余弦定理とは？公式・証明・使い方を例題でわかりやすく解説【数学I】

余弦定理は、三角形の3辺と1つの角を結ぶ数学Iの定理です。文部科学省の高等学校学習指導要領解説でも、正弦定理・余弦定理を三角形の決定条件や三平方の定理と関連付け、辺の長さや角の大きさを求める内容として扱っています。本記事では、同解説に示された公式と、日本大学理工学部・金沢工業大学の公式教材にある証明を照合しました。公式の丸暗記ではなく、「何が分かっていて何を求めるか」から式を選べる状態を目指します。まず、記号の配置と3本の公式を確認しましょう。

余弦定理の公式｜辺a・b・cと角A・B・Cの対応

三角形ABCで、頂点A・B・Cの向かい側にある辺の長さを、それぞれa・b・cとします。つまり、角Aの対辺がa、角Bの対辺がb、角Cの対辺がcです。この対応を固定すると、余弦定理はa²=b²+c²−2bc cosA、b²=c²+a²−2ca cosB、c²=a²+b²−2ab cosCと表せます。3本は別々の公式ではなく、注目する角とその対辺を入れ替えただけです。

注目する角	その対辺	余弦定理	右辺に掛ける2辺
A	a	a²=b²+c²−2bc cosA	角Aをはさむbとc
B	b	b²=c²+a²−2ca cosB	角Bをはさむcとa
C	c	c²=a²+b²−2ab cosC	角Cをはさむaとb

式を書くときは、最初に求めたい辺、または分かっている角の対辺を左辺へ置きます。次に、残る2辺の平方和を書き、その2辺の積を2倍して角のcosを掛けた項を引きます。たとえば角Bに注目するなら、対辺bを左へ置き、角Bをはさむcとaを右辺に使います。「角Aなのに左辺がb²」のような対応違いを最初の段階で防げます。

余弦定理の意味｜三平方の定理を角度に合わせて補正する

余弦定理の中心は、−2bc cosAという補正項です。角A=90°ならcos90°=0なので、a²=b²+c²となり、三平方の定理そのものになります。角Aが90°より小さい鋭角ならcosAは正で、正の量を引くためa²はb²+c²より小さくなります。角Aが90°より大きい鈍角ならcosAは負で、負の量を引くことになるためa²はb²+c²より大きくなります。

角A	cosAの符号	a²とb²+c²	図形としての意味
0°＜A＜90°	正	a²＜b²+c²	角が狭く、対辺aは相対的に短い
A=90°	0	a²=b²+c²	直角三角形で三平方の定理になる
90°＜A＜180°	負	a²＞b²+c²	角が広く、対辺aは相対的に長い

この関係は計算後の検算にも使えます。たとえば、はさむ2辺がb=5、c=7で角Aが120°なら、cos120°=−1/2です。a²=25+49−2×5×7×(−1/2)=109となり、直角の場合の基準74より大きくなります。鈍角なのにa²が74より小さく出たなら、負号またはcosの符号を誤った可能性が高いと判断できます。

余弦定理の証明｜鋭角・直角・鈍角を座標で統一する

三角形ABCでA=(0,0)、B=(c,0)と置き、辺ACの長さをb、角BACをAとします。点Cの座標は、横成分がb cosA、縦成分がb sinAなので、C=(b cosA, b sinA)です。辺BCの長さがaであることから、2点間の距離の公式を使えば、角Aが鋭角でも鈍角でも同じ式で証明できます。

証明1：点Cの座標を三角比で表す

AC=bで、ACがx軸の正の向きとなす角がAなので、Cのx座標はb cosA、y座標はb sinAです。鋭角ではcosAが正なのでCはAより右側、直角ではcosA=0なのでCはAの真上、鈍角ではcosAが負なのでCはAより左側に来ます。座標の符号が変化を吸収するため、場合ごとに図を作り直す必要がありません。

証明2：2点B・Cの距離を求める

B=(c,0)、C=(b cosA,b sinA)だから、BC²=(b cosA−c)²+(b sinA−0)²です。展開すると、BC²=b²cos²A−2bc cosA+c²+b²sin²Aとなります。ここでBC=aなので、左辺はa²です。

証明3：三角比の相互関係で整理する

b²cos²A+b²sin²A=b²(cos²A+sin²A)=b²です。したがって、a²=b²+c²−2bc cosAが得られます。日本大学理工学部の教材でも、垂線と三平方の定理を使う証明と、ベクトルの内積を使う証明の2通りが示されています。座標での証明は前者の長さ計算を、符号まで含めて一つの式にまとめたものです。

角Aの場合	Cのx座標b cosA	証明で起こること
鋭角	正	垂線の足が辺AB上に来る
直角	0	補正項が0となり三平方の定理になる
鈍角	負	垂線の足が辺ABの延長上に来る

使い方1｜2辺とその間の角から残りの1辺を求める

2辺とその間の角が分かっているとき、余弦定理で残りの辺を一意に求められます。「その間の角」とは、分かっている2辺が作る角です。b・cと角Aが分かっているなら、角Aの対辺aを求める式a²=b²+c²−2bc cosAを選びます。角と対辺を先に図へ書けば、3本の公式から迷って選ぶ必要はありません。

例題1：2辺が6と8、はさむ角が60°

角60°の対辺をxとします。余弦定理より、x²=6²+8²−2×6×8×cos60°です。cos60°=1/2を代入すると、x²=36+64−48=52となるため、x=√52=2√13です。辺の長さなので負の平方根は採りません。

検算では、60°は鋭角なのでx²＜6²+8²=100になるはずです。実際に52は100より小さく、また三角形の成立条件|8−6|＜x＜8+6、つまり2＜x＜14も満たします。式変形だけで終えず、角による大小と三角形の成立条件の2方向から確かめると、入力ミスを発見しやすくなります。

例題2：2辺が5と7、はさむ角が120°

角120°の対辺をyとすると、y²=5²+7²−2×5×7×cos120°です。cos120°=−1/2なので、y²=25+49+35=109、したがってy=√109です。鈍角の向かいの辺は長くなるため、y²が25+49=74より大きいことも整合しています。

使い方2｜3辺から角度を求める公式と例題

3辺の長さが分かっているときは、余弦定理をcosについて解いた形を使います。a²=b²+c²−2bc cosAを移項すると、cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)です。同様に、cosB=(c²+a²−b²)/(2ca)、cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)となります。求めたい角の対辺だけを分子で引く、と覚えると対応を保てます。

例題3：3辺が4、6、2√7のとき、辺2√7の対角を求める

求める角をA、その対辺をa=2√7、残る2辺をb=4、c=6とします。cosA=(4²+6²−(2√7)²)/(2×4×6)=(16+36−28)/48=24/48=1/2です。0°＜A＜180°の範囲でcosA=1/2となるので、A=60°です。

分子へ平方を入れる点に注意してください。(2√7)²=28であり、2√7のまま引くことはできません。また、最後に角度を出すにはcosの値から角を読み取ります。有名角でなければ、問題の指示に従い三角比の表や計算機を使います。途中のcos値は−1以上1以下になるため、この範囲を外れたら辺の対応か計算を見直します。

最大角を知りたいときは最長辺の対角を見る

三角形では、長い辺の向かいに大きい角があります。したがって3辺から最大角を求める問題では、まず最長辺を探し、その対角だけを余弦定理で計算すれば十分です。3つの角を順番に計算する必要はありません。最長辺をaとしたとき、a²とb²+c²の大小を比べるだけでも、最大角が鋭角・直角・鈍角のどれかを判定できます。

余弦定理で鋭角・直角・鈍角を判定する方法

3辺だけが与えられたとき、余弦定理は角度の数値を出す前の判定にも使えます。最長辺をaとし、その対角をAとします。a²=b²+c²ならA=90°、a²＜b²+c²ならA＜90°、a²＞b²+c²ならA＞90°です。最長辺の対角が最大角なので、この1回の比較で三角形全体が鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれかを判断できます。

例題4：辺の長さが5、6、7の三角形

最長辺は7です。7²=49、残る2辺について5²+6²=25+36=61なので、49＜61です。したがって最長辺7の対角は鋭角であり、他の2角はそれより小さいため、この三角形は鋭角三角形です。角度そのものを求める必要がないなら、cosを計算するより平方の大小比較のほうが速く解けます。

例題5：辺の長さが3、4、6の三角形

最長辺は6です。6²=36、3²+4²=9+16=25なので、36＞25です。したがって辺6の対角は鈍角で、この三角形は鈍角三角形です。なお、3+4＞6なので三角形は成立します。角の判定前に、最長辺が他の2辺の和より短いという三角形の成立条件も確認してください。

最長辺aについて	最大角A	三角形の分類
a²＜b²+c²	A＜90°	鋭角三角形
a²=b²+c²	A=90°	直角三角形
a²＞b²+c²	A＞90°	鈍角三角形

正弦定理・三角形の面積公式との使い分け

三角比の問題では、余弦定理だけを機械的に使うのではなく、分かっている情報の組み合わせから公式を選びます。余弦定理が強いのは「2辺とその間の角」または「3辺」が分かる場面です。正弦定理は「1つの角とその対辺」がそろい、別の角または辺を求める場面に向きます。面積公式S=1/2bc sinAは、2辺とその間の角から面積を求める場面で最短です。

分かっている情報	主な目的	第一候補
2辺とその間の角	残りの辺	余弦定理
3辺	角	余弦定理
角と対辺の一組＋別の辺か角	別の辺・角	正弦定理
2辺とその間の角	面積	S=1/2bc sinA
直角三角形の2辺	残りの辺	三平方の定理

たとえば2辺b・cと角Aから、まず対辺aを求め、その後に別の角Bを求める問題では、最初に余弦定理、次に正弦定理を使う流れが考えられます。公式は1問につき1つとは限りません。最初の未知量を減らす公式と、次の未知量へつなぐ公式を順番に選びます。詳しい判断例は正弦定理と余弦定理の使い分けでも確認できます。

面積が目的なら、辺を全部求めてからヘロンの公式へ進むより、2辺とその間の角がある時点でS=1/2bc sinAを使うほうが短くなります。三角比で三角形の面積を求める公式では、面積公式の証明と余弦定理との接続を例題で整理しています。

余弦定理の応用問題｜図形を三角形へ分けて使う

入試では、最初から三角形ABCだけが描かれているとは限りません。平行四辺形の対角線、2本の道の間の距離、四角形を対角線で分けた長さなど、図形の一部に余弦定理を使う問題が出ます。共通する手順は、求めたい線分を1辺とする三角形を見つけ、分かっている2辺とその間の角を集めることです。

例題6：2本の道が60°で分かれ、それぞれ3km・5km進む

出発点をA、2つの到着点をB・Cとすると、AB=3、AC=5、角A=60°の三角形ができます。到着点間の距離BCをxとすれば、x²=3²+5²−2×3×5×cos60°=9+25−15=19です。よってx=√19kmです。文章題では、単位を式の途中で混在させず、最後の答えへ付けます。

平行四辺形の対角線は三角形へ分ける

隣り合う辺がp・q、その間の角がθの平行四辺形では、対角線を引くと2辺p・qと角θを持つ三角形ができます。その角の対辺となる対角線dについて、d²=p²+q²−2pq cosθです。もう一方の対角線では補角180°−θを使い、cos(180°−θ)=−cosθとなるため、平方の式の符号が反対になります。

補助線を引く前に求める量を確認する

補助線を何本も引くと、使わない三角形が増えて対応を誤りやすくなります。まず求めたい線分の両端を確認し、その線分を1辺として含む三角形を探します。次に残る2辺と、その間の角が既知になるよう、平行線の錯角、円周角、四角形の内角などを利用します。情報がそろった時点で余弦定理を書きます。

余弦定理でよくあるミスと定着させる勉強法

余弦定理の誤答は、公式を知らないことより、図と式の対応が崩れることで起こりやすくなります。特に多いのは、角と対辺の不一致、cosの前の2辺の選び間違い、鈍角のcosの負号忘れ、平方根で正の値を選ばない、3辺から角を求めるときに分子で引く辺を誤る、といったミスです。答えだけ直すのではなく、誤りが生じた工程へ戻る必要があります。

ミス1：角Aと対辺aが対応していない

公式を書く前に、角へ大文字、向かいの辺へ同じ小文字を書きます。印を付けずに問題文の登場順でa・b・cを割り当てると、図の対応とずれることがあります。左辺の平方とcosの角が対になっているかを、代入前に指で追って確認してください。

ミス2：鈍角のcosを正にしてしまう

120°や135°のcosは負です。cos(180°−θ)=−cosθを使い、cos120°=−cos60°=−1/2のように基準角へ戻します。三角比の値と符号を整理したい場合は、三角比の公式一覧で0°から180°までの値と相互関係を確認できます。

ミス3：計算後の検算をしない

辺を求めたら三角形の成立条件、角を求めたら0°＜A＜180°、cosの途中値なら−1≦cosA≦1を確認します。さらに、最大角と最長辺が対応しているか、鋭角・鈍角に対して平方の大小が自然かを見ます。複数の短い検算を重ねると、途中式のどこを戻るべきか判断できます。

余弦定理を入試得点にするには「普通の対策」では受からない

結論から言います。公式を聞き、解説を読み、例題の答えを写して終える「普通の対策」だけでは、余弦定理を入試の得点源にして志望大学へ受かるのは厳しいです。この記事で扱っただけでも、角と対辺の対応、鋭角・直角・鈍角によるcosの符号、2辺と夾角、3辺から角、正弦定理との使い分け、応用図形への切り分けという複数の判断があります。知識を見た回数ではなく、初見の図で手順を再現できるかが得点を分けます。

さらに、誤答原因は生徒ごとに異なります。ある人はcos120°の符号で止まり、別の人は最長辺の対角を選べず、別の人は余弦定理の後に正弦定理へつなげません。必要なのは、毎日の演習量を決め、誤答工程を記録し、翌日と1週間後に再現を確認して、結果に応じて課題を変えることです。代表的な学習手段を「従来塾の3つの限界」で一つずつ検討します。

選択肢①：独学・参考書のみでは誤答工程の修正が自己判断になる

独学や参考書で公式と解説は得られますが、①授業や教材から情報を得ても行動は変わらないという限界に当たりやすくなります。解答を読んで理解した状態と、翌日に図だけから角・対辺・夾角を特定できる状態は別です。自分で誤答原因を分けられなければ、得意な基本例題だけを繰り返すことにもなります。

選択肢②：映像授業・アプリでは視聴と自力再現が分離しやすい

映像授業やアプリは証明や図を視覚的に確認できますが、視聴時間が増えても、自力で途中式を書く回数が増えるとは限りません。これは①の限界に加え、②全員同じ指導は偏差値50に収束するという限界にもつながります。符号が弱い人と公式選択が弱い人へ同じ復習問題だけを配っても、弱点は残ります。

選択肢③：集団授業の大手予備校では個別のつまずきが残る

集団授業の大手予備校は体系的に学べますが、②全員同じ指導の限界があります。授業が正弦定理や面積へ進んでも、角と対辺の対応で止まる生徒と、複合問題で止まる生徒では必要な演習が異なります。一斉の進度では、一人ひとりの誤答工程を翌日の問題数へ細かく反映しきれません。

選択肢④：一般的な個別指導塾では週1指導の修正が遅い

一般的な個別指導塾は質問しやすくても、③週1指導では変化が遅いという限界が残ります。授業日にcosの符号を直しても、翌日から自力演習が止まり、確認が次週なら、同じ誤りを繰り返す可能性があります。余弦定理は正弦定理・面積・図形の計量へ続くため、修正の遅れが後続単元へ連鎖します。

独学・参考書のみ、映像授業・アプリ、集団授業の大手予備校、一般的な個別指導塾を順に検討すると、「情報を行動へ変える」「生徒ごとに課題を変える」「毎日すぐ修正する」のどこかが不足します。だから、余弦定理を含む数学Iの図形と計量を入試で再現できる力へ変え、志望大学合格までつなげるなら、消去法で残るのは1日単位の個別行動まで管理する鬼管理専門塾しかありません。

鬼管理専門塾の特徴

鬼管理専門塾は、授業や教材を増やすだけでなく、受験生が毎日何を実行し、その結果をどう修正するかを管理する仕組みを持っています。ここでは公式ページで確認できる確定6項目だけを、余弦定理を含む大学受験数学の対策へどうつながるかと合わせて説明します。

❶ 1日単位で数値化した学習指示

鬼管理専門塾では、「数学を勉強する」のような曖昧な予定ではなく、教材・範囲・問題数・復習までを1日単位で数値化して指示します。何を、いつ、どこまで実行するかを5W1Hで具体化するのが特徴です。

余弦定理の対策なら、「公式を読む」で終わらず、2辺と夾角を何題、3辺から角を何題、複合問題を何題解き、誤答をいつ解き直すかまで行動に変えられます。暗記中心から自力再現中心の学習へ移す助けになります。

❷ 生徒ごとの個別行動プラン

専属講師は、全員へ同じ課題を配るのではなく、生徒の現在地、志望校、科目ごとの得意不得意に合わせ、生徒ごとの個別行動プランを設計し、実行状況まで確認します。

数学でも、公式は覚えているが角と対辺を誤る生徒と、余弦定理から正弦定理へつなげられない生徒では必要な課題が違います。個別プランなら、どの判断工程を優先して直すかを分け、入試までの時間を配分できます。

❸ 毎日・毎週の徹底管理と確認テスト

学習の実行状況は毎日確認し、毎週の確認テストで定着度を測ります。合格ラインへ届かなければ追加課題を出し、学習計画をその週のうちに分析・修正する仕組みです。

余弦定理の基本例題を一度正しく解けても、1週間後に四角形や正弦定理との複合問題で再現できなければ入試では使えません。日次の進捗と週次テストを組み合わせ、理解直後と時間経過後の両方で確認できます。

❹ 採用率0.6%の専属講師陣

講師は厳格な基準で選考され、公式ページが示す採用率は0.6%です。指導品質は、入会生を対象にした講師満足度アンケート1,524件の公開結果でも継続的に確認されています。

余弦定理の答案では、最終数値だけでなく、角と対辺の対応、cosの符号、定理の選択という途中過程に誤りが現れます。専属講師へ途中式まで示すことで、答え合わせだけでは見逃す思考の癖を修正できます。

❺ 大学受験から英語資格までの専門コース

専門コースは、大学受験の大学特化・学部特化、総合型選抜/推薦、英検・TOEIC・TOEFL・IELTS・TEAPなどの英語資格、高校受験まで用意され、目標に合わせた計画設計に対応しています。

本記事の読者が大学受験コースで数学を使う場合も、志望大学の出題範囲や配点、残り期間を前提に、図形と計量へどれだけ時間を使い、二次関数や確率など他単元へいつ移るかを逆算できます。

❻ LINE質問対応・無料説明会・資料請求

学習中の質問はLINEで受け付けています。入会前にはZoomでの無料説明会を利用でき、保護者の同席も可能です。指導内容を落ち着いて確認したい人向けに資料請求の窓口も用意されています。

余弦定理のどこで止まるのか、数学全体を入試までにどう仕上げるのかを一人で判断しにくい場合は、無料説明会で現在の教材・模試・志望校を共有し、必要な管理の範囲を確認できます。

大学受験コースには1カ月返金保証制度があります。適用条件は公式案内で確認してください。無料説明会では、サービスの仕組みだけでなく、現在の学習状況に合うかどうかも相談できます。鬼管理専門塾の指導方針は「鬼管理」とは？成績が上がらない塾・予備校の3つの限界で、これまでの結果は鬼管理専門塾の合格実績で確認できます。

まとめ｜余弦定理は角と対辺の対応から使い始める

場面	使う形	最後の確認
2辺b・cと夾角Aから辺a	a²=b²+c²−2bc cosA	角による辺の大小
3辺から角A	cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)	−1≦cosA≦1
三角形の種類を判定	最長辺²と残る2辺の平方和を比較	三角形の成立条件
複合問題	余弦→正弦・面積公式へ接続	求める量と既知情報

余弦定理は、a²=b²+c²−2bc cosAを文字列として覚えるだけでは使い切れません。角Aと対辺aを一組にし、cosの前には角Aをはさむb・cが来ると理解してください。角A=90°で三平方の定理に戻り、鋭角では対辺が基準より短く、鈍角では長くなると捉えれば、符号と答えの大小を検算できます。

基本用途は、2辺とその間の角から残りの辺を求めること、3辺から角を求めることの2つです。そこから、最長辺を使った角の判定、正弦定理・面積公式との使い分け、四角形や文章題へ広げられます。練習では公式選択、対応、符号、平方計算、検算のどこで誤ったかを記録し、翌日と1週間後に同じ手順を再現してください。

よくある質問

Q. 余弦定理の公式は何ですか？

A. 三角形ABCで角A・B・Cの対辺をa・b・cとすると、a²=b²+c²−2bc cosAです。角B・角Cについても文字を循環させれば同じ形で表せます。

Q. 余弦定理はいつ使いますか？

A. 主に、2辺とその間の角から残りの辺を求めるとき、または3辺から角を求めるときに使います。角と対辺の一組がある場合は正弦定理も候補です。

Q. 余弦定理と三平方の定理の違いは何ですか？

A. 三平方の定理は直角三角形に使います。余弦定理は角度の補正項−2bc cosAを含むため、鋭角・直角・鈍角のすべての三角形に使え、A=90°なら三平方の定理になります。

Q. 余弦定理で角度を求める式はどう作りますか？

A. a²=b²+c²−2bc cosAをcosAについて解き、cosA=(b²+c²−a²)/(2bc)とします。求めたい角の対辺の平方を分子で引くのがポイントです。

Q. 余弦定理は鈍角三角形にも使えますか？

A. 使えます。鈍角ではcosが負になるため、−2bc cosAは結果として正の補正になります。座標で証明すると、cosの符号が位置関係を自動的に反映することが分かります。

Q. 正弦定理と余弦定理はどう使い分けますか？

A. 2辺とその間の角、または3辺が分かるなら余弦定理が第一候補です。角とその対辺の一組が分かり、別の辺や角を求めるなら正弦定理が使いやすくなります。