb、yの増分は−aになります。符号を逆にしてx＝x0−(b/d)k、y＝y0＋(a/d)kと書いても、kが全整数を動くため同じ解集合です。

右辺cが1以外なら特殊解を拡大してから小さくできる

47x＋18y＝6では、47x＋18y＝1の特殊解(5,−13)を6倍し、(30,−78)を特殊解にできます。一般解はx＝30＋18k、y＝−78−47kです。k＝−1を選ぶと(x,y)＝(12,−31)となり、47×12＋18×(−31)＝6を満たします。大きい特殊解から始めても誤りではありません。一般解の中でkを動かし、扱いやすい代表を選べます。

負の係数では絶対値で計算し最後に符号を戻す

−47x＋18y＝1なら、まず47と18で互除法を行い、47×5＋18×(−13)＝1を得ます。元の係数は−47なのでxの符号を反転し、−47×(−5)＋18×(−13)＝1とします。特殊解は(x0,y0)＝(−5,−13)、一般解はx＝−5＋18k、y＝−13＋47kです。最後に元の負号を含む式へ代入すれば、符号の戻し忘れを検出できます。

右辺が0なら特殊解探しをせず倍数関係から解く

ax＋by＝0では(x,y)＝(0,0)が自明な特殊解です。d＝gcd(a,b)として式を整理すると、(a/d)x＝−(b/d)yです。a/dとb/dは互いに素なので、x＝(b/d)k、y＝−(a/d)k（kは整数）と直接表せます。右辺0の型を先に理解しておくと、タカタ式で特殊解の式を引いた後に現れる形が自然に読めます。

整数分野全体の中で互除法や約数との関係を復習したい人は、高校数学「整数の性質」完全ガイドもあわせて確認すると、一次不定方程式の前提となる最大公約数・互いに素・n進法を整理できます。

不定方程式の出題パターン｜一次式との見分け方とよくあるミス

不定方程式には、二元一次式だけでなく、xyを含む二次式、因数分解できない二次式、3文字以上の分数型などがあります。互除法が直接扱う中心はax＋by＝cです。問題文に「不定方程式」とあるだけで互除法を始めず、最高次数、文字の個数、整数・自然数の条件、範囲指定を確認してください。型を見分けることが、計算より先の判断です。

二元一次不定方程式は特殊解と一般解で解く

ax＋by＝cの形なら、本記事の手順を使います。最大公約数で存在を判定し、特殊解を1組見つけ、一般解へ広げます。さらにx＞0、0≦x≦100のような条件があれば、一般解へ代入した後でkの範囲を絞ります。特殊解を求めただけでは「整数解をすべて求めよ」という問いに答えたことにならないため、問題文の「1組」と「すべて」を区別してください。

因数分解できる二次式は積＝整数へ変形する

xyやx²を含む式でも、整理して(x＋p)(y＋q)＝Nの形へ因数分解できる場合があります。この型ではNの整数の約数の組を列挙し、それぞれからx、yを戻します。Nが正でも、正の約数の組だけでなく負×負の組を忘れないでください。一次不定方程式の一般解の公式を当てはめるのではなく、積の候補が有限個になることを利用します。

因数分解しにくい二次式は判別式と平方条件を見る

xについての二次方程式と見られるなら、解の公式の根号部分、つまり判別式が0以上の完全平方数になる必要があります。整数解を持つための必要条件を判別式から作り、合同式や範囲条件で候補を絞ります。ただし、判別式が平方数であるだけで元の条件をすべて満たすとは限らないため、候補を元の式へ戻して検算するところまで必要です。

3文字の分数型は大小関係を仮定して候補を有限化する

1/x＋1/y＋1/z＝1のような自然数解を求める型では、x≦y≦zのように順序を仮定し、各分数の大小から最小の分母xの範囲を絞ります。候補が有限個になったら順に代入し、最後に順序の仮定を外して並べ替えを戻します。これは二元一次不定方程式とは別の方法です。分母が0でないことや自然数条件も同時に確認してください。

n進法の文章題は位取りを式へ翻訳する

n進法と不定方程式が組み合わさる問題では、まず各桁を10進法の式へ直します。たとえばn進法の2桁の数abはan＋bです。そこから一次式が得られたら、本記事の存在判定や一般解を使います。最後は0≦a,b＜nという桁の条件でkを絞ります。方程式を解く部分と、数字として成立する桁条件を確認する部分を分けると、候補の漏れを防げます。

よくある失点を答案の順序で防ぐ

よくあるミス	原因	直し方
整数解なしを見落とす	特殊解探しから始める	最初にgcd(a,b)｜cを確認
特殊解だけで終える	「1組」と「すべて」を混同	整数kで一般解を書く
kの符号を間違える	公式だけを暗記	元の式へ代入してkを消す
逆代入で負号を落とす	括弧を省略	1回の代入を1行で書く
範囲条件を忘れる	方程式だけで終了	一般解の後にkを絞る
別型に互除法を使う	次数を見ていない	式の型を最初に分類

練習は4段階に分けて記録する

一次不定方程式を練習するときは、①存在判定、②特殊解、③一般解、④条件処理と検算に分けます。不正解だった場合も「互除法ができなかった」だけで終わらせず、最大公約数、逆代入、倍数関係、kの範囲のどこで止まったかを記録してください。同じ問題を解き直すときは、特殊解を別の方法で作っても同じ一般解の集合になるか確認すると、理解が深まります。

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一次不定方程式は「普通の対策」では身につかない

結論から言うと、公式を読み、例題の途中式を眺めるだけの「普通の対策」では、一次不定方程式を自力で解ける状態にするのは厳しいです。本記事だけでも、式の型の判別、最大公約数による存在判定、特殊解探し、互除法、逆代入、一般解、範囲条件、代入検算がありました。知識を得た後に、別の係数で一連の操作を最後まで実行しなければ、答案として再現できません。

鬼管理専門塾が示す従来塾の3つの限界は、①授業で情報を得ても行動は変わらない、②全員同じ指導は偏差値50に収束する、③週1指導では変化が遅い、というものです。一次不定方程式では、どの段階で止まったかによって必要な演習が異なります。代表的な学び方を、この3つの限界に照らして1つずつ検討します。

独学・参考書のみでは完了地点を自分で決める

参考書は定理や例題を整理するのに役立ちます。しかし、特殊解が出た時点で終えるのか、一般解と範囲処理、検算まで進めるのかは自分で管理しなければなりません。解説を読んで理解した感覚だけで止まれば、限界①の「情報を得ても行動は変わらない」に当たり、別の係数で手が止まります。

映像授業・学習アプリだけでは視聴と途中式の再現が分かれる

映像授業やアプリは、互除法の流れを視覚的に確認するのに便利です。一方、見終えたことと、自分で割り算の式を残し、逆代入の負号を処理し、一般解を検算できることは別です。視聴後の演習と修正が利用者任せなら、ここでも限界①が残ります。

集団授業の大手予備校では誤答段階を個別に追いにくい

同じ問題でも、最大公約数の判定で止まる人、特殊解を見つけられない人、逆代入で符号を落とす人、一般解のkを絞れない人がいます。集団授業は同じ説明を同じ進度で届けるため、個別の誤答段階に合わせた反復量を確保しにくく、限界②の「全員同じ指導」に当たりやすい方法です。

一般的な個別指導塾では授業外の反復が途切れやすい

授業中に質問できても、授業がない日に存在判定から検算までを通して解かなければ、手順は定着しません。次の指導日まで逆代入や一般解の練習が止まり、誤った符号の付け方を直すのが遅れる形では、限界③の「週1指導では変化が遅い」が残ります。

そこで、1次不定方程式を含む整数の性質の単元を1日でやり切りたい人には、鬼管理専門塾が開く1Day鬼管理数学合宿をおすすめします。

1Day鬼管理数学合宿の特徴

1Day鬼管理数学合宿は、鬼管理専門塾が開くオンラインの合宿です。数学の1つの単元や志望校の範囲を、1日でやり切ります。授業を聞く日ではなく、紙に解いて答えを確かめる日です。塾生でなくても参加できます。合宿の全体像は、1Day鬼管理数学合宿とはで確かめられます。

塾に入るなら｜鬼管理専門塾の特徴

合宿の日だけでなく、毎日の勉強まで見てもらうなら、塾は鬼管理専門塾です。

鬼管理専門塾は、日々の学習を1日単位で管理するオンライン塾です。ここでは公式サイトで確認できる6つの特徴を、一次不定方程式を含む受験数学の学習へどう活用できるかとあわせて整理します。

❶ 1日単位の数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、毎朝「今日やるべきこと」を数値で指示します。時間・場所・教材・目的まで具体化し、何をすべきかで迷う時間を減らします。

一次不定方程式では、存在判定、特殊解、逆代入、一般解、代入検算を日ごとの課題へ落とし込む必要があります。数値化した指示なら、解説を読んだだけで終えず、答案を完成させる演習量を確保できます。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

全員に同じ課題を出すのではなく、現在の得点、得意・不得意、志望校の配点に合わせて、生徒ごとの行動プランを設計します。

最大公約数で止まる人、特殊解が見えない人、逆代入で負号を落とす人では必要な課題が異なります。誤答段階に合わせた個別行動プランなら、できる計算の反復を減らし、弱点へ時間を使えます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

日々の進捗確認に加えて毎週の確認テストを行い、基準に届かなければ追加課題と計画修正を行って、遅れをその週のうちに戻します。

一次不定方程式は一度解けても、係数や右辺、範囲条件が変わると再び迷いやすい分野です。毎日の進捗と毎週の確認テストで別の数でも一般解まで再現できるか確かめれば、理解のずれを修正できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は難関大学合格実績と独自審査を満たした人材から採用し、採用率は0.6%です。指導の質は講師満足度アンケート回答1,524件でも継続的に検証しています。

誤答したとき、答えだけでなく、存在判定、特殊解、逆代入、一般解のどこへ戻るべきかを説明できる講師がいれば、誤った符号処理や公式の使い方を長く続けずに済みます。講師体制は修正精度に関わります。

❺ 大学受験〜英語資格まで専門コース展開

大学・学部特化の大学受験、総合型選抜・推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで専門コースを展開しています。

整数分野は大学受験や高校受験の目標によって、必要な証明の深さや演習範囲が変わります。目標に対応する専門コースの中で、基本計算から志望校の出題形式へ必要な学習をつなげられます。

❻ LINE質問対応+無料説明会・資料請求

授業がない日もLINEで質問でき、入会前にはZoomの無料説明会や資料請求を利用できます。生徒と保護者が指導内容を確認してから判断できます。

一次不定方程式の途中式について質問が生じた日にLINEで確認できれば、誤った逆代入や一般解のまま次の問題へ進むのを防げます。入会前の案内窓口も含め、指導内容を確認する連絡手段があります。

1日単位の学習管理と従来塾の3つの限界は、「鬼管理」とは？で確認できます。塾全体の進学結果は、鬼管理専門塾の合格実績に掲載されています。

まとめ｜特殊解を作り、差を取って一般解へ進む

一次不定方程式ax＋by＝cは、d＝gcd(a,b)がcを割り切るときに限って整数解を持ちます。整数解があると分かったら、特殊解を1組作ります。係数が小さく特殊解が見えるなら、タカタ式として整理した「特殊解の式を引く方法」が速く、見えないならユークリッドの互除法と逆代入を使えば系統的に特殊解を作れます。

特殊解(x0,y0)を得た後は、どちらの方法でも同じです。元の式から特殊解の式を引いて右辺を0にし、倍数関係からx＝x0＋(b/d)k、y＝y0−(a/d)k（kは整数）へ広げます。最後に元の式へ代入し、kの項が消えることを確認してください。範囲条件がある問題では、一般解を作った後でkの範囲を絞ります。

順序	すること	合格条件
1	d＝gcd(a,b)を求める	d｜cなら次へ進む
2	係数と右辺をdで割る	係数を互いに素にする
3	特殊解を1組作る	元の式へ代入できる
4	特殊解の式を引く	右辺が0になる
5	整数kで一般解を書く	すべての整数解を表す
6	代入と条件処理を行う	kの項が消え、範囲も満たす

よくある質問

疑問	最初に確認すること
整数解があるか	gcd(a,b)がcを割るか
特殊解が見えない	ユークリッドの互除法
一般解の符号	元の式へ代入してkを消す
範囲条件がある	一般解の後でkを絞る

Q. 一次不定方程式とは何ですか？

A. ax＋by＝cの形をした、整数解を求める方程式です。未知数が2つで式が1本なので、条件を満たす整数の組が複数存在する場合があります。具体的な1組を特殊解、すべてを表す形を一般解といいます。

Q. 一次不定方程式に整数解がある条件は何ですか？

A. d＝gcd(a,b)とすると、dがcを割り切ることが必要十分条件です。割り切らなければ整数解はありません。割り切る場合は、係数と右辺をdで割ってから特殊解を求めます。

Q. タカタ式とはどのような解き方ですか？

A. 本記事では、特殊解を1組見つけ、元の式から特殊解を代入した式を引き、右辺0の倍数関係から一般解を作る手順の呼称として使っています。学校数学で統一された定理名ではありません。

Q. タカタ式とユークリッドの互除法はどちらを使いますか？

A. 係数が小さく特殊解がすぐ見えるなら、特殊解の式を引く方法が短くなります。特殊解が見えない、または係数が大きいなら、互除法と逆代入で特殊解を系統的に作ります。

Q. 特殊解が解答例と違っても正解ですか？

A. 元の方程式を満たす整数の組なら特殊解として正しいです。異なる特殊解から作った一般解は、整数kの取り方がずれるだけで同じ解集合を表します。必ず元の式へ代入してください。

Q. 一般解の公式を教えてください。

A. d＝gcd(a,b)、特殊解を(x0,y0)とすると、x＝x0＋(b/d)k、y＝y0−(a/d)kです。kは整数です。両方の符号を逆にした表現も、kが全整数を動くため同じ解集合になります。

Q. 右辺が0の一次不定方程式はどう解きますか？

A. ax＋by＝0では、d＝gcd(a,b)としてx＝(b/d)k、y＝−(a/d)kと表せます。特殊解(0,0)との差を取った形だと考えると、右辺が0でない場合とのつながりが分かります。

Q. 負の係数がある場合はどうしますか？

A. 最大公約数や互除法の計算は係数の絶対値で進め、特殊解を得た後に元の係数の符号へ戻します。一般解を作ったら、負号を含む元の方程式へ代入して確認してください。

Q. 範囲条件や自然数条件はいつ使いますか？

A. まず整数kを使って一般解を作り、その後にx＞0や0≦x≦100などの条件を代入してkの範囲を絞ります。特殊解を探す段階で候補を狭めすぎると、解を漏らすことがあります。

Q. 一次不定方程式を効率よく練習する方法は？

A. 存在判定、特殊解、一般解、条件処理、検算の段階に分けて解きます。特殊解が見える問題と、互除法が必要な問題を交互に練習し、どこで止まったかを記録してください。

Q. 1Day鬼管理数学合宿の数学Aについてどこで確認できますか？

A. 1Day鬼管理数学合宿の公式ページで、数学Aを含む数学コースのくわしい説明を確認できます。